그라데드 반지

수학에서 특히 추상대수학에서 등급이 매겨진 링은 $R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}$ $R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}$ $R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}$ $R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}$ + j {\displaystyle $R_{i_{j$ }\ $subseteq R_{i$ +j $}}}$ 과 $R_{i}$ 같은 아벨리아 $R_{i}$ R ${\$ ${$ i}}}}{i+j $}}}}$ 의 직접 합인 링이다 $R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}$ 인덱스 세트는 일반적으로 음이 아닌 정수의 집합 또는 정수 집합이지만, 어떤 단조도 될 수 있다.직접 합 분해를 보통 그라데이션 또는 그레이딩이라고 한다.null

등급이 매겨진 모듈은 유사하게 정의된다(정확한 정의는 아래 참조).등급 벡터 공간을 일반화한다.등급이 매겨진 링이기도 한 등급별 모듈을 등급별 대수라고 한다.등급이 매겨진 링은 등급이 매겨진 $\mathbb {Z}$ ${\$ -algebra로도 $\mathbb {Z}$ 볼 수 있다.null

연관성은 등급이 매겨진 반지의 정의에서 중요하지 않다. 따라서, 그 개념은 등급이 매겨진 리 대수학도 고려할 수 있다.null

첫 번째 속성

일반적으로 등급이 지정된 링의 인덱스 세트는 달리 명시되지 않는 한 음이 아닌 정수의 집합이어야 한다.이 글에는 이런 것이 있다.null

등급이 매겨진 링은 직분해된 링이다.

R=\bigoplus _{n=0}^{\n=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }

다음과 같은 추가 그룹의

R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}

음이 아닌 모든 정수 $m$ $m$ 및 $m$ $n$ $n$ 에 대해 $n$

A nonzero element of $R_{n}$ is said to be homogeneous of degree $n$ . By definition of a direct sum, every nonzero element $a$ of $R$ can be uniquely written as a sum ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_$ ${n}}$ 여기서 $a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}$ $a_{i}$ $a_{i}$ ${\$ 는 0 또는 동종 $도$ i ${\displaystyle$ i $}$ 이다 $a_{i}$ $i$ $a_{i}$ $a_{i}$ ${\$ 은(는 $)$ {\ $displaystyle$ a $}$ 의 동종 성분이다 $a_{i}$ $a$

일부 기본 속성은 다음과 같다.

$R_{0}$ $R_{0}$ ${\$ 은 $R_{0}$ $R$ $R$ 의 서브링이며 $R$ 특히 승법정체 $1$ ${\displaystyle$ 1}은 $1$ 도 0의 균일한 원소다.
$모든$ n ${\$ $displaystyle$ n}에 대해 $n$ $R_{n}$ $R_{n}$ ${\$ 은 $R_{n}$ (는) $R_{0}$ $R_{0}$ $R_{0}$ {\ $displaystyle$ $R_$ ${$ $0}$ -modules의 $R_{0}$ $R_{0}$ 직합이다.
$R$ $R$ 은 $R$ (는) 연관 $R_{0}$ 0 ${\$ -algebra이다 $R_{0}$ .

An ideal $I\subseteq R$ is homogeneous, if for every $a\in I$ , the homogeneous components of $a$ also belong to $I.$ (Equivalently, if it is a graded submodule of $R$ ; see § Graded module.) $R_{n}$ ${\$ 과 $I$ (와) $동질$ 이상I {\ $displaystyle$ R_ ${$ $n}$ 의 $R_{n}$ 인 $R_{n}$ R 0 {\ $displaystyle R_$ {n $}$ -submodule은 $R_{0}$ $I$ ${\displaystystyle I}$ 의 $n$ 동질 $n$ 인 $R_{n}$ n의 $직접적$ 인 합이다 $I$ 동질의 부분null

$I$ $I$ 이(가 $R$ $R$ $R$ 의 양면 동종 이상이라면 $I$ $R/I$ $R/I$ 도 등급이 지정된 링으로 $R/I$ , 다음과 같이 분해된다.

