2국가 양자 시스템

양자역학에서 2국가 시스템(일명 2수준 시스템)은 두 개의 독립(물리학적으로 구별할 수 있는) 양자 상태의 어떤 양자 중첩에도 존재할 수 있는 양자 시스템이다.그러한 시스템을 설명하는 힐버트 공간은 2차원적이다.따라서 공간에 걸친 완전한 기준은 두 개의 독립된 상태로 구성될 것이다.어떤 2국가 체제도 쿼빗으로 볼 수 있다.

2국가 시스템은 1국가 시스템의 역학관계가 사소한 것이기 때문에 관심 있는 가장 단순한 양자 시스템이다(그 시스템이 존재할 수 있는 다른 주가 없기 때문이다).2-상태 시스템의 분석에 필요한 수학적 프레임워크는 선형 미분 방정식과 2차원 공간의 선형 대수학이다.결과적으로, 2국가 시스템의 역학관계는 근사치 없이 분석적으로 해결될 수 있다.시스템의 일반적인 동작은 파동 기능의 진폭이 두 상태 사이에서 진동하는 것이다.

매우 잘 알려진 2국가 시스템의 예로는 전자와 같은 스핀-1/2 입자의 스핀인데, 스핀의 값은 + +/2 또는 -ħ/2이며, 여기서 ħ은 축소된 플랑크 상수다.

2-상태 시스템은 흡수 또는 붕괴에 대한 설명으로 사용할 수 없다. 그러한 과정은 연속체에 대한 결합을 필요로 하기 때문이다.그러한 과정은 진폭의 기하급수적인 붕괴를 수반하지만, 두 국가 시스템의 해결책은 진동적이다.

정지 상태 에너지 및 시간 의존성을 위한 해석적 솔루션

표현

시스템의 사용 가능한 두 가지 기본 ${\displaystyle 상태}$가 1 ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 1\rangele }$ ${\displaystyle 및\mathrm{}}$ 2${\displaystyle }${$${\$displaystyle 2\rangele$}이라고 가정할 때 일반적으로 상태는 확률 진폭 c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}, 이 두 상태의 중첩으로 기록될 수 있다$.$

${\displaystyle \rangele =c_{1} 1\rangele +c_{2} 2\rangele .}$

Since the basis states are orthonormal, ${\displaystyle \langle i j\rangle =\delta _{ij}}$ where ${\displaystyle i,j\in {1,2}}$ and ${\displaystyle \delta _{ij}}$ is the Kronecker delta, so ${\displaystyle c_{i}=\langle i \psi \rangle }$. These two comp렉스 번호는 2차원 복합 힐버트 공간의 좌표로 간주될 수 있다.^[1]따라서 상태 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \psi \rangele}$에 해당하는 상태 벡터는

${\displaystyle \psi \rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1 \psi \rangle \\\langle 2 \psi \rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{{\\pmatrix}0\\\end{pmatrix}}=\mathbf {c},}$

and the basis states correspond to the basis vectors, ${\displaystyle 1\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1 1\rangle \\\langle 2 1\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ and ${\displaystyle 2⟩\equiv \left(\begin{array}{c}⟨12⟩\\ ⟨22⟩\end{array}\right)=(\begin{array}{c}0\end{array}}$${\displaystyle \begin{array}{c}1\end{array}}$) ${\$1$2\langle \\\langle 2\end{pmatrix}={\pmatrix}0\1\end{pmatrix$

상태 $⟩{\displaystyle \psi \rangele}$이(가) 정규화된 경우 상태 벡터의 표준은 통일, 즉 ${\displaystyle {c{}_{}}^{}}$ 1 ${\displaystyle {2{}_{}}^{\mathrm{}}}$+ ${\displaystyle {{c\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {2{}_{}}^{\mathrm{}}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {c_{1}^{2}+{{{2}$ ^{2}{2}$}{2$}=$1$

에너지와 같이 관측 가능한 모든 물리적 양은 은둔자 연산자와 연관되어 있다.에너지와 그에 상응하는 해밀턴어인 H의 경우, 이것은 의미한다.

${\displaystyle H_{ij}=\langle i J\rangele =\langle j i\rangele ^{*}=H_{ji}^{*}}$

예: H ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\$과 H ${\displaystyle {22}_{}}$ ${\$은(는) 실재하며$$, $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {12}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {21}_{}^{}}$ ${\$ $H_$${12}=H_$${21$$\}^\{*\}\}$ 따라서 이 네 가지 행렬 요소 H ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$displaystymatrix를 생성한다$.$

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\langle 1H 1\angle &\langle 1H 2\angle \\\langle 2H 1\rangele &\langle \{pmatrix}={\begin{pmatrix}}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}.}$

The time-independent Schrödinger equation states that ${\displaystyle H \psi \rangle =E \psi \rangle }$; substituting for ${\displaystyle \psi \rangle }$ in terms of the basis states from above, and multiplying both sides by ${\displaystyle \langle 1 }$ or ${\displaystyle \langl$$e$2$}$은(는) 행렬 형태로 작성할 수 있는 두 개의 선형 방정식으로 된 시스템을 생산한다.

