커널(알지브라)

대수학에서 동형상(구조물을 보존하는 기능)의 커널은 일반적으로 0의 역상(커널이 1의 역상(역상)인 경우, 연산을 곱으로 나타내는 그룹은 제외)이다.중요한 특별한 경우는 선형 지도의 커널이다.null space라고도 하는 행렬의 커널은 행렬에 의해 정의된 선형 지도의 커널이다.null

동형성의 알맹이는 동형성이 주입되는 경우에만 0(또는 1)으로 감소하는데, 이는 모든 원소의 역적 이미지가 단일 원소로 구성되는 경우다.이것은 알맹이가 동형성이 주입되지 않는 정도를 측정하는 척도로 볼 수 있다는 것을 의미한다.^[1]null

아벨 그룹과 벡터 공간과 같은 일부 구조 유형의 경우, 가능한 커널은 정확히 같은 유형의 하부 구조물이다.이것은 항상 그렇지는 않으며, 때로는 가능한 커널이 그룹을 위한 정상 부분군이나 반지를 위한 양면 이상과 같은 특별한 이름을 받아왔다.null

커널은 인지도 객체를 정의할 수 있다(범용대수에서는 인지도 알제브라, 범주이론에서는 코커넬이라고도 한다).많은 유형의 대수적 구조에 대해 동형상(또는 첫 번째 이형상 정리)에 대한 근본적인 정리에서는 동형상(同形相)의 이미지가 알맹이에 의한 몫에 이형상이라고 기술하고 있다.null

커널의 개념은 단일 원소의 역적 이미지가 주입적인지 여부를 결정하기에 충분하지 않은 구조로 확장되었다.이 경우, 낟알은 응집관계다.null

이 기사는 대수 구조에서 몇몇 중요한 종류의 커널에 대한 조사다.null

예시 조사

선형지도

V와 W를 필드 위의 벡터 공간(또는 더 일반적으로 링 위의 모듈)이 되게 하고 T를 V에서 W까지의 선형 지도가 되게 한다.0이_W W의 제로 벡터인 경우, T의 커널은 0 하위 공간_W {0}의 프리이미지, 즉 T가 0 요소에_W 매핑하는 V의 모든 원소로 구성된 V의 서브셋이다.커널은 보통 Ker T 또는 그 변형으로 표시된다.

${\displaystyle \ker T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}.}$

선형 지도가 벡터를 0으로 보존하기 때문에 V의 0 벡터는_V 커널에 속해야 한다.변환 T는 그것의 커널이 0 하위공간으로 축소되는 경우에만 주입된다.null

커널 케어 T는 항상 V의 선형 하위 공간이다.따라서, 지분의 공간 V/(커 T)를 말하는 것이 타당하다.벡터 공간에 대한 첫 번째 이형성 정리에서는 이 몫의 공간이 T(W의 하위 공간인)의 이미지와 자연적으로 이형성이라는 것을 밝히고 있다.따라서 V의 치수는 커널의 치수에 이미지의 치수를 더한 것과 같다.null

V와 W가 유한한 차원이고 베이스가 선택되었다면, T는 행렬 M으로 설명할 수 있고, 커널은 선형 방정식 Mv = 0의 동종 시스템을 풀어서 계산할 수 있다.이 경우 T의 커널은 M의 "null space"라고도 하는 매트릭스 M의 커널에 식별될 수 있다.M의 무효라고 불리는 null 공간의 치수는 순위-nullity 정리의 결과로 M의 열에서 M의 순위를 뺀 값으로 주어진다.null

동종 미분 방정식을 푸는 것은 종종 특정 미분 연산자의 커널을 계산하는 것과 같다.예를 들어, 실제 라인에서 그 자체로 f를 두 배로 구분할 수 있는 모든 함수를 찾기 위해서.

$[\displaystyle xf](x)+3f'(x)=f(x),}$

V는 모든 두 개의 서로 다른 기능의 공간이 되게 하고 W는 모든 기능의 공간이 되게 하며, V에서 W까지의 선형 연산자 T는 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle (tf)(x)=xf"+3f'(x)-f(x)}$

F(V)와 x(임의의 실수)의 경우.그 다음 미분방정식에 대한 모든 용액은 Ker T에 있다.