R/I=\bigoplus _{n=0}^{\\infit }R_{n}/I_{n}}}

$I_{n}$ 서 $I_{n}$ $I_{n}$ ${\$ 은(는) $I$ $I$ 의 $n$ 도 $n$ $n$ 의 동종 부분이다 $I$

기본 예시

임의의 (점수가 없는) 링 $R_{0}=R$ 은 $R_{0}=R$ $R_{0}=R$ 에 $R_{0}=R$ 대해 R 0 = R {\ $displaystyle$ $R_{i}=0$ $R_{0}=R$ 0}= $R}$ 및 Ri = $R_{i}=0$ $R_{i}=0$ 을 $R_{i}=0$ (를) 놓아 그라데이션이 주어질 수 있다.이것을 R에 대한 사소한 그라데이션이라고 한다.
다항 링 $R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]$ = k $R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]$ [ $R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]$ 1 $R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]$ , $R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]$ … $R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]$ , $R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]$ $R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]$ $R=k[t_{1},\ldots, t_{n}}}$ 은(는) 등급별로 등급이 매겨진다 $R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]$ . 정도 i의 동종 다항식으로 구성된 $R_{i}$ $R_{i}$ ${\$ 의 직접 합이다.
S는 등급이 매겨진 적분 영역 R에 있는 모든 0이 아닌 동질 원소의 집합이 되게 한다.그 다음 S에 대한 R의 $\mathbb {Z}$ 에는 Z $\mathbb {Z}$ {\ $displaystyle \mathb {Z} }$ -graded $\mathbb {Z}$ 링이 있다.
If I is an ideal in a commutative ring R, then $\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}$ is a graded ring called the associated graded ring of R along I; geometrically, it is the coordinate ring of the normal cone along the subvariety defined by I.
X를 위상학적 공간, Hⁱ(X; R) 링 R에 계수가 있는 ith cohomology 그룹이라고 합시다.그 다음, R에 계수가 있는 X의 공동호몰로지 링인 H^*(X; R)는 $\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)$ 이 매겨진 링이며, 기본 그룹은 $\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)$ i $\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)$ = $\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)$ $\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)$ $\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)$ $\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)$ ( $\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)$ ; R $\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)$ ) ${\displaysty \bigoplus _{i=0}^{\inft }H^{i}(X;R)}$ 이다 $\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)$ .

등급 모듈

모듈 이론에서 상응하는 아이디어는 등급이 매겨진 모듈, 즉 등급이 매겨진 링 R 위에 있는 좌측 모듈 M이다.

M=\bigoplus _{i\in \mathb {N} }M_{i}}

그리고

R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}

예: 등급화된 벡터 공간은 필드 위에 등급이 매겨진 모듈의 예다(필드가 사소한 등급이 있는 경우).null

예: 등급이 매겨진 링은 그 자체보다 등급이 매겨진 모듈이다.등급이 매겨진 링에서 이상형은 등급이 매겨진 하위 모듈인 경우에만 동질적이다.등급이 매겨진 모듈의 전멸기는 동질적인 이상이다.null

Example: Given an ideal I in a commutative ring R and an R-module M, the direct sum $\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M$ is a graded module over the associated graded ring $\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}$ .

형태론 $f:N\to M$ : $f:N\to M$ → M ${\displaystyle f:$ $N\to M}$ between graded modules, called a graded morphism, is a morphism of underlying modules that respects grading; i.e., $f(N_{i})\subseteq M_{i}$ . A graded submodule is a submodule that is a graded module in own right and such that the set-theoretic inclusion is a morphism of graded modules.명시적으로 등급이 매겨진 모듈 N은 M의 하위 모듈로서 Ni = $N_{i}=N\cap M_{i}$ $N_{i}=N\cap M_{i}$ $N_{i}=N\cap M_{i}$ $N_{i}=N\cap M_{i}$ ${\$ 을 만족하는 경우에만 등급이 매겨진 M의 하위 모듈이다 $N_{i}=N\cap M_{i}$ 등급이 매겨진 모듈들의 형태론의 이미지와 커널은 등급이 매겨진 하위 모듈이다.null

비고: 이미지가 중앙에 놓여 있는 상태에서 등급이 매겨진 고리로부터 다른 등급의 고리까지 등급이 매겨진 형태론을 주는 것은 등급이 매겨진 대수학의 구조를 후자의 고리에게 부여하는 것과 같다.null

등급이 $M$ 매겨진 모듈 $M$ $M$ 이( $M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }$ ) 주어진 $M$ , $\ell$ -twist $\ell$ of $M$ ${\displaystyle$ $M$ = $M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }$ $M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }$ = M + $M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }$ ${\$ ) $_{n}={n+\$ ell $M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }$ 세레는 대수 기하학에서 칼집을 비틀고 있다.)null

M과 N을 등급으로 매겨라. $f\colon M\to N$ : $f\colon M\to N$ → N ${\displaystyle f\colon M\to$ N $}$ 이(가) 모듈의 형태론이라면 $f\colon M\to N$ , f는 $f(M_{n})\subseteq N_{n+d}$ $f(M_{n})\subseteq N_{n+d}$ $f(M_{n})\subseteq N_{n+d}$ $f(M_{n})\subseteq N_{n+d}$ $f(M_{n})\subseteq N_{n+d}$ + $f(M_{n})\subseteq N_{n+d}$ ${\$ 미분 기하학에서 미분형식의 외부 파생상품은 그러한 형태론이 도 1을 갖는 예다.

