코스트카 수

수학에서 코스트카 숫자 K_λμ(두 정수 칸막이와 μ에 따라 달라짐)는 모양 shape과 무게 μ의 세미산다드 영 테이블보의 수와 같은 음이 아닌 정수다.그것들은 수학자 칼 코스트카가 대칭함수에 관한 연구(Kostka (1882)에서 소개한 것이다.^[1]

예를 들어는 항목 기둥을 따라 아니고 함은 Kostka 수 Kλμ은 1번의 1부를 숫자 2의 하나의 카피를, 숫자 3의 2복사본과 4번의 1부와 함께 방법 3에 앞줄의 박스의left-aligned 컬렉션을 채우기와 2두번째 열의를 계산하면λ)(3,2)과 μ)(1,1,2,1), d.경제학열을 따라 재다그러한 표 3개가 오른쪽에 표시되며, K_{(3, 2) (1, 1, 2, 1)} = 3이다.

예시 및 특수 사례

전국의 모든 1로 첫째줄에 배치된 파티션 λ의 경우, Kostka 수 Kλλ 1:평등한 것은 독특한 방법은 그 결과로 얻게 되는 광경은 약한 이라크 전쟁을 따라 엄격하게 따라 열 증가하고 증가하고 있다. 모양 λ)(λ1, λ2,..., λm)의 1의λ1부 2의λ2이 복사본, 등등으로 그 젊은 도형을 채우기 위해 모든 2초씩톤에 놓이게 된다는 것이다그는 seco그리고 노젓기 등등. (이 탁자를 형체 yaman의 야마노우치 탁자로 부르기도 한다.

코스트카 번호 K는_λμ 양수(즉, partitions과 μ의 세미산다드 영 tableaux가 존재함)인데, 만일 λ과 μ가 모두 동일한 정수 n과 μ의 분할인 경우에만 지배적인 순서로 μ보다 큰 것이다.^[2]

일반적으로 코스트카 숫자로 알려진 좋은 공식은 없다.그러나 일부 특례는 알려져 있다.예를 들어, μ = (1, 1, 1, ..., 1)가 모두 1인 파티션이라면, 무게 μ의 세미산다드 Young tableau는 표준 Young tableau이다; 주어진 모양 λ의 표준 Young tableau 수는 후크 길이 공식에 의해 주어진다.

특성.

코스트카 숫자의 중요한 단순 속성은 K가_λμ μ의 입력 순서에 의존하지 않는다는 것이다.예를 들어, K_{(3, 2) (1, 1, 2, 1)} = K_{(3, 2) (1, 1, 1, 2)}.이는 정의에서 즉각적으로 명백하지는 않지만, μ와 μ'의 세미산다드 Young tableaux 형상과 μ와 μ'의 가중치 집합 사이에 편차를 설정하여 보여줄 수 있다. 여기서 μ와 μ'는 두 개의 항목만 스와핑하여 차이가 난다.^[3]

코스트카 수, 대칭 함수 및 표현 이론

위의 순전히 조합적 정의에 추가하여, 단항 대칭함수 m의_μ 선형 조합으로 슈르 다항식 s를_λ 표현할 때 발생하는 계수로 정의할 수도 있다.

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \m_{\mu }}}}}$

여기서 μ와 μ는 모두 n의 분할이다.또는 슈르 다항식도 다음과 같이 표현할^[4] 수 있다.

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\alpha }K_{\lambda \lampda \x^{\alpha }}}}$

여기서 합계가 n과 x의^α 모든 약한 구성 α에 걸쳐 있는 것은 단수₁^α₁ x⋯x를_n^α_n 나타낸다.

대칭함수 이론과 표현 이론의 연관성 때문에, 코스트카 숫자들은 또한 문자 s에_λ 해당하는 표현_λ V의 관점에서 순열 모듈_μ M의 분해도 표현한다.

${\displaystyle M_{\mu }=\bigoplus _{\lambda }K_{\lambda \v_{\lambda }}}$

일반 선형 그룹 $G{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n\mathbb{}{}_{}}$( C${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathb {C} )$의 표현 수준에서,$$코스트카 번호 K는_λμ 수정 불가능한 표현 V_λ(최대 n부분에서 μ와 μ가 있어야 함)에서 μ에 해당하는 중량 공간의 치수를 카운트한다.

예

최대 3개의 크기의 파티션에 대한 Kostka 번호는 다음과 같다.

K_{(0) (0)} = 1(여기서 (0)은 빈 파티션을 나타냄)

K_{(1) (1)} = 1

K_{(2) (2)} = K_{(2) (1,1)} = K_{(1,1) (1,1)} = 1, K_{(1,1) (2)} = 0.

K_{(3) (3)} = K_{(3) (2,1)} = K_{(3) (1,1,1)} = 1

K_{(2,1) (3)} = 0, K_{(2,1) (2,1)} = 1, K_{(2,1) (1,1,1)} = 2

K_{(1,1,1) (3)} = K_{(1,1,1) (2,1)} = 0, K_{(1,1,1) (1,1,1)} = 1

이러한 값은 단수 대칭함수의 관점에서 Schur 함수의 확장에 있는 계수 정확히 다음과 같다.

s = m = 1(빈 파티션으로 표시)

s₁ = m₁

s₂ = m₂ + m₁₁

s₁₁ = m₁₁

s₃ = m₃ + m₂₁ + m₁₁₁

s₂₁ = m₂₁ + 2m₁₁₁

s₁₁₁ = m_111.

코스트카(1882, 페이지 118-120)는 최대 8개의 숫자 분할에 대해 이 숫자들의 표를 주었다.

일반화

Kostka 번호는 1 또는 2개의 변수 Kostka 다항식의 특수 값이다.

${\displaystyle K_{\lambda \mu }=K_{\lambda \mu }(1)=K_{\lambda \mu }}(0,1).}$

메모들

참조

• Stanley, Richard (1999), Enumerative combinatorics, volume 2, Cambridge University Press
• Kostka, C. (1882), "Über den Zusammenhang zwischen einigen Formen von symmetrischen Funktionen", Crelle's Journal, 93: 89–123^{[영구적 데드링크]}
• Macdonald, I. G. (1995), Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Mathematical Monographs (2nd ed.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1, MR 1354144, archived from the original on 2012-12-11
• Sagan, Bruce E. (2001) [1994], "Schur functions in algebraic combinatorics", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press