링 위에 있는 모듈들 사이의 동형성에 대한 커널을 유사하게 정의할 수 있다.이것은 특별한 경우로서 아벨 그룹 사이의 동형성을 위한 커널을 포함한다.이 예는 일반 아벨론 범주에서 커널의 본질을 포착한다. 커널(카테고리 이론)을 참조한다.null

집단동형성

G와 H를 집단이 되게 하고 f를 G에서 H로 집단동형주의로 한다. e가_H H의 아이덴티티 요소라면 f의 커널은 싱글톤 집합 {e_H}의 프리이미지, 즉 f에 의해 요소 e에_H 매핑되는 G의 모든 요소들로 구성된 G의 서브셋이다.null

커널은 보통 ker f(또는 변이)로 표시된다.기호:

${\displaystyle \ker f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}.}$

집단동형주의는 정체성 요소를 보존하기 때문에 G의 정체성 요소 e는_G 커널에 속해야 한다.null

동형성 f는 그것의 커널이 단지 싱글톤 세트 {e_G}인 경우에만 주입된다.f가 주입되지 않은 경우, 비주사적 요소는 그 커널의 구별되는 $요소$를 형성할 수 있다:${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle b}$ {\$displaystyle a,b\in$ G$}$이($가$) $존재$하며, ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle b}$ ${\$$displaystyle$ $a\neq b}$ $및{\displaystyle \mathrm{f<img\; alt="a\backslash neq\; b"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/3bf17ce351d08f2b7a3e54ba3aa2132f260c84f6"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:5.326ex;\; height:2.676ex;"\; papago-attr-id="136">}}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$($a)=f(b$따라서 ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle f}$(${\displaystyle {\mathrm{b}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ f는 집단 동형성이기 때문에 invers와 그룹 연산이 ${\displaystyle {}_{}}$되어${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {(\mathrm{b}}^{}}$-${\displaystyle }$1 ) = ${\displaystyle e_{}}$H {\$displaysty f\좌(ab^{-1}\rif)=e_{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}}$$H}$; 즉 ${\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}{\ker }^{}}$ ${\displaystyle \ker }$ker ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ab^{-1$$in \ker f},$ 그리고 ker f는 싱글톤이 아닐 것이다.반대로, 커널의 구별되는 요소는 직접 주입성을 위반한다: $원소{\displaystyle }$ g ${\displaystyle \ne }$ e ${\displaystyle G_{}}$ G${\displaystyle {}_{}}$∈ ${\displaystyle \ker }$ ⁡ f${\displaystyle \ker }$ f$${\$displaystyle g\neq$ e_${$${\displaystyle G_{}}$$}\in \ker$ f$\},$ $f{\displaystyle }$(${\displaystyle g}$) = e $(\$$H$ 따라서 f는 주입되지 않을 것이다.null

ker f는 G의 부분군이며, 나아가 정상 부분군이다.따라서 해당 지수군 G/(커 f)가 있다.이것은 집단에 대한 첫 번째 이형성 정리에 의해 f(H의 하위집단이기도 함) 아래의 G의 이미지인 f(G)에 대한 이형성이다.null

아벨리아 집단의 특수한 경우에는 앞의 절과 일탈이 없다.null

예

모듈식 덧셈으로 G를 6개 원소 {0, 1, 2, 3, 4, 5}에 대한 순환군이 되게 하고, H는 모듈식 덧셈으로 2개 원소 {0, 1}에 대한 순환군이 되며, G의 각 원소 g를 H의 g모듈로 2에 매핑하는 동형성(homorphism)이 되도록 한다.그러면 이 모든 요소가_H 0으로 매핑되므로 ker f = {0, 2, 4}.지수군 G/(커 f)는 {0, 2, 4}과 {1, 3, 5}의 두 요소를 가지고 있다. H에 대해서는 실로 이형이다.