${\displaystyle {\pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}c_{1}\c_{2}\end{pmatrix}}=E{\begin{pmatrix}c_{1}\c_{2}\end},},}$

또는$$ $H{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{c}}$= ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle c\mathbf{}}$ ${\$ 2×2 행렬 고유값 및 고유 벡터 문제.위에서 언급했듯이, 이 방정식은 일반 상태를 시간 독립적 슈뢰딩거 방정식에 연결함으로써 발생한다.시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식은 고유성을 지정하는 데 사용되는 제한 조건이라는 점을 기억하십시오.따라서 일반국가를 거기에 연결시킬 때 우리는 일반국가가 고유국가가 되기 위해 어떤 형태를 취해야 하는지를 보고 있다.그렇게 해서 배포하면 c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ H ${\displaystyle 1\mathrm{}}$⟩${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$= ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 1 E ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle c_{1}H 1\rangele +c_{2$}가 나온다.$}H 2\rangele =c_{1}E 1\rangele +c_{2$$}$${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ $2$$\$$rangele$ $\}$은(는)$c$ 1$${\${\displaystyle {displaystyle\mathrm{}}_{}}$ $c_${1} $또는$ c 2${\$displaystyle c_${$2}}이$$ ${\displaystyle 0_{}}$이어야 한다(${\displaystyle }$ ${\\$$epsilon _{$$1$} 및 $definition$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 정의상 에너지 모두와 같을$$ 수 없음).$c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$또는$$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}을 0으로$$ 설정하면 하나의 상태만 남으며 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은(는) 생존 상태의 에너지다.이 결과는 시간 독립형 슈뢰딩거 방정식은 (상태 벡터의 정의에 의해) 하나의 계수를 제외한 모든 것이 0인 상태인 H의 고유현상에 의해서만 충족된다는 것을 중복적으로 상기시킨다.이제 같은 파생법을 따르지만, 개별 상태에서 해밀턴인과 함께 행동하기 전에${\displaystyle }$before $displaystyle \langle$1$}$ 또는$$ $⟨{\displaystyle }$ 2$displaystyle \langle$2 $\}$로 양쪽을 곱하면 위의 행렬 방정식으로 결합할 수 있는 두 개의 선형 방정식의 시스템이 나온다.이전과 마찬가지로 c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$또는$$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}이 0일$$ 경우에만 이 값을 충족할 수 있으며, 이 경우 $상수{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E}$은(는) 나머지 상태의 에너지가 된다$$.따라서 위의 행렬 방정식은 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식과 정확히 유사한$$$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 고유 벡터를 산출하기 위한 일반 상태 벡터의 제한조건으로 해석되어야 한다.

물론 일반적으로 상태 벡터로 행렬을 통근하는 것은 상수 E로 곱한 동일한 벡터를 초래하지 않을 것이다.일반적 타당성을 위해서는 방정식을 양식으로 써야 한다.

${\displaystyle {\pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_\c_{2}\end{pmatrix}}}={\begin{pmatrix}\{1}\epsilon _{1}c_{2}}\end{pmatrix},}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}},$

개별 고유 상태에너지가 여전히 제품 벡터 내부에 남아 있다.어느 경우든 해밀턴 매트릭스는 위에서 지정한 방법을 사용하거나 경계 조건을 사용하여 매트릭스를 구성하는 더 전통적인 방법을 통해 도출될 수 있다. 특히, 어느 한 가지 기본 상태에 작용했을 때 해당 상태에 해당 에너지를 곱한 상태를 반환해야 한다는 요건을 사용하여 도출할 수 있다.(일반국가에 어떻게 작용하는지에 대해서는 경계조건이 없다.)이것은 대각선 행렬을 만들어 내고 대각선 원소는 고유스테이트의 에너지로, 대각선 원소는 0으로 만든다.브라켓 엔클로저 해밀턴 인을 사용하는 위의 매트릭스의 형태는 이 매트릭스의 보다 일반화된 버전이다.

${\displaystyle {Hi}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$, ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \ne }$ j ${\displaystyle H_{ij},i_{neq j}$는 항상 0이고 ${\$는 항상 $ϵ{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$과 같아야$$ 하기 때문에 왜 해밀턴 매트릭스를 브라켓으로 작성할 필요가 있느냐고 물을 수 있다$.$그 이유는 좀 더 복잡한 문제에서 상태 벡터는 행렬에 사용되는 해밀턴계의 고유 지표가 아닐 수 있기 때문이다.이러한 현상이 발생하는 한 곳은 퇴행성 섭동설로, 대각화로 문제가 해결될 때까지 비대각 원소가 0이 아니라는 것이다.

