일반선형군

수학에서 학위 n의 일반 선형 그룹은 일반 행렬 곱셈의 작동과 함께 n×n 변위할 수 있는 행렬의 집합이다. 이것은 집단을 형성하는데, 왜냐하면 두 개의 변위성 행렬의 곱은 다시 변위성이며, 변위성 행렬의 역은 변위성이기 때문이며, 집단의 정체성 요소로 정체성 행렬이 있다. 반전성 행렬의 열이 선형적으로 독립적이므로 이들이 정의하는 벡터/포인트는 일반 선형 위치에 있으며, 일반 선형 그룹의 행렬은 일반 선형 위치의 점으로 일반 선형 위치의 점을 취하기 때문에 이 그룹의 이름이 붙여진다.

좀 더 정확히 말하자면, 행렬의 항목에서 어떤 종류의 물체가 나타날 수 있는지를 명시할 필요가 있다. 예를 들어, R에 대한 일반 선형 그룹(실수의 집합)은 실수의 n×n 반전성 행렬의 그룹이며, GL_n(R) 또는 GL(n, R)로 표시된다.

보다 일반적으로 모든 필드 F(복잡한 숫자 등)에 대한 도 n의 일반 선형 그룹 또는 링 R(정수의 링 등)은 F(또는 R)의 항목이 포함된 n×n 반전성 행렬의 집합이며, 다시 그룹 작업으로 행렬 곱하기입니다.^[1] 대표적인 표기법은 필드가 이해되는 경우 GL_n(F) 또는 GL(n, F) 또는 간단히 GL(n)이다.

보다 일반적으로는 벡터 공간 GL(V)의 일반 선형 그룹은 추상적 자동형 집단으로, 반드시 행렬로 쓰일 필요는 없다.

SL(n, F) 또는 SL_n(F)로 작성된 특수 선형 그룹은 결정 인자가 1인 행렬로 구성된 GL(n, F)의 하위 그룹이다.

그룹 GL(n, F)과 그 하위 그룹은 종종 선형 그룹 또는 행렬 그룹이라고 불린다(추상 그룹 GL(V)은 행렬 그룹이 아니라 선형 그룹이다). 이러한 집단은 집단표현 이론에서 중요하며, 다항식 연구뿐만 아니라 일반적으로 벡터 공간의 공간 대칭과 대칭에 대한 연구에서도 발생한다. 모듈 그룹은 특수 선형 그룹 SL(2, Z)의 인수로 실현될 수 있다.

n ≥ 2일 경우, 그룹 GL(n, F)은 아벨리안이 아니다.

벡터 공간의 일반 선형 그룹

V가 필드 F 위에 있는 벡터 공간인 경우, V의 일반 선형 그룹 GL(V) 또는 자동(V)은 V의 모든 자동화 그룹, 즉 모든 생체적 선형 변환 V → V의 집합이며, 그룹 연산으로서의 기능 구성이다. V가 유한 치수 n을 갖는 경우 GL(V)과 GL(n, F)은 이형이다. 이형성은 표준적이지 않다; 그것은 V의 기초 선택에 달려있다. V의 기초(e₁, ..., e_n)와 GL(V)의 자동형성 T를 주어, 우리는 모든 기초 벡터 e를_i 가지고 있다.

T(e_{i}}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j}}}}}}

일부 상수의 경우 a_ij in F에 해당하며, T에 해당하는 행렬은 a에_ij 의해 주어지는 항목이 있는 행렬일 뿐이다.

유사한 방법으로, 교감 링 R의 경우 GL(n, R) 그룹은 n등급의 자유 R-모듈 M의 자동화로 해석될 수 있다. 또한 어떤 R-모듈에 대해서도 GL(M)을 정의할 수 있지만, 일반적으로 이것은 GL(n, R)에 대해 이형성이 아니다(n, r) (n)에 대해.

결정요인의 관점에서 보면

필드 F에서 행렬은 결정 요인이 0이 아닌 경우에만 변환할 수 있다. 따라서 GL(n, F)의 대체 정의는 0이 아닌 결정 인자를 갖는 행렬의 집합으로 한다.