링 동형성

대수구조 → 링 이론 링 이론
기본개념 반지. • 서브링 • 이상적 • 지수 링 • 분수 이상 • 분수의 총 링 • 링 제품 • 연관성 있는 알헤브라의 자유 제품 • 알헤브라의 텐서 제품 링 동형성 • 커널 • 내적 자동형성 • 프로베니우스 내형성 대수구조 • 모듈 • 연관 대수 • 그라데이션 링 • 비자발적 고리 • 링의 범주 • 초기 $링{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$ • 단자 링 $0{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 0$=\mathb {Z} _{1$} 관련 구조물 • 현장 • 유한장 • 비 연상 고리 • 리 링 • 조던 링 • 의미 부여 • 세미필드
정류대수학 정류 링 • 통합 도메인 • 통합적으로 닫힌 도메인 • GCD 도메인 • 고유한 요인화 영역 • 주요 이상 영역 • 유클리드 영역 • 현장 • 유한장 • 컴포지션 링 • 다항 링 • 공식 파워 시리즈 링 대수적 수 이론 • 대수적 수 필드 • 정수 링 • 대수적 독립성 • 초월수 이론 • 초월도 p-adic 수 이론과 소수점 • 직접 한계/반복 한계 • 제로 링 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$} • Integers modulo pn $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ ${\$ • Prüfer p-링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \mathb {Z}(p^{\inflt })}$ • Base-p circle ring $T{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ • 기본-p $정수{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$} • p-adic $rationals{\displaystyle \mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$[ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p}$] ${\displaystyle \mathb {Z} [1/p]}$ • Base-p $실수{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$ • p-adic 정수 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic number $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic 솔레노이드 $T{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 대수 기하학 • 아핀 버라이어티
비계산 대수 비커밋 링 • 디비전 링 • 반비례 반지 • 심플 링 • 정류자 비계산 대수 기하학 자유대수학 클리포드 대수 • 기하 대수학 연산자 대수
v t

R과 S를 링(유니탈로 가정)으로 하고 f를 R에서 S까지의 링 동형성으로 한다.0이_S S의 0 요소인 경우, f의 커널은 정수의 선형 지도로서, 또는 동등하게 가법군으로서 그것의 커널이다.0 이상 {0_S}의 프리이미지 즉, f에 의해 원소 0에_S 매핑되는 R의 모든 원소로 구성된 R의 서브셋이다.커널은 보통 ker f(또는 변이)로 표시된다.기호:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}{\mbox{.}}}$

고리 동형성은 0원소를 보존하기 때문에 R의_R 0원소는 커널에 속해야 한다.동형성 f는 그것의 커널이 단지 싱글톤 세트 {0_R}인 경우에만 주입된다.R이 필드이고 S가 제로 링이 아닌 경우에는 항상 그러하다.null

ker f는 S가 제로 링일 때만 승법정체를 포함하기 때문에 커널은 일반적으로 R의 서브링(subring)이 아닌 것으로 밝혀졌다.낟알은 하위rng, 더 정확히 말하면 R의 양면 이상이다.따라서, 지수의 반지 R/(커 f)를 말하는 것이 타당하다.링에 대한 첫 번째 이소형성 정리에서는 이 몫의 링이 f(S의 서브링)의 이미지와 자연적으로 이소형성이라는 것을 명시하고 있다. (주: 링은 커널 정의에 있어서 단항일 필요는 없다.)null

어느 정도, 이것은 모두 링 R에 대한 바이모듈이기 때문에 모듈의 특수한 경우라고 생각할 수 있다.

• R 자체;
• R의 양면 이상(예: ker f);
• R의 모든 지수 링(예: R/(커 f))
• 영역이 R인 링 동형(예: f의 코드인 S)의 코도메인.

그러나 링 이형성 정리는 더 강한 결과를 주는 데, 링 이형성은 곱셈을 보존하는 반면 모듈 이형성(링 사이 사이까지도)은 일반적으로 그렇지 않기 때문이다.null

이 예는 일반적인 Mal'cev Algebras의 커널의 본질을 포착한 것이다.null

단성 동형성

M과 N을 모노이드로 하고 f를 M에서 N까지 단모형 동형성으로 하자.그 다음 f의 커널은 두 구성 요소가 모두 f에 의해 N의 동일한 요소에 매핑되는 M의 모든 정렬된 요소 쌍으로 구성된 직접 제품 M × M의 서브셋이다.낟알은 보통 ker f(또는 그 변이)로 표시된다.기호:

${\displaystyle \operatorname {ker}f=\좌측\{\좌측(m,m'\우측)\수치 M:f(m)=f\좌측(m'\우측)\우측\}}$

f는 함수이므로 형태(m, m)의 원소는 커널에 속해야 한다.동형성 f는 그것의 커널이 대각선 집합 {(m, m) : m in M}인 경우에만 주입된다.

