란도-제너 공식

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2018년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

란다우-제너 공식은 두 상태 양자 시스템의 전환 역학을 지배하는 운동 방정식에 대한 분석 솔루션으로, 두 상태의 에너지 분리가 시간의 선형 함수일 정도로 시간에 의존하는 해밀턴식(Hamiltonian)이 변화한다.이 공식은 두 에너지 상태 사이에 2차적(부정적이지 않은) 전환의 확률을 주는 것으로, 레프 랜도,^[1] 클라렌스 제너,^[2] 에른스트 슈테켈베르크,^[3] 에토레 마요르나 등이 1932년에 별도로 발표했다.^[4]

만일 시스템이 무한히 과거에, 하위에너지의 고유상태에서 시작된다면, 무한대의 미래( 이른바 란도-제너 전환)에 상부에너지 고유상태에서 시스템을 발견할 확률을 계산하고자 한다.에너지 차이의 무한히 느린 변화(즉, 란다우-제너 속도 0)에 대해, 단열 정리는 그 순간 시스템이 항상 해밀턴의 순간 고유 상태에 있을 것이기 때문에 그러한 전환은 일어나지 않을 것임을 말해준다.0이 아닌 속도에서 전환은 Landau-Zener 공식에서 설명한 확률로 발생한다.

조건 및 근사치

그러한 전환은 전체 시스템의 상태 간에 발생하므로 시스템에 대한 모든 설명은 충돌과 외부 전기장과 자기장을 포함한 모든 외부 영향을 포함해야 한다.시스템에 대한 운동 방정식을 분석적으로 해결하기 위해, 일련의 단순화가 이루어지며, 이를 Landau-Zener 근사치로 통칭한다.단순화는 다음과 같다.

1. 해밀턴의 섭동 매개변수는 시간의 알려진 선형 함수다.
2. 이아바틱 상태의 에너지 분리는 시간에 따라 선형적으로 변화한다.
3. 이아바틱 해밀턴 행렬의 결합은 시간과 무관하다.

첫 번째 단순화는 이것을 반고전적인 취급으로 만든다.자기장에 있는 원자의 경우, 전계 강도는 전이 중에 정밀하게 측정할 수 있는 고전적 변수가 된다.일반적으로 선형 변화는 원하는 전환 확률을 달성하기 위한 최적의 프로파일이 아니기 때문에 이 요구사항은 상당히 제한적이다.

두 번째 단순화는 우리가 대체하는 것을 가능하게 한다.

${\displaystyle \Delta E=E_{2}(t)-E_{1}(t)\equiv \alpha t,\,}$

여기서 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle E_{1}($${\displaystyle t}$$)}$ 및$$ E ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle E_{2}(t)}$은 해밀턴 행렬의 대각선 요소에 의해 주어지는 시간 t의 두 상태의 에너지이며$$ $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha }$은 상수이다.자기장에 있는 원자의 경우 이는 자기장의 선형 변화에 해당한다.선형 Zeeman 이동의 경우 이것은 지점 1에서 직접 따라온다.

최종 단순화를 위해서는 시간에 의존하는 섭동이 2차 ${\displaystyle 상태}$를 결합하지 않아야 한다. 오히려 연결 장치는 일반적으로 양자 결함으로 설명되는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ r ${\displaystyle$1$/r}$ 쿨롱$$ 전위로부터의 정적 편차 때문에 발생해야 한다.

공식

제너의 해결책에 대한 세부사항은 다소 불투명하며, 웨버 방정식의^[5] 형태로 움직임의 방정식을 집어넣고 알려진 해결책을 사용하기 위한 일련의 대체에 의존한다.커트 위티그가^[6] 윤곽선 통합을 이용해 보다 투명한 솔루션을 제공한다.

