아르틴-리즈 보조정리

수학에서 아르틴-리즈 보조정리(Artin-Rees)는 힐버트 기본 정리 등의 결과와 함께 노메테리아 링을 통한 모듈에 관한 기본적인 결과물이다.1950년대에 수학자 에밀 아르틴과 데이비드 리스(David Rees)에 의해 독립된 작품에서 증명되었다.^[1]^[2] 특별한 경우는 그들의 작품 이전에 오스카 자리스키에게 알려졌다.

보조정리법의 한 가지 결과는 크롤 교차점 정리다.그 결과는 또한 완성의 정확성 특성을 입증하는 데 사용된다.^[3]보조정리기는 또한 ℓ-addic sheavs 연구에 핵심적인 역할을 한다.

성명서

내가 노메트리안 링 R에서 이상적이 되게 하라; M은 미세하게 생성된 R-모듈이 되게 하고 N은 M의 서브모듈이 되게 하라.그 다음, 정수 k 1 1이 존재하므로, n ≥ k에 대해,

I^{n}M\cap N=I^{n-k}((I^{k}M)\cap N).

증명

보조정리기는 R이 일단 필요한 관념과 공지가 설정되면 노메테리아인이라는 사실에서 바로 뒤따른다.^[4]

모든 링 R과 R에서 이상적인 I에 대해 B $B_{I}R=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}$ $B_{I}R=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}$ = $B_{I}R=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}$ $B_{I}R=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}$ = $B_{I}R=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}$ $B_{I}R=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}$ $B_{I}R=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}$ $B_{I}R=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}$ ${\$ $I}R=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infully }{{I^{n}}}($ 블로우업용 B)We say a decreasing sequence of submodules $M=M_{0}\supset M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots$ is an I-filtration if $IM_{n}\subset M_{n+1}$ ; moreover, it is stable if $IM_{n}=M_{n+1}$ for sufficiently large n.M에 I-filtation이 주어지면 $B_{I}M=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}$ $B_{I}M=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}$ M $B_{I}M=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}$ = $B_{I}M=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}$ n $B_{I}M=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}$ = $B_{I}M=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}$ $B_{I}M=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}$ $B_{I}M=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}$ $B_{I}M=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}$ ${\$ $I}M=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\\infit }M_{n$ $B_{I}R$ $B_{I}R$ $B_{I}R$ $B_$ 에 비해 등급이 매겨진 모듈이다. $I}R}$ $B_{I}R$

이제 M은 미세하게 생성된 R-모듈에 의한 $M_{i}$ I-filtation $M_{i}$ i ${\$ 이 있는 R-모듈이 되도록 한다.우리는 관찰한다.

{\디스플레이

I}M}

은(는)

B_{I}R

B_{I}R

B_{I}R

{\displaystyle B_{

를 통해 정밀하게 생성된 모듈이다

B_{I}M

.여과가 I-안정적인

B_{I}R

경우에만

I}

R}.

실제로 여과가 I-안정적이라면 $B_{I}M$ $B_{I}M$ $B_{I}M$ ${\displaystyle B_{$ $I}M}$ 은(는) 첫 $k+1$ k $k+1$ + 1 $k+1$ 용어 $k+1$ $M_{0},\dots ,M_{k}$ 0 $M_{0},\dots ,M_{k}$ M $M_{0},\dots ,M_{k}$ ${\$ 에 의해 생성되며 $B_{I}M$ $M_{0},\dots ,M_{k}$ , 따라서 B $B_{I}M$ $B_{I}M$ ${\displaystytle B_{{{}}}}}$ 에 의해 생성된다. $I}M}$ 은(는) 미세하게 생성된다 $B_{I}M$ .반대로 $\textstyle \bigoplus _{j=0}^{k}M_{j}$ $\textstyle \bigoplus _{j=0}^{k}M_{j}$ j = $\textstyle \bigoplus _{j=0}^{k}M_{j}$ $\textstyle \bigoplus _{j=0}^{k}M_{j}$ j $\textstyle \bigoplus _{j=0}^{k}M_{j}$ {\ $displaystyle \textstyle \bigoplus _{j=0}^{k$ . $}}M_{j$ $n\geq k$ n $n\geq k$ $n\geq k$ $n\geq k$ 에 대해 $n\geq k$ M $M_{n}$ ${\$ 의 각 f를 다음과 같이 기록할 $M_{n}$ 수 있다.