$H{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 은둔성 때문에 고유값은$$ 실제 값이거나, 오히려 $반대$로$$H {\$display$ style $\mathbf$ {$H}$의 은둔성을 내포하는 것이 에너지라는 요건이다$.$ 고유 벡터는 고정 상태, 즉, 스퀴트의 절대 크기를 나타내는 이들을 나타낸다.확률 진폭의 영역은 시간에 따라 변하지 않는다.

해밀턴의 고유값

2×2 에르미트 행렬의 가장 일반적인 형태는 2개 주 시스템의 해밀턴식 기법(Hamiltonian)에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\epsilon _{1}\beta -i\gamma \\\\beta +i\gamma &\epsilon _{2}\end{pmatrix},},}$

여기서 $ϵ{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2$},$beta}$ 및$$ γ은 에너지 단위를 가진 실제 수이다.시스템의 허용되는 에너지 수준, 즉 해밀턴 매트릭스의 고유값은 일반적인 방법으로 찾을 수 있다.

동등하게, 이 행렬은 다음과 같이 분해될 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\beta \cdot \sigma _{1}+\gamma \cdot \sigma _{2}+\delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}\alpha +\delta &\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\alpha -\delta \end{pmatrix}}.}$

Here, ${\displaystyle \alpha ={\frac {(\epsilon _{1}+\epsilon _{2})}{2}}}$ and ${\displaystyle \delta ={\frac {(\epsilon _{1}-\epsilon _{2})}{2}}}$ are real numbers.$매트릭스{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 2×2 ID 매트릭스이고$$ 매트릭스 ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ k ${\$$k$= $1, 2,3$)는$$Pauli 매트릭스다$.$이러한 분해는 특히 시간에 구애받지 않는 경우 시스템 분석을 단순화하는데, 여기서 $\alpha {\displaystyle }$, ${\displaystyle \beta }$ ,${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ 및$$ $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$의 값이 상수인$$ 경우는 더욱 그러하다.

해밀턴인은 다음과 같이 더욱 응축될 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\mathbf {r} \cdot \mathbf {\sigma } .}$

The vector ${\displaystyle \mathbf {r} }$ is given by ${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\delta )}$ and ${\displaystyle \sigma }$ is given by ${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$.이러한 표현은 시스템의 시간 진화의 분석을 단순화하고 Bloch 구체와 같은 다른 전문 표현과 함께 사용하기 쉽다.

If the two-state system's time-independent Hamiltonian H is defined as above, then its eigenvalues are given by ${\displaystyle E_{\pm }=\alpha \pm \mathbf {r} }$. Evidently, α is the average energy of the two levels, and the norm of ${\displaystyle \mathbf {r} }$ is the splitting between them.해당 고유 벡터는 +${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle +\rangele }$ 및$$ -${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle$ -$\rangele }$로 표시된다$.$

시간 의존성

기본 상태는 아니지만, 현재 확률 진폭은 시간에 따라 다르다고 가정한다.The Time-dependent Schrödinger equation states ${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}} \psi \rangle =H \psi \rangle }$, and proceeding as before (substituting for ${\displaystyle \psi \rangle }$ and premultiplying by ${\displaystyle \langle 1 ,\langle 2$$}$ again produces a pair of coupled linear equations, but this time they are first order partial differential equations: ${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {c} =\mathbf {Hc} }$. If ${\displaystyle \mathbf {H} }$ is time independent there are several approaches to find the timec ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$일반 모드 등)의 의존성.결과는 이다.

${\displaystyle \mathbf {c}=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }\mathbf {c} _{0}=\mathbf {U}(t)\mathbf {c} _{0}.}$

여기서 c ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle c\mathbf{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \mathbf {c} _{0}=\mathbf {c} (0)$는 ${\displaystyle \mathrm{t}}$= 0 ${\displaystyle t=0}$의 상태 벡터. 여기서 행렬의 지수화는 시리즈 확장에서 찾을 수 있다$.$매트릭스 $U{\displaystyle \mathbf{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf {U}(t)}$을(를) 시간 진화 매트릭스라고 한다(해당$$ 시간 진화 연산자 $U{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle U(t)}$의 매트릭스 요소를 구성한다).$$$U{\displaystyle \mathbf{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf${${\displaystyle \mathrm{U}}$$}(t)}}$이(가) 단일하다는 것은 쉽게 입증되는데, ${\displaystyle {}^{}}$는 U${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dager }\mathbf {U} =$1}을$($으)라는 뜻이다$.$

라는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }=e^{-i\alpha t/\hbar }(\cos( \mathbf {r} t/\hbar )\sigma _{0}-i\sin( \mathbf {r} t/\hbar ){\hat {r}}\cdot \mathbf {\sigma } ),}$