정류 링 R에 대해 더 많은 주의가 필요하다: R 위에 매트릭스는 결정 인자가 R에 있는 단위인 경우에만, 즉 R에 있는 결정 인자가 변위할 수 있는 경우, 즉 R에 대한 행렬은 변위할 수 있다. 따라서 GL(n, R)은 결정 요인이 단위인 행렬 그룹으로 정의될 수 있다.

비확정 고리 R에 비해 결정요인은 전혀 잘 행동하지 않는다. 이 경우 GL(n, R)은 매트릭스 링 M(n, R)의 단위 그룹으로 정의할 수 있다.

As a Lie group

리얼 케이스

실수의 영역에 걸친 일반 선형 그룹 GL(n, R)은 실제 치수 n의² Lie 그룹이다. 이를 보려면 모든 n×n 실제 행렬의 집합인_n M(R)이 차원 n의² 실제 벡터 공간을 형성한다는 점에 유의하십시오. 부분집합 GL(n, R)은 결정 요인이 0이 아닌 행렬로 구성된다. 결정요소는 다항식 지도로서, 따라서 GL(n, R)은 M_n(R)의 개방적 부속품(Zariski 토폴로지에서_n M(R)의 비빈 개방적 부분집합)이며, 따라서^[2] 동일한 차원의 매끄러운 다지관이다.

${\mathfrak {gl}}_{n},$ (n, R)의 Li 대수, g l n , ${\displaystyle$ {\ $mathfrak{gl}_{n}}}}}$ 은(는) 모든 n×n 실제 행렬로 구성되며 ${\mathfrak {gl}}_{n},$ , 이는 Lie 괄호로 사용된다.

다지관으로서 GL(n, R)은 연결되지 않고 오히려 두 개의 연결된 구성 요소, 즉 양의 결정 인자를 가진 행렬과 음의 결정 인자를 가진 행렬을 가지고 있다. GL⁺(n, R)으로 표시된 ID 구성요소는 양의 결정 인자를 가진 실제 n×n 행렬로 구성된다. 이것은 또한 치수 n의² Lie 그룹이다; 그것은 GL(n, R)과 같은 Lie 대수학을 가지고 있다.

그룹 GL(n, R)도 비소형이다. GL(n, R)의 "maximal compact subgroup"은 직교 그룹 O(n)이고, GL⁺(n, R)의 "maximal compact subgroup"은 특수 직교 그룹 SO(n)이다. SO(n)의 경우, 그룹⁺ GL(n, R)은 단순히 연결되지 않고(n = 1) n = 2의 경우 Z에, n > 2의 경우₂ Z에 대한 근본적인 그룹 이형성을 갖는다.

콤플렉스 케이스

복합수 영역 위의 일반 선형 그룹 GL(n, C)은 복합 치수 n의² 복합 Lie 그룹이다. 진짜 Lie 그룹으로서 (실증을 통해) 차원 2n을² 가지고 있다. 모든 실제 행렬의 집합은 실제 Lie 하위 그룹을 형성한다. 이것들은 포함에 해당한다.

GL(n, R) < GL(n, C) > GL(2n, R),

실제 치수 n², 2n² 및 4n² = (2n)²을 갖는. 복잡한 n차원 행렬은 선형 복합 구조를 보존하는 실제 2n차원 행렬로 특징지어질 수 있다. 구체적으로는 J² = -I와 같이 행렬 J로 통근하며, 여기서 J는 가상 단위 i로 곱하는 것에 해당한다.

GL(n, C)에 해당하는 Lie 대수학(Lie 대수학)은 모든 n×n 복합 행렬로 구성되며, Lie 브래킷 역할을 하는 정류자가 있다.

실제 케이스와 달리 GL(n, C)이 연결되어 있다. 이것은 부분적으로 복잡한 숫자 C의^∗ 승수 그룹이 연결되어 있기 때문에 뒤따른다. 그룹 다지관 GL(n, C)은 작지 않다. 오히려 최대 콤팩트 부분군은 단일 그룹 U(n)이다. U(n)의 경우, 그룹 다지관 GL(n, C)은 단순히 연결되지 않고 Z에 대한 근본적인 그룹 이형성을 가진다.

