라그랑주 반전 정리

수학적 분석에서 라그랑주 반전 정리(라그랑주-)라고도 한다.Bürmann 공식은 분석함수의 역함수의 테일러 시리즈 확장을 제공한다.

성명서

z가 형식의 방정식에 의해 w의 함수로 정의된다고 가정하자.

${\displaystyle z=f(w)}$

여기서 f는 a ${\displaystyle \mathrm{지점}}$과 f${\displaystyle {}^{}(}$( )${\displaystyle 0}$ 0${\displaystyle \mathrm{.}}${\$displaystyle$ f$'(a)\neq$ 0$.}$ 그러면$$ w에 대한 방정식을 반전시키거나 풀 수 있으며, 이를 파워 시리즈가$$^[1] $제공$한${\displaystyle }$w = ${\displaystyle g(z}$ )$${\$displaystyle w=g(z)}$ 형식으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle g(z)=a+\sum _{n=1}^{\n}g_{n}{\frac {(z-f(a)))^{n}}{n!}},}$

어디에

${\displaystyle g_{n}=\lim _{w\to a}{\frac {d^{n-1}}\왼쪽[\left^\frac {w(w)-f(a)}\right)^{n}\right].}$

정리는 추가로 이 시리즈가 ${\displaystyle 0}$이 아닌 수렴 반경을 가지고 있다고 기술한다. 즉, $g{\displaystyle }$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle g($${\displaystyle z}$$)}$은 z${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaysty z=f(a$)의 인접 지역에서 z의 분석 함수를 나타낸다$$$.$$}}$ 이것을 연재역전이라고도 한다.

분석성에 대한 주장이 생략되면 공식은 공식 파워 시리즈에도 유효하며 다음과 같은 다양한 방법으로 일반화될 수 있다.여러 변수의 함수에 대해 공식화할 수 있으며, 모든 분석함수 F에 대해 F(g(z)의 준비된 공식을 제공하도록 확장할 수 있으며, 역 g가 다중값 함수인 경우$$ 사례 $f{\displaystyle {}^{}(}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle f'(a)=0,}$까지 일반화할 수 있다.

이 정리는 라그랑주에^[2] 의해 증명되었고 두 사람 모두 18세기 후반에 ^[3][4][5]한스 하인리히 뷔르만에 의해 일반화되었다.복잡한 분석과 등고선 통합을 이용한 간단한 파생이 있다;^[6] 복잡한 공식 파워 시리즈 버전은 다항식의 공식을 아는 결과물이므로 분석함수의 이론이 적용될 수 있다.실제로 분석 기능 이론에서 나온 기계는 이 증명에서 형식적인 방식으로만 입력되는데, 실제로 필요한 것은 형식 잔여물의 일부 특성이며, 보다 직접적인 형식적 증명도 이용할 수 있다.

f가 공식 파워 시리즈인 경우, 위의 공식은 합성 역 시리즈 g의 계수를 f의 계수에 대한 측면에서 직접 제공하지 않는다.공식 파워 시리즈에서 f와 g의 기능을 다음과 같이 표현할 수 있는 경우

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\f_{k}{\frac{w^{k}}{k!}}}\qquad{\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\inflt }{{k}{\frac{z^{k}}{k!}}}$

f₀ = 0 및 f₁ ≠ 0을 사용하는 경우,^[7] Bell 다항식 단위로 명시적인 형태의 역 계수를 제공할 수 있다.

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{(k)}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\quad n\geq 2,}$

어디에

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}_{k}&={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},\\g_{1}&={\frac {1}{f_{1}}},{\text{ and}}\\n^{(k)}&=n(n+1)\cdots (n+k-1)\end{aligned}}}$

상승 요인이다.

f₁ = 1일 때, 마지막 공식은 연관성 면의 관점에서 해석될 수 있다.