여기서 $r{\displaystyle \hat{}}$= ${\displaystyle \frac{r\mathbf{}}{}}$ .${\displaystyle {\hat$ {$r}={\frac {\mathbf {r}{\$mathbf {r$}{ \mathbf$ {$r}}}.$$}$

When one changes the basis to the eigenvectors of the Hamiltonian, in other words, if the basis states ${\displaystyle 1\rangle , 2\rangle }$ are chosen to be the eigenvectors, then ${\displaystyle \epsilon _{1}=H_{11}=\langle 1 H 1\rangle =E_{1}\la$$ngle 1 1\rangle =E_{1}}$ and ${\displaystyle \beta +i\gamma =H_{21}=\langle 2 H 1\rangle =E_{1}\langle 2 1\rangle =0}$ and so the Hamiltonian is diagonal, i.e. ${\displaystyle \mathbf {r} =\delta }$ and is of the form,

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}E_{1}&0\\0>E_{2}\end{pmatrix}.}$

이제 단일 시간 진화 연산자 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ U$}$이(가) 다음과 같은 방법으로 주어지는 것을 쉽게 볼 수 있다$$.

${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }={\begin{pmatrix}e^{-iE_{1}t/\hbar }&0\\0&e^{-iE_{2}t/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }{\begin{pmatrix}e^{-i\delta t/\hbar }&0\\0&e^{i\delta t/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }(\cos(\delta t/\hbar )\sigma _{0}-i\sin(\delta t/\hbar )\mathbf {\sigma } _{3}).}$

$e{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$/ ${\displaystyle {\hslash }^{}}$ ${\$ e$^{-i\alpha$ t$/\hbar }$ 인자는$$ 단지 운영자의 전체 위상에 기여하며, 일반적으로 물리적으로 원사업자와 구별할 수 없는 새로운 시간 진화 연산자를 산출하기 위해 무시할 수 있다.더욱이 시스템에 대한 동요(해밀턴인과 같은 형태가 될 것)는 동요하지 않는 해밀턴인의 고유기반의 시스템에 추가되어 위와 같은 방법으로 분석할 수 있다.따라서, 어떤 동요에 대해서도, 서론에서 언급된 바와 같이, 동요된 시스템의 새로운 고유 벡터는 정확하게 해결될 수 있다.

정적 섭동을 위한 라비 공식

Suppose that the system starts in one of the basis states at ${\displaystyle t=0}$, say ${\displaystyle 1\rangle }$ so that ${\displaystyle \mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$, and we are interested in the probability of occupation of each of the basis states as a$H{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이(가) 시간$$ 독립 해밀턴식일 때의 시간 함수.

${\displaystyle \mathbf {c}(t)=\mathbf {U}(t)\mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)&U_{12}(t)\\U_{21}(t)&U_{22}(t)\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}}U_{11}(t)\\U_{21}(t)\end{pmatrix}}.}$

The probability of occupation of state i is ${\displaystyle P_{i}(t)= c_{i}(t) ^{2}= U_{i1}(t) ^{2}}$. In the case of the starting state, ${\displaystyle P_{1}(t)= c_{1}(t) ^{2}= U_{11}(t$$) ^{2}}$, and from above, ${\displaystyle U_{11}(t)=e^{\frac {-i\alpha t}{\hbar }}(\cos( \mathbf {r} t/\hbar )-i\sin( \mathbf {r} t/\hbar ){\frac {\delta }{ \mathbf {r} }})}$. Hence,

${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(\Oomega t)+\sin ^{2}(\Oomega t){\frac {\Delta ^{2}}:\Oomega ^{2}}.}$

분명히$$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P_{1}(0)=1}.$The frequency ${\displaystyle \Omega = \mathbf {r} /\hbar ={\sqrt {\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}/\hbar ={\sqrt { \Omega _{R} ^{2}+\Delta ^{2}}}}$ is called the generalised Rabi frequency, ${\displaysty$$\Oomega _{R}=(\beta +i\gamma )/\hbar }}$을(를) 라비 주파수라고 하고$$,${\displaystyle }$Δ = ${\displaystyle \Delta }$ /${\displaystyle \hslash }$ {\$displaystyle \Delta =\delta /\hbar }$을(를)라고 한다$$.

