콘체비치 정량화 공식

수학에서 콘체비치 정량화 공식은 주어진 임의의 유한차원 포아송 다지관에서 일반화된 ★-제품 연산자 대수학을 구성하는 방법을 설명한다.이 연산자 대수학은 해당 포아송 대수학의 변형 정량화에 해당한다.막심 콘체비치 때문이다.^[1][2]

포아송 대수학의 변형 정량화

포아송 대수(A, {⋅, ⋅})를 감안할 때, 변형 정량화는 ħ[ in]의 공식 파워 시리즈 대수 ★에 관한 연관적 유니탈 제품 ★이며, 다음과 같은 두 가지 공리에 의거한다.

${\displaystyle {\begin}f&=fg+{\mathcal {O}(\hbar )\\}[f,g]&=f*g*f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}(\hbar ^{2}}\ed}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

만일 한 사람에게 포아송 다지관(M, {⋅, given})이 주어졌다면, 그 외에 추가로 그것을 물어볼 수도 있을 것이다.

${\displaystyle f*g=fg+\sum _{k=1}^{\infit }\hbar ^{k}B_{k}(f\otimes g),}$

여기서 B는_k 최대 k에서 정도의 선형 비듀얼 연산자다.

두 변형은 유형의 게이지 변형에 의해 관련되는 경우 등가라고 한다.

${\displaystyle {\begin{case}D:A[[\hbar ]]\to A[[\hbar ]]\\\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}f_{k}\mapsto \sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}f_{k}+\sum _{n\geq 1,k\geq 0}D_{n}(f_{k})\hbar ^{n+k}\end{cases}}}$

여기서 D는_n 최대 n개의 차등 연산자다.그에 상응하는 유도 ★-상품인 ★′이 그 다음에 된다.

${\displaystyle f\,{*}\,g=D\left(왼쪽(D^{-1}f\오른쪽)*\left(D^{-1}g\오른쪽)\right).}$

원형적인 예로, Groenewold의 원래 "Moyal-Weyl" ★-product를 충분히 고려할 수 있다.

콘체비치 그래프

콘체비치 그래프는 2개의 외부 정점에 루프가 없는 간단한 방향 그래프로서, f와 g, 그리고 π이라는 라벨이 붙은 n개의 내부 정점이다.각 내부 정점으로부터 두 개의 가장자리가 생긴다.내부 정점이 n개인 모든 (동일 등급의) 그래프는 집합_n G(2)에 누적된다.

두 개의 내부 정점에 대한 예는 다음과 같다.

관련 비디프주 연산자

각 그래프 γ과 관련하여 다음과_Γ 같이 정의된 B(f, g)가 있다.각 가장자리의 경우 목표 정점의 기호에 부분적인 파생 모델이 있다.소스 기호의 해당 지수와 계약한다.그래프 γ의 용어는 모든 기호와 부분파생상품의 산물이다.여기서 f와 g는 다지관의 부드러운 기능을 나타내며, π은 포아송 다지관의 포아송 바이벡터다.

예제 그래프의 항은

${\displaystyle \Pi ^{i_{2}j_{2}}\pi ^{i_{1}j_{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{i_{1}:{1}:{1}f\,\partial _{j_{1}:{j_2}}g.}$

연관중량

이러한 비듀얼 연산자를 추가하기 위해 그래프 γ의_Γ w 가중치가 있다.우선, 각 그래프에는 하나의 그래프에 대해 몇 개의 등가 구성이 있는지 계산하는 다중성 m(M)이 있다.규칙은 내부 정점이 n개인 모든 그래프에 대한 승수의 합은 (n(n + 1)이다.ⁿ위의 샘플 그래프는 다중성 m( =) = 8. 이를 위해서는 1부터 n까지의 내부 정점을 열거하는 것이 도움이 된다.

중량을 계산하기 위해서는 상반면 H에 각도의 제품을 다음과 같이 통합해야 한다.상부 하프 평면은 H ⊂ ℂ이며 미터법이 부여된다.

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}}{y^{2}}:};}$

그리고, w z H와 z ≠ w의 두 지점의 경우, 우리는 지오데틱 사이의 각도 φ을 z에서 i∞까지 그리고 z에서 시계 반대방향으로 측정한다.이것은

${\displaystyle \phi(z,w)={\frac {1}{2}}:\log {\frac {(z-w)(z-{\bar{z}-w})}{{\bar{z}-{w}}}}}}}.}$

통합 도메인은 공간_n C(H)이다.

${\displaystyle C_{n}(H):=\\{{(u_{1},\dots,u_{n}}\in H^{n}:u_{n}:u_{i}\neq u_{j}\all i\neq j\}.}$

공식의 양

${\displaystyle w_{\Gamma }:={\frac {m(\Gamma )}{(2\pi )^{2n}n!$$}}}\int _${C_${n$}(H$)}\빅웨지 _{j=1}^{n}\mathrm {d} \phi(u_{j},u_{t1(j)}\wedge$ \$mathrm${d$} \phi(u_{j},u_{t2(j$ ,

여기서 t1(j) 및 t2(j)는 내부 정점 j의 첫 번째 및 두 번째 목표 정점이다.정점 f와 g는 H에서 고정된 위치 0과 1에 있다.

공식

위의 세 가지 정의를 고려할 때, 스타 상품에 대한 콘체비치 공식은 지금이다.

${\displaystyle f*g=fg+\sum _{n=1}^{\inflit }\frac {i\hbar }{2}}\오른쪽)^{n}\sum _{\감마 \in G_{n}(2)}w_{\감마 }B_{\감마 }(f\otimes g).}$

두 번째 순서까지의 명시적 공식

★-상품의 연관성을 강화하면, ħ에서 ħ의 2차 순서로 줄여야 한다는 것을 직접 확인하는 것이 간단하다.

${\displaystyle f*g=fg+{\tfrac {i\hbar }{2}}\Pi ^{ij}\partial _{i}f\,\partial _{j}g-{\tfrac {\hbar ^{2}}{8}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\Pi ^{i_{2}j_{2}}\partial _{i_{1}}\,\partial _{i_{2}}f\partial _{j_{1}}\,\partial _{j_{2}}g-{\tfrac {\hbar ^{2}}{12}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\partial _{j_{1}}\Pi ^{i_{2}j_{2}}(\partial _{i_{1}}\partial _{i_{2}}f\,\partial _{j_{2}}g-\부분 _{i_{2}}f\,\partial _{1}}\partial _{j_{2}}g)+{\mathcal {O}(\hbar ^{3})}}$

참조