${\displaystyle g_{n}=\sum _{F{{n}(-1)^{n-\dim F}f_{F},\quad n\geq 2,}$

where ${\displaystyle f_{F}=f_{i_{1}}\cdots f_{i_{m}}}$ for each face ${\displaystyle F=K_{i_{1}}\times \cdots \times K_{i_{m}}}$ of the associahedron ${\displaystyle K_{n}.$$}$

예

예를 들어, 도 p의 대수 방정식

${\displaystyle x^{p}-x+z=0}$

f(x) = x - x^p 함수에 대한 라그랑주 반전 공식을 사용하여 x에 대해 해결할 수 있으며, 이에 따라 공식 시리즈 솔루션이 생성된다.

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{\inflt}{{k}}{\binom {k}{\frac {z^{(p-1)k+1}{{(p-1)k+1}{{(p-1)k+1}}}}}}}$

수렴 테스트에 의해 이 시리즈는 ${\displaystyle 사실상}$ z ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle (\mathrm{p}}$- 1${\displaystyle }$) p${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle p^{}}$/${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle$z$\leq (p-1)p^{-p/(p-1)}$에 대한 수렴이 이루어지는데$$, 이 또한 f에 대한 국부 반전을 정의할 수 있는 가장 큰 디스크다.

적용들

라그랑주-부르만 공식

There is a special case of Lagrange inversion theorem that is used in combinatorics and applies when ${\displaystyle f(w)=w/\phi (w)}$ for some analytic ${\displaystyle \phi (w)}$ with ${\displaystyle \phi (0)\neq 0.}$ Take ${\displaystyle a=0}$ to obtain ${\displaystyle f(a)=f(0}$${\displaystyle f(a)=f(0)=0.$$}$ $그러면$ 역 g${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle g(z)}($$만족{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$( ${\displaystyle z}$) )$\$ z {\$displaystyle f(g(z$)\$equiv$ z$})$에 대해 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle {\frac}g&=\sum _{n=1}^{\inflit }{w\lim _{w\n-1}{d^{n-1}:{n-1}}}}\좌(\좌){w/\phi(w)}\우)^{n}\오른쪽)\오른쪽]{\frac {z^{n}}{n!}}\{}&=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{n}}\왼쪽[{\frac {1}{(n-1)!}}}\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}{{n-1}}(\phi(w)^{n}\오른쪽]z^{n},\end{aigned}}}}}}}}}$

다음과 같이 대안으로 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle [z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi(w)^{n}}}$

여기서${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle [w^{r}}}$은(는) w의 함수의 테일러 시리즈에서$$ $w{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$ ${\$의 계수를 추출하는 연산자다$$.

공식의 일반화는 라그랑주-로 알려져 있다.부르만 공식:

${\displaystyle [z^{n}]H(g)(z)={\frac {1}{n1}{n}}[w^{n1}](H'(w)\phi(w)^{n}}}}}$

여기서 H는 임의의 분석함수다.

때때로 파생상품 H′(w)는 상당히 복잡할 수 있다.보다 간단한 버전의 공식은 H′(w)를 H(w)(1 - φ′(w)/φ(w)로 대체하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi(w)^{n-1}(\phi(w)-w\phi '(w)),}$

H′(w) 대신 φ(w)를 포함하는 것.

램버트 W 함수

Lambert W 함수는 방정식에 의해 암시적으로 정의된 $함수$ W${\displaystyle }$(${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle$ W$(z)}$이다.

${\displaystyle W(z)e^{W(z)}=z.}$

$우리$는 정리를 이용하여 W${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$)의$$테일러 $시리즈$ {\displaystyle $W(z)}$을 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle z=0.}$ 우리는$$ $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w^{}}$ w (w) = w$.$ w($w)=w^{w},$ $a$ = ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystystyle$ a$=0.$$}$ 그것을 인식하는$$ 중

${\dfrac {d^{n}{dx^{n}}{dx^{n}e^{\filency x}=\filency ^{n}e^{n}}}$

이것으로 알 수 있다

${\displaystyle{\begin}W(z)&=\sum _{n=1}^{n=1}{n=1}{n=0}\lim _{w\to 0}{dw^{n-1}{dw-1}e^{n-1}\frac {z^{n}}}{n!}}\{}&=\sum _{n=1}^{n=1}{n-1}^{\frac{z^{n}}{n!}}\{}&}=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}}}{4}+O(z^{5})\end{정렬}}}$

이 시리즈의 수렴 반경은 $e{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$램버트 기능의 주 분기를 부여)이다.