At zero detuning, ${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}( \Omega _{R} t)}$, i.e., there is Rabi flopping from guaranteed occupation of state 1, to guaranteed occupation of state 2, and back to state 1, etc., with frequency ${\displaystyle \Omega _{R} }$. As the detuning is i0에서 벗어나면 플로핑 주파수가 증가(Ω으로 증가)하고 $진폭$은 1 -${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle \Omega {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$

빛 파도에 의해 유도된 시간 의존적인 해밀턴인들에게는

일부 중요한 2개 주 시스템

필드의 사전 처리

자기장 $B{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\$의 스핀-1/2 입자의 경우를 생각해 보십시오$.$ 이 시스템에 대한 상호작용 해밀턴은

${\displaystyle H=-{\\boldsymbol {\mu}\cdot \mathbf {B} =-\mu {\boldsymbol {\sigma}}\cdot \mathbf {B},},}$

여기서 $[\displaystyle \mu }$은(는) 입자의 자기 모멘트의 크기이고 $\sigma {\displaystyle \mathit{}}$ ${\$은(는) Pauli 행렬의 벡터다.시간 의존적인 Schrödinger 방정식 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$= i ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle H\psi =i\hbar \partial _{t}\psi }$ 산출량 해결$$

${\displaystyle \chot (t)=e^{i\omega t{\\cdma}}\cdot \mathbf {\n}}\mat (0),}$

where ${\displaystyle \omega =\mu B/\hbar }$ and ${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }=\cos {\left(\omega t\right)$$}I+i\;\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\sin {\left(\omega t\right)}}$. Physically, this corresponds to the Bloch vector precessing around ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ with angular frequency ${\displaystyle 2\omega }$. Without loss of generality, assume the field is uniform points in ${\displaystyle \hat{\mathbf{z}}}$${\displaystyle \mathbf{\hat{z}}}$을$($를) 사용하여 시간 진화 연산자가 다음과 같이 지정되도록 하십시오.

${\displaystyle e^{i\omega t}{\matsymbol {\\mats{n}}}={\mathbf {\hat{pmatrix}e^{i\i\omega t}&0\e^{-i\omega t}\end{pmatrix}}}}.}$

스핀-1/2 입자의 일반적인 스핀 상태에 작용하는 그러한 시간 진화 연산자는 적용된 자기장에 의해 정의된 축에 대한 전처리(이것은 라르모 전처리(Larmor 전처리)에 해당하는 양자역학)로 이어질 것임을 알 수 있다.^[2]

위의 방법은 자성 모멘트와 유사한 적절한 결합 용어로 상호작용하는 경우(이전의 경우 자기장과 동일) 어떤 장과 상호작용하는 일반적인 2-상태 시스템의 분석에 적용할 수 있다.상태벡터(이전 사례처럼 물리적으로 회전할 필요는 없다)의 전이는 블로흐 구체에 상태벡터가 전회하는 것으로 볼 수 있다.

The representation on the Bloch sphere for a state vector ${\displaystyle \psi (0)}$ will simply be the vector of expectation values ${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\langle \sigma _{x}\rangle ,\langle \sigma _{y}\rangle ,\langle \sigma _{z}\rangle \right)}$. As an example, 상태 벡터 $ψ$${\displaystyle }$($0$){\displaystyle $\\displaystyle$$$${\displaystyle \}}$의 정규화된 중첩 위치인$$ ↑{\$displaystyle$$\right\rangele }$ 및$$${\displaystyle }${$${\$displaystystyle$$\downarrow$ $\right$$\$rangele$\},$ 즉$,$ ${\displaystyle z_{}}$ z${z$}에 나타낼 수 있는 벡터를 기본으로$$ 고려한다.

${\displaystyle \cHB (0)={\frac {1}{\sqrt{2}}:{\pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}}}$

Bloch 구체에 있는$$ ${\displaystyle \psi }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \psi (t)}$의 구성요소는 $단순히{\displaystyle \mathbf{}}$ R${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle \sin }$ $\mathbf {R} =\좌측(\cos {2\omega t},-\sin {2\omega$ t$}, 0\우측)$이 될 것이다$.$$x{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\$을(를) 따라 가리키기 시작하여$$ $z{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\$을(를) 중심으로 왼손 방식으로$$ 처리하는 단위 벡터다.In general, by a rotation around ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$, any state vector ${\displaystyle \psi (0)}$ can be represented as ${\displaystyle a\left \uparrow \right\rangle +b\left \downarrow \right\rangle }$ with real coefficients ${\displaystyle a}$ and ${\displ$$aystyle b$ 그러한 상태 벡터는 xz 평면의 Bloch 벡터에 해당하며, z축으로$$ ${\displaystyle \mathrm{각도탄}(\theta /}$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$/ ${\displaystyle \tan(\theta /2)=b/a}$을 만든다.이 벡터는 $z{\displaystyle \widehat{\mathbf{}}}$ ${\$을 중심으로 전처리를 진행할 것이다$.$ 이론상으로는 시스템이 정밀한 지속을 위해 특정 방향과 강도의 분야와 상호작용을 허용함으로써 어떤 복잡한 중첩을 얻는 것과 같은 Bloch 벡터의 방향도 얻을 수 있다.이는 양자컴퓨팅, MRI 등 수많은 기술의 기반이다.