이 접근방식의 주요 장점은 란다우-제너 속도:

${\displaystyle v_{\rm {LZ}={{\frac {\partial t}E_{\partial t}{\partial q}{\partial q}}}{1}{partial q}}}}}에 걸쳐 \proc {dq}{dt},}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 q는 섭동 변수(전기 또는 자기장, 분자 결합 길이 또는 시스템에 대한 다른 섭동)이며, $E{\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\$및$$ $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은 두 개의 분광(크로싱) 상태의 에너지다$$.v $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Z}}_{}}$ ${\$ {$LZ}}$이(가$$) 크면 이항 전환 확률이 크며 그 반대의 경우도 마찬가지 입니다.

Landau-Zener 공식을 사용하여 2차 전환의 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ ${\$을$($를) 제공한다.

${\displaystyle {\reasoned}P_{\rm {D}}&=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma &={a^{2}/\hbar \over \left {\frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right }={a^{2}/\hbar \over \left {\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right }\\&={a^{2} \over \hbar \alpha }\end{aligned}}}$

수량 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$은 2-레벨 시스템의 해밀턴식 베이스 커플링의 비대각 요소로서, E ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$2}}시 회피된 교차로에서 두 개의 방해받지 않은 고유성 사이의 거리의 절반이다$.$

멀티스테이트 문제

2주 랜도-제너 모델의 가장 간단한 일반화는 형태의 해밀턴식 모델을 가진 다주 시스템이다.

${\displaystyle H}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$+ B ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle H(t)=A+Bt$

여기서 A와 B는 시간 독립적 요소가 있는 에르미트 NxN 행렬이다.다주 랜도-제너 이론의 목표는 그러한 해밀턴을 음의 무한에서 양의 무한 시간으로 진화시킨 후 이 모델의 상태들 사이의 산란 행렬의 요소와 전환 확률을 결정하는 것이다.전환 확률은 산란 행렬 원소의 절대값 제곱이다.

모든 다중 상태 Landau-Zener 모델에서 산란 행렬의 특별한 요소에 대한 해석적 표현을 제공하는 계층적 제약 조건이라고 불리는 정확한 공식들이 있다.^[7]이러한 관계의 특별한 경우는 브룬도블러-엘서(BE) 공식으로 알려져 있다(브룬도블러와 엘서(Brundobler와 Elser가 수치 시뮬레이션에서^[8] 알리고, 볼코프와 오스트로프스키의^[10] 공헌에 따라 ^[9]도브레스쿠와 시니친이 엄격하게 증명함). 그리고 노고 정리,^[11][12] (No-go)라고 알려져 있다.이산 대칭은 종종 산란 행렬의 독립 원소의 수를 감소시키는 제약조건으로 이어진다.^[13][14]

이러한 조건이 충족되면 다주 Landau-Zener 모델의 산란 행렬에 대한 정확한 표현으로 이어지는 통합성 조건이 있다.^[15]완전히 해결 가능한 수많은 다주 국가인 Landau-Zener 모델은 다음을 포함하여 이러한 조건으로 식별되고 연구되었다.

