히그너 포인트

수학에서 희그너 점은 모듈형 곡선의 점으로, 상반면 상반면 2차 가상 점의 이미지다.그것들은 브라이언 버치에 의해 정의되었고 커트 히그너의 이름을 따서 명명되었는데, 그는 가우스의 추측을 증명하기 위해 1등급의 가상의 이차적 분야에 대해 비슷한 생각을 사용하였다.

그로스-자기에 정리

Gross-Zagier 정리(Gross & Zagier 1986)는 s = 1에서 타원곡선의 L-함수의 파생적 관점에서 희그너 포인트의 높이를 설명한다.특히 타원형 곡선에 (분석적) 순위 1이 있으면 히그너 포인트를 사용하여 무한 질서의 곡선에 이성적인 포인트를 구성할 수 있다(그래서 모르델-와일 그룹이 적어도 1위를 갖는다).보다 일반적으로 Gross, Kohnen & Zagier(1987)는 Heegner 포인트가 각 양의 정수 n에 대한 곡선의 합리적인 포인트를 구성하는데 사용될 수 있다는 것을 보여주었고, 이러한 포인트의 높이는 3/2의 모듈형 형태의 계수였다.쇼우 장(Shou-Woo Zhang)은 타원 곡선부터 모듈식 아벨리안 품종의 경우까지 총-자기에의 정리를 일반화했다(장 2001, 2004, 위안, 장&장 2009).

버치·스위너튼-다이어 추측

콜리바긴은 이후 희그너 포인트를 사용해 오일러 시스템을 구축했고, 이를 사용해 1위 타원곡선에 대한 버치-스위너턴-다이어 추측의 상당 부분을 입증했다.브라운은 긍정적 특성의 글로벌 분야에 걸쳐 대부분의 1위 타원형 곡선에 대해 버치-스위너튼-다이어의 추측을 증명했다(Brown 1994).

연산

희그너 포인트는 순진한 방법으로 찾을 수 없는 1위 타원곡선(조사용 (Watkins 2006) 참조)에서 매우 큰 합리적 포인트를 계산하는 데 사용할 수 있다.알고리즘 구현은 Magma, PARI/GP, Sage에서 이용할 수 있다.

참조

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• Brown, M. L. (2004), Heegner modules and elliptic curves, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1849, Springer-Verlag, doi:10.1007/b98488, ISBN 3-540-22290-1, MR 2082815.
• Darmon, Henri; Zhang, Shou-Wu, eds. (2004), Heegner points and Rankin L-series, Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol. 49, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511756375, ISBN 978-0-521-83659-3, MR 2083206
• Gross, Benedict H.; Zagier, Don B. (1986), "Heegner points and derivatives of L-series", Inventiones Mathematicae, 84 (2): 225–320, Bibcode:1986InMat..84..225G, doi:10.1007/BF01388809, MR 0833192.
• Gross, Benedict H.; Kohnen, Winfried; Zagier, Don (1987), "Heegner points and derivatives of L-series. II", Mathematische Annalen, 278 (1–4): 497–562, doi:10.1007/BF01458081, MR 0909238.
• Heegner, Kurt (1952), "Diophantische Analysis und Modulfunktionen", Mathematische Zeitschrift, 56 (3): 227–253, doi:10.1007/BF01174749, MR 0053135.
• Watkins, Mark (2006), Some remarks on Heegner point computations, arXiv:math.NT/0506325v2.
• Brown, Mark (1994), "On a conjecture of Tate for elliptic surfaces over finite fields", Proc. London Math. Soc., 69 (3): 489–514, doi:10.1112/plms/s3-69.3.489.
• Yuan, Xinyi; Zhang, Shou-Wu; Zhang, Wei (2009), "The Gross–Kohnen–Zagier Theorem over Totally Real Fields", Compositio Mathematica, 145: 1147–1162.
• Zhang, Shou-Wu (2001), "Gross-Zagier formula for GL2", Asian Journal of Mathematics, 5 (2): 183–290.
• Zhang, Shou-Wu (2004), "Gross–Zagier formula for GL(2) II", in Darmon, Henri; Zhang, Shou-Wu (eds.), Heegner points and Rankin L-series, Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol. 49, Cambridge University Press, pp. 191–214, doi:10.1017/CBO9780511756375, ISBN 978-0-521-83659-3, MR 2083206.