한정된 필드 이상

S에₃ 이형성인 GL(2, 2)의 케이리 테이블.

F가 q 요소를 가진 유한한 필드라면, 우리는 GL(n, F) 대신 GL(n, q)을 쓰기도 한다. p가 prime일 때 GL(n, p)은 그룹_pⁿ Z의 외부 오토모르피즘 그룹이며, 또한 오토모르피즘 그룹이기도 하다. 왜냐하면_pⁿ Z는 아벨리안이기 때문에 내부 오토모르피즘 그룹은 사소한 것이기 때문이다.

GL(n, q)의 순서는 다음과 같다.

\prod _{k=0}^{n-1}(q^{n}-q^{k}-1)=(q^{n1}-1)(q^{n}-q^{2})\codots \(q^{n}-q^{n-1}).

이것은 행렬의 가능한 열을 계산함으로써 알 수 있다: 첫 번째 열은 0 벡터를 제외한 모든 것이 될 수 있고, 두 번째 열은 첫 번째 열의 배수를 제외한 모든 것이 될 수 있으며, 일반적으로 k번째 열은 첫 번째 k - 1 열의 선형 범위에 있지 않은 어떤 벡터가 될 수 있다. q-아날로그 표기법에서 이것은 $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$ [ $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$ $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$ $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$ ! ( $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$ - 1 $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$ ) $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$ $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$ ( $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$ $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$ ) ${\$ 2 $.}$ 입니다 $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$

예를 들어, GL(3, 2)의 순서는 (8 - 1)(8 - 2)(8 - 4) = 168이다. Fano 평면과 Z₂³ 그룹의 오토모피즘 그룹이며 PSL(2, 7)로도 알려져 있다.

보다 일반적으로 F: 즉, 주어진 차원 k의 서브스페이스 수를 그래스만 포인트로 셀 수 있다. 이를 위해서는 그러한 하위 공간의 스태빌라이저 부분군의 순서를 찾고 방금 주어진 공식으로 궤도 안정화 장치 정리에 의해 나누기만 하면 된다.

이러한 공식은 슈베르트의 그라스만 분해와 연결되며, 복잡한 그라스만족의 베티 수치의 q-아날로그다. 이것이 웨일 추측으로 이어지는 단서 중 하나였다.

↦ GL(n, q)의 1주문 0에 다니는 한계에서 q!–를 정확한 절차에 따라(로 나누(q − 1)n)우리는 대칭 군의 주문을 봅니다 – 분야의 철학을 한 요소와 함께(참고 Lorscheid의 기사), 따라서 밭에 일반 선형 단체로 하나의 요소:Sn을 대칭 군을 통역한다.≅ GL(n, 1)

역사

프라임 필드 위의 일반 선형 그룹인 GL(General Linear group, p)을 구성하고 그 순서를 에바리스테 갈루아가 1832년 마지막 편지(체발리에에게)와 첨부된 두 번째 원고에서 계산한 것으로, 순서^ν p의 일반 방정식의 갈루아 그룹을 연구하는 맥락에서 사용했다.^[4]

특수 선형군

특수 선형 그룹 SL(n, F)은 결정 인자 1이 있는 모든 행렬의 그룹이다. 그들은 하위 변수에 놓여 있다는 점에서 특별하다 – 그들은 다항 방정식을 충족시킨다. (항목에 결정요소가 다항식이기 때문에). 이 형식의 행렬은 두 행렬의 산출물의 결정요인으로 집단을 형성한다. SL(n, F)은 GL(n, F)의 정규 부분군이다.

F의 승수 그룹에 F를^× 쓴다면 (0을 제외한) 결정요인은 집단 동형상이다.

det: GL(n, F) → F^×.

그것은 절망적이고 그것의 커널은 특별한 선형 그룹이다. 따라서 첫 번째 이형성 정리에서는 GL(n, F)/SL(n, F)과 F의^× 이형성이 된다. 실제로 GL(n, F)은 반간접 상품으로 작성할 수 있다.