시간에 의존하는 분야의 진화:핵자기공명

핵자기공명(NMR)은 시간에 의존하는 해밀턴에 대한 정확한 해법이 수반되기 때문에 두 국가 시스템의 역학에서 중요한 예다.NMR 현상은 강한 정적장 B₀("유지장")에 핵을 배치한 다음 어떤 무선주파수 Ω에서_r 진동하는 약한 가로장₁ B를 적용함으로써 달성된다.^[3]명시적으로 홀딩 필드 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\stackrel{}{\mathbf{}}}$ z ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\$의 스핀-1/2 입자와$$ B 주위에₀ 오른손 방식으로 Xy 평면에서 회전하는 가로 RF 필드 B를₁ 고려하십시오.

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{1}\cos \omega_{\mathrm {r} }t\B_{1}\sin \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{0}\end{pmatrix}}.}$

As in the free precession case, the Hamiltonian is ${\displaystyle H=-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} }$, and the evolution of a state vector ${\displaystyle \psi (t)}$ is found by solving the time-dependent Schrödinger equation ${\displaystyle H\psi =i\hbar \,\partial \$$psi /\partial$ t$\}.$ (아래 붕괴된 섹션에 제시된) 어느 정도의 조작 후 슈뢰딩거 방정식이 되는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\frac}{\frac}}{\reft=i\left(\omega _{1}\floca _{0}}+{\frac _{r}}}}{{r}}}}\refragma _{z}\right}},}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\reca.$

여기서 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {\mu B\mathrm{}}_{}}$ 0 /${\displaystyle {}_{}\hslash }$ ${\displaystyle \omega _{0}=\mu B_{0}/\hbar }$ 및$$ $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {\mu B\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$/ μB ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle \omega \1}=\mu B_{1}/\hbar$$}.$

앞의 절에서와 ${\displaystyle \mathrm{같이}}$, 이 방정식의 해법은 벡터 크기의 2배인 주파수로 블록$$ 벡터(Bloch 벡터)가 (1${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$0 +${\displaystyle {}_{}\Omega \mathrm{}}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}{}_{}}$/ 2 )${\디스플레이$ 스타일$(\omega _{1},0,\omega _{0}+\omega _{r}/2)$을 중심으로 처리한다.$\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\$이 충분히$$ 강하면 회전장이 도입되기 전에 스핀의 일부가 바로 아래로 향하게 된다.회전하는 자기장의 각도 주파수를 ${\displaystyle {\Omega }_{}}$r${\displaystyle }$= - ${\displaystyle {2\Omega \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$로 선택한 경우 상태 벡터는 $주파수{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$$}$를 $가진{\displaystyle \stackrel{}{}}$ x ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\${\compressionsty} 주위에 처리하며$,$ 따라서 아래쪽으로 opled}에너지를 방출할 수 있는 광자의^{[citation needed]} 형태로.이것이 NMR의 기본 바탕이며, 실제로 샘플이 어느 지점에서 빛을 발산할 공명 주파수가 발견될 때까지$$ $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$를 스캔함으로써 이루어진다.유사한 계산이 원자물리학에서도 행해지고, 장이 회전하지 않고 복잡한 진폭으로 진동하는 경우에는 그러한 결과를 도출하는 데 회전파 근사치를 사용한다.

