랑의 정리

대수 기하학에서, 세르게 랭이 소개한 랭의 정리에는 다음과 같이 명시되어 있다: G가 유한장 $F{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 걸쳐 연결된 매끄러운 대수학 그룹이라면, ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$, x${\displaystyle q^{}}$ ${\$:프로베니우스의 $경우$ G$\to G$,\,$x\$mapsto x^{$q}.$

${\displaystyle G\to G,\,x\mapsto x^{-1}\sigma (x)}$

허탈하다Note that the kernel of this map (i.e., ${\displaystyle G=G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})\to G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})}$) is precisely ${\displaystyle G(\mathbf {F} _{q})}$.

정리는 H ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle q{}_{}}$, G${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= H ${\displaystyle {e\stackrel{}{\mathrm{}}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\text{'}}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{규격}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle H^{1}(\mathbf {F} _{q}G)=$라는 것을 암시한다.$H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{1}(\operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q},G)}$ vanishes,^[1] and, consequently, any G-bundle on ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$ is isomorphic to the trivial one.또, 리형의 유한군 이론에서도 정리는 기본적인 역할을 한다.

G가 붙을 필요는 없다.따라서 이 정리는 아벨의 품종(예: 타원 곡선)에도 적용된다.사실, 이 애플리케이션은 랭의 초기 동기였다.G가 일치할 경우, $프로베니우스{\displaystyle }$ $\$ {\$displaystyle \sigma }$을(를) 미세하게 많은 고정점을 가진 모든 돌출적 지도로 대체할$$ 수 있다(정확한 설명은 아래 참조).

증거(아래에 제시된)^[2]는 실제로 G의 리 대수에서 영점 연산자를 유도하는 모든$$ $any{\displaystyle }$ ${\디스플레이$ 스타일 $\sigma}$에 대해 통과한다.

랑-슈타인베르크 정리

슈타인베르크(1968년)는 정리를 유용하게 개선해 주었다.

F가 대수군 G의 내형성이라고 가정하자.Lang map은 G에서 G로 g를 gF⁻¹(g)로 가져가는 지도다.

Lang-Steinberg 정리에서는 F가 굴절적이며 한정된 수의 고정점을 가지고 있고, G가 대수적으로 폐쇄된 장에 걸쳐 연결된 아핀 대수군이라면, Lang map은 굴절적이라고 기술하고^[3] 있다.

랑의 정리 증명

정의:

${\displaystyle f_{a}:G\to G,\quad f_{a}(x)=x^{-1}a\sigma(x)}$

그런 다음(정체성 요소의 접선 공간과 a의 접선 공간을 식별함) 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle (df_{a}_{e}=d(h\mapsto)(x^{-1},a,\ma(x))))_{e}=migration_{(e,a,e)}\ma(-1,0,d\bma _{e}=-1+d\bma _{e})}}$

여기서 $h{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle h(x,y,z)=xyz$ 다음에${\displaystyle }$(${\displaystyle d_{}}$ f${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}${\$displaystyle$$(df_{a}_$${e$$}}}}}}}$이$($ 사라지기 때문에 편향적이다$$.$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ (${\displaystyle {}_{}b}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= f ${\displaystyle {a_{}}_{}}$ (${\displaystyle {{}_{}b}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f_{a}(bx)=f_{f_{a}(b$ 또한 (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}{}_{}}$ b ${\$이$({\displaystyle }$가) 어느 b에 대해서도 편향적이라는$$ 것을 알 수 있다.^[4]X가 f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 이미지의 닫힘이 되게 하라$.$X의 매끄러운 점은 개방된 밀도 서브셋을 형성하므로 G에는 ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle f_{1}(b)}$이(가) 매끄러운 X의 점처럼 일부 b가 있다.$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}b}$) ${\displaystyle f_{1}(b)}$에서 X에 대한 접선 공간과$$ b에서 G에 대한 접선 공간은 같은 치수를 가지므로, G가 매끄러우므로 X와 G의 치수가 같다는 것을 따른다.G가 연결되었으므로 f$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 이미지는 G의 개방된 밀도 하위 집합 U를 포함한다. 이제 동일한 추론에 의해 임의 원소 a를 G로 주어 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 이미지는 G의 개방된 밀도 하위 집합 V를 포함한다$$.교차로 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U\cap V}$이(가) 비어 있지 않지만 이는 a가 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 이미지에 있음을 의미한다$.$

메모들

참조

• Springer, T. A. (1998). Linear algebraic groups (2nd ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4021-5. OCLC 38179868.
• Lang, Serge (1956), "Algebraic groups over finite fields", American Journal of Mathematics, 78: 555–563, doi:10.2307/2372673, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372673, MR 0086367
• Steinberg, Robert (1968), Endomorphisms of linear algebraic groups, Memoirs of the American Mathematical Society, No. 80, Providence, R.I.: American Mathematical Society, MR 0230728