GL(n, F) = SL(n, F) ⋊ F^×

$n\neq 2$ $n\neq 2$ $n\neq 2$ $n\neq 2$ 또는 $n\neq 2$ k가 두 요소를 가진 필드가 아닌 경우, 특수 선형 그룹은 GL(n, F)의 파생 그룹(일명 정류자 부분군)이기도 하다(^[5]필드 또는 분할 링 F의 경우).

F가 R 또는 C일 때, SL(n, F)은 치수 n² - 1의 GL(n, F)의 Lie 부분군이다. SL(n, F)의 Lie 대수학은 F에 대한 모든 n×n 행렬과 소멸 추적으로 구성된다. 리 브래킷은 정류자에 의해 주어진다.

특수 선형 그룹 SL(n, R)은 R의ⁿ 볼륨 그룹과 방향을 보존하는 선형 변환으로 특징지어질 수 있다.

그룹 SL(n, C)은 간단히 연결되고, SL(n, R)은 연결되지 않는다. SL(n, R)은 GL⁺(n, R)과 같은 기본 그룹, 즉 n = 2의 경우 Z, n > 2의 경우 Z를 가진다₂.

기타 부분군

대각 부분군

모든 반전 가능한 대각 행렬의 집합은 (F^×)에 대한 GL(n, F) 이형성의 하위 그룹을 형성한다.ⁿ R과 C와 같은 분야에서, 이것들은 공간을 재확장하는 것과 일치한다; 소위 팽창과 수축이다.

스칼라 행렬은 대각선 행렬로, ID 행렬에 일정한 시간을 곱한 것이다. 0이 아닌 모든 스칼라 행렬의 집합은 F에^× 대한 GL(n, F) 이형성의 부분군을 형성한다. 이 그룹은 GL(n, F)의 중심이다. 특히 정상적인 아벨의 하위집단이다.

SL(n, F)의 중심은 단순히 단위 결정 인자를 가진 모든 스칼라 행렬의 집합이며, 필드 F에서 단결의 n번째 뿌리 그룹에 이형성이 있다.

클래식 그룹

소위 클래식 그룹이라고 불리는 그룹들은 벡터 공간 V에서 일종의 이선 형태를 보존하는 GL(V)의 하위 그룹이다. 여기에는 다음이 포함된다.

직교 그룹 O(V)는 V에 비감소 2차 형태를 보존한다.
V(비감산형 교대형)에 공감형 형태를 보존하는 공감형 그룹 Sp(V)
단일 집단, U(V)는, F = C일 때, V에 비 소멸 은둔자 형태를 보존한다.

이 그룹들은 거짓말 그룹의 중요한 예를 제공한다.

무한일반선형군

무한 일반 선형 그룹 또는 안정 일반 선형 그룹은 포함 GL(n, F) → GL(n + 1, F)의 직접 한계로 왼쪽 상단 블록 행렬이다. 그것은 GL(F) 또는 GL(F, F)으로 표시되며, 또한 미세하게 많은 곳에서만 식별 행렬과 다른 변환 가능한 무한 행렬로 해석될 수 있다.^[12]

대수학 K 이론에서 K를₁ 정의하는 데 사용되며, 실제를 넘어서는 Bott의 주기성 덕분에 잘 이해되는 위상이 있다.

그것은 더 큰 집단인 힐버트 공간의 (경계) 불가역 연산자의 공간과 혼동되어서는 안 되며, 위상적으로 훨씬 단순하며, 다시 말해서 계약가능하다 - 카이퍼의 정리를 참조하라.