f=\sum a_{j}g_{j},\quad a_{j}\in I^{n-j}}

생성자 $g_{j}$ ${\$ 를 $M_{j},j\leq k$ $M_{j},j\leq k$ 에 $g_{j}$ $M_{j},j\leq k$ $M_{j},j\leq k$ $M_{j},j\leq k$ $M_{j},j\leq k$ $M_{j$ j} $j\leq$ k $M_{j},j\leq k$ 즉, $f\in I^{n-k}M_{k}$ $f\in I^{n-k}M_{k}$ $f\in I^{n-k}M_{k}$ - $f\in I^{n-k}M_{k}$ - $f\in I^{n-k}M_{k}$ $f\in I^{n-k}M_{k}$ ${\in{n-k}M_{k$

R이 노메테리아라고 가정하면 보조정리증을 증명할 수 있어Let $M_{n}=I^{n}M$ $M_{n}=I^{n}M$ = $M_{n}=I^{n}M$ $M_{n}=I^{n}M$ $M_{n}=I^{n}M$ ${\displaystyle M_{n}=$ $I^{n}M$ 그러면 $M_{n}$ $M_{n}$ ${\$ 은(는) I-stable 여과다 $M_{n}$ .따라서 관찰에 의해 $B_{I}M$ $B_{I}M$ $B_{I}M$ ${\디스플레이$ 스타일 $B_{$ $I}M}$ 은 $B_{I}M$ (는) $B_{I}R$ $B_{I}R$ $B_{I}R$ ${\displaystyle B_{$ 에 걸쳐 생성됨 $I}R$ 그러나 B $B_{I}R\simeq R[It]$ $B_{I}R\simeq R[It]$ $B_{I}R\simeq R[It]$ $B_{I}R\simeq R[It]$ [ I $B_{I}R\simeq R[It]$ $B_{I}R\simeq R[It]$ ${\displaystyle B_{$ $I}R\simeq R[It]}$ 은 $B_{I}R\simeq R[It]$ R 이래의 노메테리아 반지. ( $R[It]$ [ $It$ ]}는 R $]}을($ 를) 리스 대수라고 한다 $R[It]$ .)따라서 B $B_{I}M$ $B_{I}M$ ${\displaystyle B_{$ $I}M}$ 은 $B_{I}M$ (는) 노메트리안 모듈이며 모든 하위 모듈은 $B_{I}R$ $B_{I}R$ $B_{I}R$ ${\$ 디스플레이 $스타일 B_{$ 에 걸쳐 정밀하게 생성된다. $I}R$ 특히 $B_{I}N$ $B_{I}N$ $B_{I}N$ ${\displaystyle B_{$ $I}N}$ 은 N에 유도 여과가 주어질 때 미세하게 생성된다 $B_{I}N$ . 즉, $N_{n}=M_{n}\cap N$ = $N_{n}=M_{n}\cap N$ $N_{n}=M_{n}\cap N$ $N_{n}=M_{n}\cap N$ ${\displaystyle N_{n}=M_{n}\cap N$ 그러면 유도 여과가 관찰에 의해 다시 I-안정화된다.

크롤의 교차로 정리

Besides the use in completion of a ring, a typical application of the lemma is the proof of the Krull's intersection theorem, which says: ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}=0}$ for a proper ideal I in a commutative Noetherian ring that is either a local ring or an integral domain.교차점 $N$ $N$ 에 적용된 보조정리기로 $N$ $n\geq k$ $n\geq k$ $n\geq k$ ${\displaystyle n\geq$ k $}$ 에 대한 k를 찾을 수 있다 $n\geq k$

I^{n}\cap N=I^{n-k}(I^{k}\cap N).

N=IN

N

N=IN

=

N=IN

N

{\displaystyle N=IN

따라서 A가 국소인 경우에는 나카야마의 보조정리기로

N=0

= 0

{\디스플레이 스타일

N

=0}

을(를) 받는다.A가 일체형 영역인 경우, 결정요인 트릭(Cayley-Hamilton 정리의 변종이며 나카야마의 보조마사를 산출한다)을 사용한다.

