라수

수학에서 1954년 이보 라에 의해 발견된 lah 숫자는 하강 요인 측면에서 상승 요인들을 표현하는 계수다.^[1][2]또한 e ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$의 e1 / x ${\displaystyle$e^{1/x$\}$^[3] 파생상품에 대한 $n{\displaystyle }$ {\displaystyle n$}$

서명되지 않은 Lah 숫자는 조합학에서 흥미로운 의미를 가지고 있다: 그것들은 n개의 원소 집합을 비어 있지 않은 선형적으로 정렬된 하위 집합으로 분할할 수 있는 방법의 수를 계산한다.^[4]lah 번호는 스털링 숫자와 관련이 있다.^[5]

서명되지 않은 Lah 번호(OEIS의 순서 A105278):

${\displaystyle L(n,k)={n-1 \선택 k-1{\frac {n!}}{k!}}}}$

서명된 Lah 번호(OEIS의 시퀀스 A008297):

${\displaystyle L'(n,k)=(-1)^{n1}{n-1 \선택 k-1{\frac {n!}}{k!}}}}$

L(n, 1)은 항상 n!이다. 위의 해석에서 {1, 2, 3}의 유일한 파티션은 1 세트로 6가지 방법으로 집합을 정렬할 수 있다.

{(1, 2, 3)}, {(1, 3, 2)}, {(2, 1, 3)}, {(2, 3, 1)}, {(3, 1, 2)} 또는 {(3, 2, 1)}

L(3, 2)는 두 개의 순서가 있는 6개의 파티션에 해당한다.

{(1), (2, 3), (1, 3), (3, 2), {(2), (1, 3), {(2), (3, 1), (3, 1), (1, 2) 또는 (3), (2, 1)}

L(n, n)은 항상 1이므로, 예를 들어, {1, 2, 3}을(를) 3개의 비어 있지 않은 하위 집합으로 분할하면 길이 1의 하위 집합이 된다.

{(1), (2), (3)}

스털링 숫자에 대해 카라마타-크누스 표기법을 적용하여, 라흐 숫자에 대해 다음과 같은 대체 표기법을 사용할 것을 제안하였다.

상승 및 하강 요인

Let ${\displaystyle x^{(n)}}$ represent the rising factorial ${\displaystyle x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ and let ${\displaystyle (x)_{n}}$ represent the falling factorial ${\displaystyle x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$.

Then ${\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=1}^{n}L(n,k)(x)_{k}}$ and ${\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}.}$

예를 들어,

값 표의 세 번째 행을 비교하십시오.

신분 및 관계

${\displaystyle L(n,k)={n-1 \선택 k-1{\frac {n!}}{k!}={n \cH00{\frac{(n-1) 선택!}{{(k-1)!}}}={n \선택 k}{n-1 \선택 k-1(n-k)!}$

${\displaystyle L(n,k)={\frac {n!(n-1)!}}{k!(k-1)!}}}\cdot {\frac{1}{(n-k)!}}}=\왼쪽 \frac{n!}}{k!}}\오른쪽)^{2}{\frac {k}{n(n-k)!}}}$

${\displaystyle L(n,k+1)={\frac {n-k}{k(k+1)}L(n,k)}}$

${\displaystyle L(n+1,k)=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)}$ where ${\displaystyle L(n,0)=0}$, ${\displaystyle L(n,k)=0}$ for all ${\displaystyle k>n}$, and ${\displaystyle L(1,1)=1.$$}$

${\displaystyle L(n,k)=\sum _{j}\left[{n \atop j}\right]\left\{{j \atop k}\right\},}$ where ${\displaystyle \left[{n \atop j}\right]}$ are the Stirling numbers of the first kind and ${\displaystyle \left\{{j \atop k}\right\}}$ are the Stirling numbers 두 번째 종류의 $L{\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ 0 )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ L $(0,$${\displaystyle 0}$$)=1$ $그리고{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$(${\displaystyle n,}$ k${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ L$(n,k)=0}$을를)모든 k > n {\$displaystyle k>n$에 대해$$ .

${\displaystyle L(n,1)=n!}$

${\displaystyle L(n,2)=(n-1)n!/2}$

${\displaystyle L(n,3)=(n-2)(n-1)n!/12}$

${\displaystyle L(n,n-1)=n(n-1)}$

$[\displaystyle L(n,n)=1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq k}L(n,k){\frac {x^{n}{n}{n!}}}={\frac{1}{k!}}}\왼쪽 \frac {x}{1-x}\오른쪽)^{k}}}$

값표

다음은 Lah 번호에 대한 값 표입니다:

k n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1
2	2	1
3	6	6	1
4	24	36	12	1
5	120	240	120	20	1
6	720	1800	1200	300	30	1
7	5040	15120	12600	4200	630	42	1
8	40320	141120	141120	58800	11760	1176	56	1
9	362880	1451520	1693440	846720	211680	28224	2016	72	1
10	3628800	16329600	21772800	12700800	3810240	635040	60480	3240	90	1
11	39916800	199584000	299376000	199584000	69854400	13970880	1663200	11880	4950	110	1
12	479001600	2634508800	4390848000	3293136000	1317254400	307359360	43908480	3920400	217800	7260	132	1

최근 실용화

최근 몇 년 동안 스테가노그래피에서는 이미지 속의 데이터를 숨기기 위해 라의 숫자가 사용되어 왔다.수디프타 쿠마르 고살 박사와 ^[6]같은 소수의 연구자들은 정수 계수 계산의 ${\displaystyle }$(n log${\displaystyle \mathrm{logn}}$ $){\displaystyle O(n\log n$라는 낮은 복잡성 때문에 DCT, DFT 및 DWT의 대안으로 이 분야에서 이들을 이용했다.

참고 항목

• 스털링 숫자
• 파스칼 행렬

참조