참고 항목

메모들

^ 이 반지는 연상적이고 단조로울 것으로 추측된다.
^ Zariski 위상은 미터법 위상보다 더 높기 때문에, 동등하게, 다항식 맵은 연속적이다.
^ 최대 소형 부분군은 고유하지 않지만 본질적으로 고유하기 때문에 종종 "최대 소형 부분군"을 가리킨다.
^ Galois, Évariste (1846). "Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. XI: 408–415. Retrieved 2009-02-04, GL(ν,p) discussed on p. 410.CS1 maint: 포스트스크립트(링크)
^ Suprunenko, D.A. (1976), Matrix groups, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, 정리 II.9.4
^ Jan Okniński (1998). Semigroups of Matrices. World Scientific. Chapter 2: Full linear monoid. ISBN 978-981-02-3445-4.
^ ^a ^b Meakin (2007). "Groups and Semigroups: Connections and contrast". In C. M. Campbell (ed.). Groups St Andrews 2005. Cambridge University Press. p. 471. ISBN 978-0-521-69470-4.
^ John Rhodes; Benjamin Steinberg (2009). The q-theory of Finite Semigroups. Springer Science & Business Media. p. 306. ISBN 978-0-387-09781-7.
^ Eric Jespers; Jan Okniski (2007). Noetherian Semigroup Algebras. Springer Science & Business Media. 2.3: Full linear semigroup. ISBN 978-1-4020-5810-3.
^ Meinolf Geck (2013). An Introduction to Algebraic Geometry and Algebraic Groups. Oxford University Press. p. 132. ISBN 978-0-19-967616-3.
^ Mahir Bilen Can; Zhenheng Li; Benjamin Steinberg; Qiang Wang (2014). Algebraic Monoids, Group Embeddings, and Algebraic Combinatorics. Springer. p. 142. ISBN 978-1-4939-0938-4.
^ Milnor, John Willard (1971). Introduction to algebraic K-theory. Annals of Mathematics Studies. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 25. MR 0349811. Zbl 0237.18005.

참조

Springer, Tonny Albert (1998). Linear Algebraic Groups (2nd ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4839-8.

외부 링크

"General linear group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
2007년 울프램 시연 프로젝트 에드 페그 주니어의 "GL(2, p)과 GL(3, 3) 포인트에 따라 연기"

[ring-1] 이 반지는 연상적이고 단조로울 것으로 추측된다.

[2] Zariski 위상은 미터법 위상보다 더 높기 때문에, 동등하게, 다항식 맵은 연속적이다.

[3] 최대 소형 부분군은 고유하지 않지만 본질적으로 고유하기 때문에 종종 "최대 소형 부분군"을 가리킨다.

[chevalier-letter-4] Galois, Évariste (1846). "Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. XI: 408–415. Retrieved 2009-02-04, GL(ν,p) discussed on p. 410.CS1 maint: 포스트스크립트(링크)

[5] Suprunenko, D.A. (1976), Matrix groups, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, 정리 II.9.4

[Okniński1998-6] Jan Okniński (1998). Semigroups of Matrices. World Scientific. Chapter 2: Full linear monoid. ISBN 978-981-02-3445-4.

[Meakin-7] Meakin (2007). "Groups and Semigroups: Connections and contrast". In C. M. Campbell (ed.). Groups St Andrews 2005. Cambridge University Press. p. 471. ISBN 978-0-521-69470-4.

[RhodesSteinberg2009-8] John Rhodes; Benjamin Steinberg (2009). The q-theory of Finite Semigroups. Springer Science & Business Media. p. 306. ISBN 978-0-387-09781-7.

[JespersOkniski2007-9] Eric Jespers; Jan Okniski (2007). Noetherian Semigroup Algebras. Springer Science & Business Media. 2.3: Full linear semigroup. ISBN 978-1-4020-5810-3.

[Geck2013-10] Meinolf Geck (2013). An Introduction to Algebraic Geometry and Algebraic Groups. Oxford University Press. p. 132. ISBN 978-0-19-967616-3.

[CanLi2014-11] Mahir Bilen Can; Zhenheng Li; Benjamin Steinberg; Qiang Wang (2014). Algebraic Monoids, Group Embeddings, and Algebraic Combinatorics. Springer. p. 142. ISBN 978-1-4939-0938-4.

[Mil25-12] Milnor, John Willard (1971). Introduction to algebraic K-theory. Annals of Mathematics Studies. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 25. MR 0349811. Zbl 0237.18005.

[1]

[2]

[4]

[5]

[9]

[10]

[11]

[6]

[7]

[8]

[12]

Search