더 큰 z(모든 z에 대해서는 아니지만)를 위해 수렴하는 시리즈는 시리즈 역전에 의해서도 유도될 수 있다.$함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle W}$( e ${\displaystyle z^{}}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(z)=$$W(e^{z}-1})$가 방정식을 충족함$$

$1+f(z)+\ln(1+f(z)=z.}$

그런 다음 ${\displaystyle \mathrm{z}}$+ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle z+\ln(1+z)}$을(를) 파워 시리즈로 확장하고 반전시킬 수 있다$$.$이것$은 f (${\displaystyle z}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle W}$( e ${\displaystyle {\mathrm{z}}^{}}$+ 1${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$: ${\$에 대한 시리즈를 제공한다.$W(e^{z+1})-1{\text{:$$}}}$

${\displaystyle W(e^{1+z}}=1+{\frac {z}{2}}-{16}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\z^{4}}}}}-{\frac{1372}}}}}}{61440}}-O(z^{6}).}$

${\displaystyle W}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle W(x)}$은(는) 위의 시리즈에서 ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ x${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \ln x-1}$을(를) z에 대체하여 계산할 수 있다$$.예를 들어 z에 -1을 대입하면 $W{\displaystyle (1}$)${\displaystyle \mathrm{}\approx }$ 0${\displaystyle .567143}$의 값이 나온다${\displaystyle \mathrm{.}}$$(\displaystyle W(1)\ 약 0.567143.$$}$

이진수

레이블이 지정되지 않은 이진 트리의 $B$ ${\$을(를) 고려하십시오^[9].$B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 요소는 크기가 0인 잎 또는 두 개의 하위 트리를 가진 루트 노드 중 하나이다$$.$Bn{\displaystyle }$ ${\$을(를) 사용하여 n ${\displaystyle n}$ 노드의$$ 이진 트리 수를$$ 표시하십시오.

뿌리를 제거하면 이진수가 작은 두 그루의 나무로 쪼개진다.생성함수 $B{\displaystyle (}$ ${\displaystyle z}$) =${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}=}$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle n^{}}$: ${\$n}}{\$text{:$$}}}$

${\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}}$

Letting ${\displaystyle C(z)=B(z)-1}$, one has thus ${\displaystyle C(z)=z(C(z)+1)^{2}.}$ Applying the theorem with ${\displaystyle \phi (w)=(w+1)^{2$$}}$ 수확량$$

${\displaystyle B_{n}[z^{n}]C(z)={\frac{1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac{1}{n}}{\binom{2n}{n-1}}={\frac{1}{n+1}}{\binom{2n}{n}}.}$

이것은 Bn{\displaystyle B_{n}}은 nth 카탈로니아어 수를 보여 준다.

통합의 점근법 근사치

는Laplace-type 적분식의 점근 근사를 주고 Laplace-Erdelyi 정리에서, 기능의 역전 결정적인 단계로 간주된다.

참고 항목

• Faà 브루노의 공식들 2개의 계열의 계수의 관점에서 공식적인 힘 시리즈의 구성의 계수를 준다 디.합성한 기능의 n번째 파생물에 Equivalently, 그것은 공식이다.
• 다른 정리 가끔 뒤집기 정리라고 불리는 라그랑지 복귀 정리.
• 공식적인 멱급수#은 라그랑주 반전 공식

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Bürmann's Theorem". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Series Reversion". MathWorld.
• Springer UM의 Burmann-Lagrange 시리즈