정리 — n개 원소에 의해 생성된 A-모듈 N의 내형성이 되고 $u(N)\subset IN$ $u(N)\subset IN$ (N ) be I $({\displaystyle u(N)\subset IN}$ 과 같은 A의 이상 $u(N)\subset IN$ 그러면 다음과 같은 관계가 있다.

u^{n}+a_{1}u^{n-1}+\cdots +a_{n-1}u+a_{n}=0,\,a_{i}\in I^{i}.

여기서 u를 N의 ID 연산자로 사용하십시오. 이 연산자는 $xN=0$ 에서 nonzero 원소 $xN=0$ 를 생성하여 $N=0$ N $N=0$ = 0 ${\displaystyle xN=0$ 을(를) 의미하며 $N=0$ = 0 {\ $displaystyle$ N $=0}$ 을(를) 암시한다 $N=0$

로컬 링과 통합 도메인 모두에 대해, "Noetherian"은 가정으로부터 삭제할 수 없다: 로컬 링 케이스에 대해서는, 로컬 링#커뮤터테이티브 케이스를 참조한다.통합 도메인 케이스의 경우 $A$ {\ $displaystyle A}$ 을 $A$ (를 $)$ 대수 정수의 링으로 $\mathbb {Z}$ ( $,$ C {\ $displaystyle$ \mathb ${Z}$ 의 $\mathbb {Z}$ C {\ $displaystyle \mathb {C}).$ A만약 p{\displaystyle{\mathfrak{p}}}이 가장 적절한 이상, 우리는:}}모든 정수 n을, 0{\displaystyle n>0}. 사실, 만약 y∈ p{\displaystyle y\in{\mathfrak{p}}}, 그때 y)α n{\displaystyle y=\alpha ^{n}}, p, nxp{\displaystyle{\mathfrak{p}}^{n}={\mathfrak{p}다.일부복합수 $\alpha$ ${\displaystyle \alpha$ $}.$ 자, $\alpha$ ${\$ { $Z$ $따라서$ A $A$ 에서 $A$ 그리고 ${\mathfrak {p}}$ ${\$ 에 통합되어 $\alpha$ 클레임이 입증된다 ${\mathfrak {p}}$

참조

^ David Rees (1956). "Two classical theorems of ideal theory". Proc. Camb. Phil. Soc. 52 (1): 155–157. Bibcode:1956PCPS...52..155R. doi:10.1017/s0305004100031091. 여기: 보조정리 1
^ Sharp, R. Y. (2015). "David Rees. 29 May 1918 — 16 August 2013". Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society. 61: 379–401. doi:10.1098/rsbm.2015.0010. 여기: 7장, 레마 7.2, 페이지 10
^ Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969). Introduction to Commutative Algebra. Westview Press. pp. 107–109. ISBN 978-0-201-40751-8.
^ Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. Springer-Verlag. Lemma 5.1. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.

추가 읽기

Conrad, Brian; de Jong, Aise Johan (2002). "Approximation of versal deformations" (PDF). Journal of Algebra. 255 (2): 489–515. doi:10.1016/S0021-8693(02)00144-8. MR 1935511. 아르틴-리즈 보조정리 버전의 좀 더 정확한 버전을 제공한다.

외부 링크

"Artin-Rees Theorem". PlanetMath.

[1] David Rees (1956). "Two classical theorems of ideal theory". Proc. Camb. Phil. Soc. 52 (1): 155–157. Bibcode:1956PCPS...52..155R. doi:10.1017/s0305004100031091. 여기: 보조정리 1

[2] Sharp, R. Y. (2015). "David Rees. 29 May 1918 — 16 August 2013". Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society. 61: 379–401. doi:10.1098/rsbm.2015.0010. 여기: 7장, 레마 7.2, 페이지 10

[3] Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969). Introduction to Commutative Algebra. Westview Press. pp. 107–109. ISBN 978-0-201-40751-8.

[4] Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. Springer-Verlag. Lemma 5.1. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

Search

아르틴-리즈 보조정리

네임스페이스

더

목차

성명서

증명

크롤의 교차로 정리

참조

추가 읽기

외부 링크