NMR 슈뢰딩거 방정식의 위 표현식 도출

슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다. ${\displaystyle -\mu {\boldsymbol {\sigma }\cdot \mathbf {B} \psi\hbar {\partial \psi}{\partial t}.}$ 도트 제품을 확장하고 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle i\hbar }$ 수익률로$$ 나누기 ${\displaystyle {\frac {\frac \\cHB\}=i\left(\ma _{1}\cos {\ophma _{r}t}+\omega _{1}\ma _{r}t}+\ma _{0}\ma_{z}\ma \ma.}}}}}}}}}}}}}}}}.$ 문제로부터 시간 의존성을 제거하기 위해 $\psi {\displaystyle }$→ e - ${\displaystyle {i{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {z_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ { $\\displaystyle$ \$psi \righarrow e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/$2}\$psi }$에 따라 파동함수를 변환한다$.$ 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 된다. ${\displaystyle -i\sigma _{z}{\frac {\omega _{r}}{2}}e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi +e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}\cos {\omega _{r}t}+\omega _{1}\sigma _{y}\sin {\omega _{r}t}+\omega _{0}\sigma _{z}\right)e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi ,}$ 어느 정도 재배열한 후에 ${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=ie^{i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\left(\omega _{1}\sigma _{x}\cos {\omega _{r}t}+\omega _{1}\sigma _{y}\sin {\omega _{r}t}+\left(\omega _{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi }$ 방정식의 오른쪽에 있는 각 항 평가 ${\displaystyle e^{i\sigma_{z}\omega _{r}t/2}\sigma _{)}e^{-i\sigma_{z}\omega _{r}t/2}={\begin{pmatrix}e^{i\omega_{r}t/2}&0\\0&, e^{-i\omega_{r}t/2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&, 1\\1&, 0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega_{r}t/2}&0\\0&, e^{i\omega_{r}t/2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&, e^{i\omega_{r}t}\\e^{-i\om.ega _{r}t}&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle e^{i\sigma_{z}\omega _{r}t/2}\sigma _{y}e^{-i\sigma_{z}\omega _{r}t/2}={\begin{pmatrix}e^{i\omega_{r}t/2}&0\\0&, e^{-i\omega_{r}t/2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&, -i\\i&, 0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega_{r}t/2}&0\\0&, e^{i\omega_{r}t/2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&, -ie^{i\omega_{r}t}\\ie^{-.i\omega _{r}t}&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle e^{i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\sigma _{z}e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}={\begin{pmatrix}e^{i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{-i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}=\sigma _{z}}$ 그 방정식은 이제 읽힌다. ${\displaystyle {\frac {\frac {\required t}}=i\left(\morea _{1}{pmatrix}0&e^{r}omega _{r}t}\left(\cos {\omega _{r}-i}-sin_{r}t}\오른쪽)\\e^{-e^{-i\omega _{r}t}\좌(\cos {\omega _{r}t}\신(\omega _{r}t}\우)&#0\end{pmatrix}}+\좌(w_{0}+)\frac{{r}}{2}}\우)\ma _{{z}\우)\우)\nma}}}}}}},},},},},},},},},},},},},},},}$ 오일러의 정체성에 의해 ${\displaystyle {\frac {\frac}{\frac}}{\reft=i\left(\omega _{1}\floca _{0}}+{\frac _{r}}}}{{r}}}}\refragma _{z}\right}},}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\reca.$

Bloch 방정식과의 관계

스핀-1/2 입자 집합에 대한 광학 Bloch 방정식은 2단계 시스템에 대한 시간 의존적인 슈뢰딩거 방정식에서 도출할 수 있다.앞에서 말한 해밀턴 $i{\displaystyle {\mathrm{}}_{}\hslash }$ ${\displaystyle t_{}{}_{}}$ = -${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma \stackrel{}{}\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \cdot }$ B${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \psi }$ { { { { { $\displaystyle i\hbar \partial _{t}\psi =-\vcdma }}}}\cdot{\bc}}\psi}}$을 시작으로, 어느 정도 재배열한 후 합계 표기할 수 있다$.$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi}{\partial t}=i{\frac {\mu }{\hbar }}}\sigma _{i}\ipsi }}$

Pauli 매트릭스 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$와 파동 기능의 conjate transpose를 곱한 후 Pauli 매트릭스 2개의 생산량을 확대한다.

${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}\psi =i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(I\delta _{ij}-i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dager }\왼쪽(I\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\오른쪽)B_{i}\psi }$

이 방정식을 자체 결합 전치형에 추가하면 양식의 좌측이 생성된다.

${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\partial \psi ^{\dagger }}{\partial t}}\sigma _{j}\psi ={\frac {\partial \left(\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\psi \right)}{\partial t}}}$

그리고 양식의 오른편.

${\displaystyle {\frac {\hbar }}\psi ^{\dager }\왼쪽(I\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\오른쪽)B_{i}\psi +{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dager }\좌측(-I\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\오른쪽)B_{i}\psi ={\frac {2\mu }{\hbar }}}\왼쪽(\psi ^{\dager }\sigma _{k}\psi \오른쪽)B_{i}\varepsilon _{ijk}}$

As previously mentioned, the expectation value of each Pauli matrix is a component of the Bloch vector, ${\displaystyle \langle \sigma _{i}\rangle =\psi ^{\dagger }\sigma _{i}\psi =R_{i}}$. Equating the left and right hand sides, and noting that ${\displaystyle {\frac {2\mu }{\hbar }$$}}}}$은 $자석비{\displaystyle }$ ${{\displaystyle \gamma}$이며$,$ Bloch 벡터의 운동 방정식에 대해 또 다른 형태를 산출한다.

${\displaystyle {\frac {\partial R_{j}}{\partial t}=\gamma R_{k}B_{i}\varepsilon _{kij}}}}$

여기서$$ $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$라는 사실이 사용되었다.벡터 형태에서 이 세 방정식은 교차 생산의 관점에서 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\vec {R}}{\partial t}=\gamma {\vec {R}\times{\vec{B}}}}}$

고전적으로, 이 방정식은 자기장에서 스핀의 역학을 설명한다.이상적인 자석은 독립적으로 작용하는 동일한 스핀들의 집합으로 구성되며, 따라서 총 $자기화{\displaystyle \stackrel{}{}}$ M${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$은 Bloch 벡터 $R{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$에 비례한다$.$ 광학 Bloch 방정식의 최종 형태를 얻기 위해 남은 것은 페놈의 포함이다.신학적 완화 용어

마지막으로 하이젠베르크 그림에서 각운동량 연산자의 시간 진화를 고려함으로써 위의 방정식을 도출할 수 있다.