등급 모듈의 불변성

정류 등급의 링 R 위에 등급이 매겨진 모듈 M이 주어지면, 공식 파워 $P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]$ P ( $P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]$ , $P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]$ ) $P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]$ Z $P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]$ [ [ t $P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]$ $P(M,t)\in \mathb {Z} [\![t]\]$ 을(를) 연결할 수 있다 $P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]$

P(M,t)=\sum \ell(M_{n}t^{n}}}}

( $\ell (M_{n})$ ( $\ell (M_{n})$ $\ell (M_{n})$ ) $\ell (M_{n})$ 은(는) 유한함 $\ell (M_{n})$ ).M의 힐베르트-푸앵카레 시리즈라고 불린다.

기초 모듈이 미세하게 생성되면 등급이 매겨진 모듈이 미세하게 생성된다고 한다.발전기는 균질(균질 부품으로 발전기를 교체함으로써)으로 간주할 수 있다.null

R이 다항식 링 $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ [ $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ 0 $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ , $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ … $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ , $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n$ 필드 및 M 위에 정밀하게 생성된 등급화된 모듈이라고 가정합시다.그 다음 함수 $n\mapsto \dim _{k}M_{n}$ $n\mapsto \dim _{k}M_{n}$ $n\mapsto \dim _{k}M_{n}$ $n\mapsto \dim _{k}M_{n}$ $n\mapsto \dim _{k}M_{n}$ m $n\mapsto \dim _{k}M_{n}$ ${\$ 을(를) M의 힐버트 함수라고 한다 $n\mapsto \dim _{k}M_{n}$ .함수는 M의 Hilbert 다항식이라고 불리는 큰 n에 대한 정수 값 다항식과 일치한다.

등급대수학

링 R에 대한 대수 A는 링으로 등급이 매겨진 경우 등급이 매겨진 대수다.null

링 R의 등급이 매겨지지 않은 일반적인 경우(특히 R이 필드인 경우)에는 사소한 등급이 부여된다(R의 모든 요소는 도 0이다).따라서 $R\subseteq A_{0}$ $R\subseteq A_{0}$ $R\subseteq A_{0}$ $R\subseteq A_{0}$ ${\$ 와 $R\subseteq A_{0}$ 등급이 매겨진 A $A_{i}$ ${\$ 는 R-모듈이다 $A_{i}$ .null

R반지도 등급이 매겨진 반지일 경우, R반지도 등급이 매겨진 반지일 경우, R반지는 다음과 같은 것을 요구한다.

R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}

즉, 우리는 A가 R보다 등급이 높은 왼쪽 모듈이어야 한다.

등급이 매겨진 알헤브라의 예는 수학에서 흔히 볼 수 있다.

다항식 고리.도 n의 동질 원소는 정확히 도 n의 동질 다항식이다.
벡터 공간 V의 $T^{\bullet }V$ 텐서 대수 $T^{\bullet }V$ $T^{\bullet }V$ $T^{\bullet }V$ ${\displaystyle$ T $^{\bullet }V}.$ n 등급의 동질 $T^{n}V$ 는 n 순서의 텐서, T $T^{n}V$ $T^{n}V$ ${\displaystyle$ T $^{n}V}$ 이다 $T^{n}V$
$\textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V$ 대수 $\textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V$ V ${\$ 과 $\textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V$ 대칭 대수 $S^{\bullet }V$ $S^{\bullet }V$ $S^{\bullet }V$ ${\displaystyle$ S $^{\bullet }V}$ 도 알헤브라의 등급이다 $S^{\bullet }V$ .
어떤 코호몰로지 이론에서든 $H^{\bullet }$ 코호몰로지 $H^{\bullet }$ H $H^{\bullet }$ ${\$ H $^{\bullet }}$ 도 등급이 매겨져 있으며, 코호몰로지 그룹 $H^{n}$ $H^{n}$ ${\$ H $^{n}}}$ 의 직접 합이 된다 $H^{n}$

단계별 알헤브라는 정류 대수학 및 대수 기하학, 동질 대수학, 대수학 위상에 많이 사용된다.한 예로 동종 다항식과 투영품종(cf)의 밀접한 관계를 들 수 있다.균등 좌표 링).null

G-graded 링과 알헤브라스

위의 정의는 색인 집합으로 어떤 모노이드 G를 사용하여 등급이 매겨진 링으로 일반화되었다.G-graded 링 R은 직접 합이 분해된 링이다.

