라그 연산자

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오.(2011년 1월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

시계열 분석에서 지연 연산자(L) 또는 백시프트 연산자(B)는 시계열 요소에서 작동하여 이전 요소를 생성한다.예를 들어, 일부 시계열은

${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}}$

그때

${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$1 ${\$ 모든$$ > 1 ${\displaystyle t>1.$

또는 백시프트 연산자 B:${\displaystyle B_{}}$ X t${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{X}}_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$$}$ 모든 > ${\displaystyt t>1$}에 대해$$ 유사하게 동등하게 이 정의는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle \mathrm{X}}$ ${\displaystyle t_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$+ 1 ${\$ 모든 t ${\displaystyle \ge }$ 1 ${\displaystyle t\geq$ 1$}$에 대해

지연 연산자(백시프트 연산자뿐만 아니라)는 다음과 같이 임의의 정수 파워로 상승할 수 있다.

${\displaystyle L^{-1}X_{t}=X_{t+1}.$

그리고

${\displaystyle L^{k}X_{t}=X_{t-k}.}$

라그 다항식

시차 연산자의 다항식을 사용할 수 있으며, 이것은 ARMA(자율 이동 평균) 모델의 일반적인 표기법이다.예를 들어,

${\displaystyle \varepsilon _{t}=X_{t}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}={i=1\sum _{p}^{p}\l^{i}\i}\right)X_{{t}}}$

AR(p) 모델을 지정하십시오.

예를 들어 ARMA 모델을 다음과 같이 간결하게 지정할 수 있도록 지연 연산자의 다항식을 lag 다항식이라고 한다.

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}}$

여기서 $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle L}$) ${\displaystyle \varphi (L)}$ 및$$ $\theta {\displaystyle }$(${\displaystyle L)}$ ${\displaystyle \theta (L)}$은 각각$$ 지연 다항식을 나타낸다.

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}}}}$

그리고

${\displaystyle \theta(L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta_{i}L^{i}\,}$

시차 연산자의 다항식은 숫자와 변수의 다항식과 마찬가지로 곱셈과 나눗셈의 유사한 규칙을 따른다.예를 들어,

${\displaystyle X_{t}={\frac {\fracta(L)}{\varphi(L)}}}\varepsilon _{t}}}$

와 같은 뜻이다

$\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.}$

변수의 다항식처럼 시차 연산자의 다항식을 다항식 긴 분할을 사용하여 다른 다항식으로 나눌 수 있다.일반적으로 이러한 다항식 하나를 다른 다항식으로 나누면, 각각 유한한 순서(최고 지수)를 가질 때, 무한 순서 다항식이 된다.

[${\displaystyle \text{]}{}_{}}$+ ${\$로 표기된 전멸기 연산자는 음의 힘(미래 값)으로 다항식의 항목을 제거한다$.$

$\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\$는 계수의 합을 가리킨다는 점에$$ 유의하십시오.

${\displaystyle \varphi \left(1\오른쪽)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}}}$

차이 연산자

시계열 분석에서 첫 번째 차이 연산자: ${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle {\begin{tigned}\nabla X_{t}&=X_{t}-X_{t}\\\nabla X_{t}&=(1-L)X_{t}~~\end{정렬}}}$

마찬가지로 두 번째 차이 연산자는 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\nabla X_{t})&=\nabla X_{t}-\nabla X_{t-1}\\\nabla ^{2}X_{t}&=(1-L)\nabla X_{t}\\\nabla ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\nabla ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{정렬}}}$

위의 접근방식은 i번째 차이 연산자 $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ i ${\displaystyle X^{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle L{}^{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ .${\displaystyle \nabla^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\.}$에 일반화된다.

조건기대

이전 정보 집합이 주어진 변수의 기대치에 관심을 갖는 것은 확률적 프로세스에서 흔히 볼 수 있다.$\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$을 시간 t에 공통적인 모든 정보로 하고$$(이는 종종 예상 연산자 아래에 첨자로 표시됨) 이후 X의 실현에 대한 기대값, 미래의 j 시간 단계는 다음과 같이 동등하게 기록할 수 있다.

${\displaystyle E[X_{t+j} \Oomega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}].}$

이러한 시간 의존적인 조건부 기대치를 가지고, 예측 변수의 날짜만을 조정하는 역변환 연산자(B)와 예측 변수의 날짜와 정보 세트를 동일하게 조정하는 라그 연산자(L)를 구별할 필요가 있다.

${\displaystyle L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t-n}[X_{t+j-n}],}$

${\displaystyle B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+j-n}]}$

참고 항목

• 자기 회귀 모형
• 자기 회귀 이동 평균 모형
• 이동평균모형
• 시프트 연산자
• Z-변환기

참조

• Hamilton, James Douglas (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press. ISBN 0-691-04289-6.
• Verbeek, Marno (2008). A Guide to Modern Econometrics. John Wiley and Sons. ISBN 0-470-51769-7.
• Weisstein, Eric. "Wolfram MathWorld". WolframMathworld: Difference Operator. Wolfram Research. Retrieved 10 November 2017.
• Box, George E. P.; Jenkins, Gwilym M.; Reinsel, Gregory C.; Ljung, Greta M. (2016). Time Series Analysis: Forecasting and Control (5th ed.). New Jersey: Wiley. ISBN 978-1-118-67502-1.