${\displaystyle i\hbar {\frac {d\sigma _{j}}{dt}}=[\sigma _{j},H]=[\sigma _{j},-\mu \sigma _{i}B_{i}]=-\mu \left(\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}-\sigma _{i}\sigma _{j}B_{i}\right)=\mu [\sigma _{i},\sigma _{j}]B_{i}=2\mu i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}B_{i}}}$

${\displaystyle \stackrel{}{{Ri}_{}}}$→ =${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ i i ${$ {\$displaystyle {\bec${R_${i}}}=\langle$ \$sigma$_{i$}\$rangele $}}}$과(와) 결합하면 이 방정식은 전과 같은 방정식이 된다$.$

유효성

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다.(2019년 8월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

2국가 시스템은 자연에서 일어나는 가장 단순한 비경쟁 양자 시스템이지만, 위에서 언급한 분석 방법은 단순한 2국가 시스템에만 유효한 것은 아니다.관측 가능한 것이 두 개의 고유값을 갖는 한 어떤 일반 다국가 양자 시스템도 두 개의 고유값을 갖는 한, 두 개의 국가 시스템으로 취급될 수 있다.예를 들어, 스핀-1/2 입자는 실제적으로 추가적인 변환 또는 심지어 회전 자유도를 가질 수 있지만, 그러한 자유도는 이전 분석과 무관하다.수학적으로, 방치된 자유도는 스핀 고유값의 퇴화에 해당한다.

효과적인 2국가 형식주의가 유효한 또 다른 경우는 고려 중인 시스템이 시스템에서 효과적으로 분리되는 두 가지 수준을 갖는 경우다.원자 및 전하 쿼트의 빛에 의한 자발적 또는 자극적 방출 분석에서 그렇다.이 경우 섭동(외부 영역과의 상호 작용)이 올바른 범위에 있고 관심 있는 상태가 아닌 상태로 전환되지 않는다는 점을 유념해야 한다.

유의성 및 기타 예

교육학적으로, 두 개의 상태 형식주의는 양자 시스템의 분석에 사용되는 가장 간단한 수학적 기법들 중 하나이다.광자의 양극화 상태의 입자가 나타내는 간섭과 같은 근본적인 양자역학적 현상을 설명하기 위해 사용할 수 있지만,^[4] 중성미자 진동이나 중성 K-메손 진동과 같은 보다 복잡한 현상도 설명할 수 있다.

2-상태 형식주의를 사용하여 단순한 상태 혼합을 설명할 수 있으며, 이는 공명 안정화 및 기타 수준 교차 관련 대칭과 같은 현상으로 이어진다.그러한 현상은 화학에 있어서 매우 다양한 응용을 가지고 있다.마저나 레이저와 같은 엄청난 산업적 응용이 있는 현상은 두 가지 상태의 형식주의를 사용하여 설명할 수 있다.

두 국가 형식주의도 양자컴퓨팅의 근간을 이룬다.양자 컴퓨터의 구성 요소인 쿼빗은 두 개의 주 시스템일 뿐이다.임의의 양자 계산 연산은 Bloch 구체에서 상태 벡터를 회전시키는 단일 연산이다.

추가 읽기

• 이 기사에서 언급된 거의 모든 적용에 대한 두 가지 상태의 형식주의와 그 적용에 대한 훌륭한 처리는 파인만 물리학 강의 제3권에 제시되어 있다.
• 다음의 강의 노트 세트는 필요한 수학을 다루고 몇 가지 예시를 자세히 다루기도 한다.
  • MIT에서 제공하는 Quantum mechanics II 과정, http://web.mit.edu/8.05/handouts/Twostates_03.pdf
  • 중립 입자 진동을 다루는 같은 코스에서, http://web.mit.edu/8.05/handouts/nukaon_07.pdf
  • TIFR에서 제공하는 양자역학 I 강좌에서 http://theory.tifr.res.in/~sgupta/supta/qm2013/hand4.pdf는 필수 수학을 다룬다.
  • http://theory.tifr.res.in/~supta/supta/qm2013/hand5.pdf; 같은 코스에서 일부 물리적 2국가 시스템 및 기타 형식주의의 중요한 측면을 다룬다.
  • 초기 섹션의 수학은 컬럼비아 대학에서 제공되는 수학자들을 위한 양자역학 강좌에서 나온 http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qubit.pdf와 유사한 방식으로 수행된다.
  • 동일본의 도서판; http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook.pdf
  • 2개 주 시스템 및 2-sphere, R J 플리멘, Il Nuovo Cimento B (1973) 55-58

참고 항목

• 라비 사이클
• 더블트
• 핵자기공명
• 양자 광학

참조