L-기능

L-function
리만 제타 기능은 모든 L 기능의 원형으로 생각할 수 있다.[1]

수학에서 L-함수는 복잡한 평면에서 여러 범주의 수학 물체들 중 하나와 연관된 meromorphic 함수다. L-시리즈는 일반적으로 반평면에 수렴되는 디리클레 시리즈로, 분석적 연속성을 통해 L-기능을 발생시킬 수 있다. 리만 제타 함수는 L-함수의 예로서, L-기능과 관련된 하나의 중요한 추측이 리만 가설과 그 일반화다.

L-기능 이론은 현대적 분석적 숫자 이론의 일부인 매우 실질적이고, 여전히 큰 추측이 되었다. 그 안에서 리만 제타 함수와 디리클레 문자에 대한 L시리즈의 광범위한 일반화가 구성되며, 대부분의 경우 아직 증명할 수 없는 그들의 일반적 성질은 체계적인 방법으로 설정된다. 오일러 제품 공식 때문에 L-기능과 소수 이론 사이에는 깊은 연관성이 있다.

건설

초기에는 무한 시리즈 표현인 L 시리즈(예: 리만 제타 함수에 대한 디리클레트 시리즈)와 그 분석적 연속인 복합 평면 내의 함수인 L-기능을 구별한다. 일반적인 구조는 우선 Dirichlet 시리즈로 정의되는 L 시리즈로 시작하고, 그 다음 프라임 숫자에 의해 색인화된 오일러 제품으로서 확장에 의해 시작한다. 추정치는 복잡한 숫자의 오른쪽 반면에 수렴한다는 것을 입증하기 위해 필요하다. 그런 다음 그렇게 정의된 기능이 복잡한 평면의 나머지 부분(아마도 일부 극과 함께)까지 분석적으로 지속될 수 있는지 묻는다.

L-함수라고 불리는 복잡한 평면에 대한 이러한 (주관적) 공형적인 연속이다. 고전적인 경우에서는 이미 시리즈 표현이 수렴되지 않는 지점에서의 L 기능의 값과 행동에 유용한 정보가 포함되어 있다는 것을 알고 있다. 여기서 일반적인 용어 L-기능은 많은 알려진 유형의 제타 함수를 포함한다. 셀버그 클래스는 L-기능의 핵심 특성을 공리 집합에 담아내려는 시도로, 개별 기능보다는 클래스의 속성 연구를 장려한다.

추측 정보

일반화되기를 원하는 알려진 L 기능 예제의 특성을 나열할 수 있다.

  • 0 및 극의 위치
  • 일부 수직선에 대한 기능 방정식 Re(s) = 상수
  • 대수 K 이론의 수량과 관련된 정수의 흥미로운 값들

상세한 작업은 예를 들어 적용해야 할 기능 방정식의 정확한 유형에 대해, 그럴듯한 추측을 많이 만들어냈다. 리만 제타 함수는 짝수 양의 값(그리고 음의 홀수 정수)을 통해 베르누이 숫자에 연결되기 때문에, 그 현상의 적절한 일반화를 찾는다. 이 경우 특정 갈루아 모듈을 설명하는 p-adic L-기능에 대한 결과를 얻었다.

제로 분포의 통계는 일반화된 리만 가설, 소수 분포 등과 같은 문제와의 연관성 때문에 관심의 대상이 된다. 랜덤 매트릭스 이론과 양자 혼돈과의 연관성도 관심사다. 분포의 프랙탈 구조는 재조정된 범위 분석을 사용하여 연구되었다.[2] 영분포의 자기 유사성은 상당히 현저하며, 프랙탈 치수가 1.9라는 큰 것이 특징이다. 이 다소 큰 프랙탈 치수는 리만 제타 함수와 다른 순서와 도체의 다른 L 기능에서 최소 15개의 크기를 포함하는 0에서 발견된다.

버치·스위너튼-다이어 추측

주요 기사: 버치·스위너튼-다이어 추측

보다 일반적인 L-기능의 역사에 대해서나 아직 공개되지 않은 연구 문제로서, 영향력 있는 사례 중 하나는 1960년대 초반에 브라이언 버치와 피터 스윈너튼-다이어가 개발한 추측이다. 타원곡선 E에 적용되며, 타원곡선이 해결하려고 하는 문제는 타원곡선의 순위를 합리수(또는 다른 지구영역)에 걸쳐 예측하는 것이다. 즉, 합리성점군의 자유발생기 수입니다. 그 지역의 이전 작업들은 L-기능에 대한 더 나은 지식을 중심으로 통일되기 시작했다. 이것은 초기 L 기능 이론의 패러다임 예와 같은 것이었다.

일반론 상승

이러한 개발은 몇 년 전부터 랭글랜드 프로그램보다 앞서 있으며, 이를 보완하는 것으로 간주할 수 있다: 랭글랜드의 연구는 헤케 L 기능처럼 수십 년 전에 정의한 Artin L 기능 및 일반적인 자동 형태 표현에 첨부된 L 기능들과 주로 관련된다.

분석적 의미에서 Hasse-Weil zeta 함수의 구성이 유효한 L-기능을 제공하기 위해 어떤 의미에서 만들어질 수 있는지 점차 명확해졌다. 즉, 분석으로부터 약간의 입력이 있어야 한다는 것이 자동화된 분석을 의미했다. 일반적인 사례는 이제 개념적 수준에서 여러 가지 다른 연구 프로그램을 통합한다.

참고 항목

참조

  1. ^ Steuding, Jörn (June 2005). "An Introduction to the Theory of L-functions". Preprint.
  2. ^ O. Shanker (2006). "Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions". J. Phys. A: Math. Gen. 39 (45): 13983–13997. Bibcode:2006JPhA...3913983S. doi:10.1088/0305-4470/39/45/008.

외부 링크

획기적인 제3도 초월 L 기능에 대한 기사