마르코프 스펙트럼

수학에서 안드레이 마르코프가 고안한 마르코프 스펙트럼은 마르코프 디오판틴 방정식과 디오판틴 근사설에서도 발생하는 복잡한 실수의 집합이다.

2차 형태 특성화

f(x,y) = 도끼² + bxy + cy로² 주어진 2차 형태를 고려하며, 그 판별이 고정되어 있다고 가정하면, 예를 들어 -1/4와 같다.즉² b - 4ac = 1이다.

격자 Z ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$$^{2}}$의 0이 아닌 벡터로 평가될 때 f가 달성하는 최소값을 요구할 수 있으며, 이 최소값이 존재하지 않는 경우 최소값을 요구할 수 있다.

마르코프 스펙트럼 M은 판별이 -1/4에 고정된 다른 2차 형태를 사용하여 이 검색을 반복하여 얻은 집합이다.

라그랑주 스펙트럼

Diophantine 근사치에 대한 Hurwitz의 정리로부터 시작하여, 임의의 실제 숫자 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$xi $}$에는 다음과$$ 같은 일련의 합리적인 근사치가 있다.

${\displaystyle \exi -{\frac {m}{n}}\오른쪽 <{\frac {1}{{\sqrt{5}}\,n^{2}}}}$

$어떤$ with {\$displaystyle \xi}$의 존재에 대해 1/c의 각 값을 1/c로 요청할 수 있다$.$

${\displaystyle \exi -{\frac {m}{n}}}\오른쪽 <{\frac {c}{n^{2}}:}$

그러한 시퀀스에 대해 c는 가능한 최고의 (비교) 값이다.그러한 1/c는 최소 ∆5(스펙트럼의 가장 작은 값) 이상의 실수의 집합인 라그랑주 스펙트럼 L을 구성한다.역수와의 공식은 어색하지만 전통적인 정의는 그것을 초대한다; 대신에 c의 집합을 보는 것은 낮은 한계에 의한 대신 정의를 허용한다.그것을 위해 고려하라.

${\displaystyle \liminf _{n\to \inflit }{2}\왼쪽 \xi -{\frac {n}{n}}오른쪽,}$

여기서 m은 차이를 최소로 만들기 위해 n의 정수 함수로 선택된다.이것은 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi$ $\}$의 함수로서, 라그랑주 스펙트럼의 역수는 비합리적인 숫자에 대해 취하는 값의 범위다.

마르코프 스펙트럼과의 관계

라그랑주 스펙트럼의 초기 부분, 즉 간격[√5, 3)에 놓여 있는 부분은 마르코프 스펙트럼과 동일하다.처음 몇 개의 값은 √5, √8, √221/5, √1517/13이며,^[1] 이 시퀀스의 n번째 번호(즉, n번째 라그랑주 수)는 공식으로 n번째 마르코프 번호로부터 계산할 수 있다.

프리만의 상수는 라그랑주 스펙트럼의 마지막 간격 끝에 주어진 이름이다. 즉, 다음과 같다.

${\displaystyle F={\frac {2\,221\,564\,096+283\,748{\sqrt {462}}}{491\,993\,569}}=4.5278295661\dots }$ (sequence A118472 in the OEIS).

F보다 큰 실수도 마르코프 스펙트럼의 멤버다.^[2]더구나 L이 M에 엄격히 포함되어 있다는 것을 증명할 수 있다.^[3]

마르코프 스펙트럼과 라그랑주 스펙트럼의 기하학적 구조

한편으로, [55, 3) 구간에 놓여 있는 마르코프 스펙트럼과 라그랑주 스펙트럼의 초기 부분은 모두 동일하며 이산형 집합이다.반면 프리만의 상수 이후 놓여 있는 이들 세트의 마지막 부분 역시 동일하지만 연속 세트다.초기 부분과 최종 부분 사이의 부분의 기하학은 프랙탈 구조를 가지며, 이산 초기 부분과 연속적인 최종 부분 사이의 기하학적 전환으로 볼 수 있다.이것은 다음 정리에 정확하게 명시되어 있다.^[4]

참고 항목

• 마르코프 수

참조

추가 읽기

• 콘웨이, J. H. 그리고 가이 R. K.'숫자의 책'뉴욕: Springer-Verlag, 페이지 188–189, 1996.
• 쿠식, T. W.와 플라히브, 엠.E.마르코프 및 라그랑주 스펙트럼.프로비던스, RI: 아머.수학. Soc. 1989.
• Cassels, J.W.S. (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press. Zbl 0077.04801.

외부 링크

• "Markov spectrum problem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]