R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}

그런

R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.

$i\in G$ $i\in G$ $i\in G$ G $i\in G$ 에 $R_{i}$ $R_{i}$ R $R_{i}$ ${\$ 안에 있는 R의 요소는 등급 i와 동질적이라고 한다 $i\in G$ .null

이전에 정의된 "그라운드드 링" 개념은 이제 $\mathbb {N}$ ${\$ -graded $\mathbb {N}$ 링과 동일한 것이 되며, 여기서 $\mathbb {N}$ ${\$ 은 더하여 음이 아닌 정수의 단수가 된다 $\mathbb {N}$ .등급이 매겨진 모듈과 알헤브라에 대한 정의도 인덱싱 세트 $\mathbb {N}$ ${\$ { $N}을($ 를) 모노이드 G로 $\mathbb {N}$ 대체하는 방식으로 확장할 수 있다.

설명:

만약 우리가 링에 정체성 요소를 가지지 않아도 된다면, 세미그룹들은 모노이드들을 대체할 수 있을 것이다.

예:

그룹은 자연스럽게 해당 그룹 링의 등급을 매긴다. 마찬가지로, 모노이드 링은 해당 모노이드에 의해 등급이 매겨진다.
(연관적) 슈퍼걸브라는 $\mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {Z} _{2}$ ${\$ -graded $\mathbb {Z} _{2}$ 대수학의 다른 용어다.그 예로는 클리포드 알헤브라가 있다.여기서 동질 원소는 도 0(짝수) 또는 1(이상)이다.

반공칭도

일부 등급의 고리(또는 알헤브라스)는 반공성 구조를 가지고 있다.이 개념은 두 개의 원소가 있는 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ Z $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ Z ${\$ 의 가법 단모형으로 그라데이션의 단모형을 필요로 한다.Specifically, a signed monoid consists of a pair $(\Gamma ,\varepsilon )$ where $\Gamma$ is a monoid and $\varepsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ is a homomorphism of additive monoids.반공성 $\Gamma$ -graded $\Gamma$ 링은 다음과 같이 γ과 관련하여 등급이 매겨진 반지 A이다.

xy=(-1)^{\varespsilon (\bares x)\varespsilon (\bares y)}yx,

모든 동질 원소 x와 y에 대해.null

예

An exterior algebra is an example of an anticommutative algebra, graded with respect to the structure $(\mathbb {Z} ,\varepsilon )$ where $\varepsilon \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ is the quotient map.
A supercommutative algebra (sometimes called a skew-commutative associative ring) is the same thing as an anticommutative $(\mathbb {Z} ,\varepsilon )$ -graded algebra, where $\varepsilon$ is the identity endomorphism of the additive structure of ${\displaystyle \mathbb$ ${Z} /2\mathb {Z}$

그라데이션 모노이드

직관적으로 그라데이션된 모노이드(graded monoid)는 $R_{n}$ ${\$ $\bigoplus _{n\in \mathb{N} _{0}$ $R_{n$ 의 단계별 링 부분집합이다 $\bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}$ 즉, 그라데이션된 모노이드의 요소 집합은 $\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}$ n $\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}$ $\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}$ $\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}$ $\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}$ $\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}$ ${\$ 이다 $\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}$

등차 기능 ϕ과 형식적으로, 차등 monoid[1]은monoid(M, ⋅){\displaystyle(M,\cdot)},:M→ N0(_{0}}가 ϕ(m⋅ m′))ϕ(m)+ϕ(m′){\displaystyle\phi(m\cdot m')=\phi(m)+\phi(m')}. 1M{의 눈금을 \displaystyle습니다. 1_{ $M}$ 은 반드시 0이다 $1_{M}$ .일부 저자는 m이 정체성이 아닌 경우 $\phi (m)\neq 0$ $\phi (m)\neq 0$ ( m $\phi (m)\neq 0$ ) $\phi (m)\neq 0$ $\phi (m)\neq 0$ $\phi (m)\neq 0$ 을(를) 더 요청하기도 한다.null