• 뎀코프-오셰로프 모델은^[16] 병렬 레벨의 밴드를 가로지르는 단일 레벨을 설명한다.이 모델의 해법에 대한 놀라운 사실은 정확한 변환 확률 매트릭스와 그것의 형태는 단순한 반전파 독립 교차 근사치로 얻은 것이다.일부 일반화를 통해 이 속성은 상호 작용하는 상태의 수가 유한한 거의 모든 해결 가능한 Landau-Zener 시스템에서 나타난다.
• 일반화된 나비넥타이 모델.^[17]모델은 두 단계(또는 변질된 사례 한계 중 한 단계) 수준을 한 지점에서 교차하는 다른 비간격적 상태 집합에 결합하는 것을 설명한다.
• 구동식 타비스-큐밍스 모델은^[18] 선형적으로 시간에 의존하는 자기장에서 보소닉 모드와 N 스핀-스핀의 상호작용을 설명한다.이것은 알려진 것 중 가장 부유한 해결된 시스템이다.그것은 결합 복잡성을 가지고 있다: 그것의 상태 벡터 공간의 치수는 스핀의 수와 함께 기하급수적으로 증가하고 있다.이 모델의 전환 확률은 q형 이항 통계량으로 설명된다.^[19]
• 시간에 의존하는 자기장과 상호작용하는 스핀 클러스터.^[20]이 등급의 모델은 반전파 독립 교차 근사치에서 경로 간섭 효과로 인한 전환 확률의 비교적 복잡한 동작을 보여준다.
• 환원 가능(또는 복합) 다중 국가 Landau-Zener 모델.^[21][22]이 세분류는 대칭 변환에 의해 해결 가능하고 단순한 다른 모델의 하위 집합으로 분리될 수 있는 시스템으로 구성된다.주목할 만한 예는 임의의 스핀 해밀턴 $H$= G $S_{}$ ${}_{}$+ b $t$ $z_{}$ ${\$인데$,$ 여기서 S와_z S는_x 스핀 연산자이고 S>1/2; b와 g는 상수 파라미터다.이것은 1932년 Majorana가 논의한 가장 초기에 알려진 해결 가능한 시스템이다.다른 예들로는 한 쌍의 퇴행성 레벨 교차 모델과 ^[23]선형적으로 변화하는 자기장 내 1D 양자 이싱 체인이 있다.^[24][25]
• Landau-Zener는 무한 선형 체인으로 전환한다.^[26]이 세분류는 공식적으로 무한히 상호 작용하는 상태를 가진 시스템을 포함한다.대부분의 알려진 그들의 예는 유한 크기 모델(Tavis-Cummings 모델 등)의 한계로 얻을 수 있지만, 이 분류에 속하지 않는 경우도 있다.예를 들어, 가장 긴급하지 않은 상태 사이에 0이 아닌 커플링이 있는 해결 가능한 무한 체인이 있다.^[27]

소음 연구

독립된 자유도를 갖는 양자 상태 준비와 조작의 문제에 대한 란다우-제너 솔루션의 적용은 구동식 2국가 시스템의 전환 확률에 대한 소음과 탈착성 효과 연구를 자극했다.강한 대각선 소음에 대한 카야누마 공식과 비대각 구성 요소를 가진 빠른 색소음에 대한 결합을 위한 포크로프스키-시니친 공식 등 이러한 효과를 설명하기 위해 몇 가지 소형 분석 결과가 도출되었다.

Schwinger-Keldysh Green의 기능을 이용하여, 1980년대 후반에 Ao와 Rammer에 의해 약한 결합에서 강한 결합, 낮은 온도에서 높은 온도, 느린 통과까지 모든 매개변수 체계에 양자 소음의 영향에 대한 다소 완전하고 종합적인 연구가 수행되었다.이러한 문제의 풍부한 행태를 보여주는 간결한 분석 표현이 다양한 한계에 도달했다.^[30] 란다우-제너 공정에 대한 핵 스핀 욕조와 열탕 커플링의 영향은 각각 시니친과 프로코프예프^[31], 포크로프스키와 선에 의해 탐구되었다.^[32][33][34]

다주 Landau-Zener 이론(노고 정리 및 BE-포뮬라)의 정확한 결과는 무한히 많은 오실레이터 및/또는 스핀 욕조(분열 Landau-Zener 전환)로 구성된 욕조에 결합된 Landau-Zener 시스템에 적용할 수 있다.이들은 0온도의 지상 상태에서 진화가 시작되는 경우 최종 욕조 상태에 대해 평균화된 전환 확률에 대한 정확한 표현식을 제공한다. 오실레이터 욕조는^[35] 참조를 참조하고, 참고문헌의 스핀 욕조를 포함한 보편적 결과를 참조한다.^[36]

참고 항목

• 비아디아바틱 전환 상태 이론
• 단아바 정리
• 본드 연화
• 본드경화
• 프로이사르트-스토라 방정식

참조