비식별 요소의 눈금이 0이 아니라고 가정하면, 눈금 n의 요소 수는 $g^{n}$ $g^{n}$ ${\$ 이며, 여기서 $g^{n}$ g는 모노이드의 생성 집합 G의 카디널리티다.따라서 그라데이션 n 이하의 요소 수는 최대 $n+1$ + $n+1$ ${\displaystyle n+1}($ $g=1$ = $g=1$ $g=1$ 의 경우 ${\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}$ 또는 $g$ + 1 - 1 g - ${\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}$ {\ $displaystyle {\$ g^{ $n+$ 1}- $1}{g-1}$ 다른 ${\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}$ ${\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}$ .실제로 그러한 각 요소는 G의 최대 n개 요소의 산물이며, 이러한 제품은 ${\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}$ ${\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}$ ${\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}$ + 1 ${\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}$ - 1 ${\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}$ - ${\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}$ ${\$ 만 존재한다.마찬가지로, ID 요소는 두 개의 비 ID 요소의 산물로 쓸 수 없다.즉, 이렇게 등급이 매겨진 단면체에는 단위가 없다.null

그라데이션된 모노이드에 의해 인덱싱된 파워 영상 시리즈

이 개념은 파워 시리즈 링의 개념을 확장시킨다.지수화 패밀리를 $\mathbb {N}$ ${\$ 로 하는 대신 $\mathbb {N}$ 지수화 패밀리는 각 정수 n에 대해 도 n의 요소 수가 유한하다고 가정할 때 어떤 등급화된 모노이드일 수 있다.

좀 더 공식적으로 $(K,+_{K},\times _{K})$ ( $(K,+_{K},\times _{K})$ , $(K,+_{K},\times _{K})$ + $(K,+_{K},\times _{K})$ , $(K,+_{K},\times _{K})$ K ) $(K,+_{K},\times _{K}}$ 은(는) 임의의 반향이고 $(R,\cdot ,\phi )$ $(R,\cdot ,\phi )$ ⋅, $(R,\cdot ,\phi )$ ) $(R,\cdot ,\phi )$ 은 $(R,\cdot ,\phi )$ 등급의 단일형이 되도록 $(K,+_{K},\times _{K})$ 한다. $K\langle \langle R\rangle \rangle$ $K\langle \langle R\rangle \rangle$ $K\langle \langle R\rangle \rangle$ $K\langle \langle R\rangle \rangle$ $K\langle \langle R\rangle \rangle$ { $K\langle \langle R\rangle \rangle$ { {\ $displaystyle K$ \langle \ $langle \langle \rangele$ }은 R에 의해 지수화된 K의 계수를 갖는 동력계열의 반감을 나타낸다 $K\langle \langle R\rangle \rangle$ .그것의 요소는 R에서 K까지의 기능이다.The sum of two elements $s,s'\in K\langle \langle R\rangle \rangle$ is defined point-wise, it is the function sending $m\in R$ to $s(m)+_{K}s'(m)$ . And the product is the function sending $m\in R$ to the infinite sum $\sum _{p,q\in R,p\cdot q=m}s(p)\times _{K}s'(q)$ . This sum is correctly defined (i.e., finite) because, for each m, only a finite number of pairs (p, q) such that pq = m exist.null

예

형식 언어 이론에서 알파벳 A가 주어지는 경우, A보다 더 많은 단어의 자유로운 단형은 단어의 그라데이션이 그 길이인 그라데이션 단어로 간주할 수 있다.null

참고 항목

참조

^ Sakarovitch, Jacques (2009). "Part II: The power of algebra". Elements of automata theory. Translated by Thomas, Reuben. Cambridge University Press. p. 384. ISBN 978-0-521-84425-3. Zbl 1188.68177.

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556.
Bourbaki, N. (1974). "Ch. 1–3, 3 §3". Algebra I. ISBN 978-3-540-64243-5.
Steenbrink, J. (1977). "Intersection form for quasi-homogeneous singularities" (PDF). Compositio Mathematica. 34 (2): 211–223 See p. 211. ISSN 0010-437X.

Matsumura, H. (1989). "5 Dimension theory §S3 Graded rings, the Hilbert function and the Samuel function". Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Translated by Reid, M. (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-71712-1.

[1] Sakarovitch, Jacques (2009). "Part II: The power of algebra". Elements of automata theory. Translated by Thomas, Reuben. Cambridge University Press. p. 384. ISBN 978-0-521-84425-3. Zbl 1188.68177.

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