Ker f는 M에 대한 동등성 관계, 그리고 실제로 합치 관계인 것으로 밝혀졌다.따라서, 지수 단조 M/(ker f)를 말하는 것이 타당하다.모노이드에 대한 첫 번째 이형성 정리에서는 이 지수 단형이 f의 이미지와 자연적으로 이형성(N의 서브모노이드, 합치 관계에 대한 것)이라고 명시하고 있다.null

이것은 위의 예시와 맛이 매우 다르다.특히 N의 아이덴티티 요소의 프리이미지는 f의 커널을 결정하기에 충분하지 않다.null

유니버설 대수학

위의 모든 경우는 유니버설 대수학에서 통일되고 일반화될 수 있다.null

일반사례

A와 B를 주어진 유형의 대수적 구조로 하고 f를 A에서 B까지 그 유형의 동형성으로 한다.그 다음 f의 커널은 A의 모든 정렬된 요소 쌍으로 구성된 직접 제품 A × A의 하위 집합이며, 두 구성 요소는 모두 f에 의해 B의 동일한 요소에 매핑된다.커널은 보통 ker f(또는 변이)로 표시된다.기호:

$\displaystyle \operatorname {ker}f=\f=f(a)=f(오른쪽)\right\}{\mbox{}}}}$

f는 함수이므로 형태(a, a)의 원소는 커널에 속해야 한다.null

동형성 f는 그것의 커널이 정확히 대각선 집합 {(a, a) : ∈ A}인 경우에만 주입된다.null

ker f는 A에 대한 동등성 관계, 그리고 실제로 합치성 관계임을 쉽게 알 수 있다.따라서, 인용 대수 A/(커 f)를 말하는 것이 타당하다.일반대수학에서 첫 번째 이소형성 정리에서는 이 인용 대수학이 f(B의 하위격수)의 이미지에 자연적으로 이소형성이 있다고 기술하고 있다.null

여기서의 커널의 정의(단조형 예에서와 같이)는 대수적 구조에 의존하지 않는다는 점에 유의한다. 이는 순전히 설정 이데아틱 개념이다.추상 대수 외의 일반적인 개념에 대한 자세한 내용은 함수의 커널을 참조하십시오.null

말체프 알헤브라스

이 섹션은 독자들에게 혼란스럽거나 불명확할 수 있다.특히, 이 절은 Malcev 대수학과는 다르며 정의되거나 연계되지 않는 구조를 지칭하는 것으로 이해할 수 없다. 섹션을 명확히 설명하는 데 도움을 주십시요. 토크 페이지에서 이에 대한 논의가 있을 수 있다.(2016년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

말체브 알헤브라의 경우 이 공사를 간소화할 수 있다.모든 Malcev 대수에는 특별한 중성 원소(벡터 공간의 경우 제로 벡터, 정류 그룹의 경우 아이덴티티 요소, 링이나 모듈의 경우 제로 요소)가 있다.Malcev 대수학의 특징적인 특징은 중립 원소의 동등성 등급으로부터 전체 동등성 관계 kerf를 회복할 수 있다는 것이다.null

구체적으로 말하면, A와 B를 특정 유형의 Malcev 대수학적 구조로 하고 f를 A에서 B로 해당 유형의 동형성으로 한다.e가_B B의 중립 요소인 경우, f의 커널은 싱글톤 집합_B {e}의 프리이미지, 즉 f에 의해 e 요소에_B 매핑되는 A의 모든 요소들로 구성된 서브셋이다.커널은 보통 ker f(또는 변이)로 표시된다.기호:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{a\in A:f(a)=e_{B}\}{\mbox{.}}}$

말체프 대수동형주의는 중성 원소를 보존하기 때문에 A의 정체성 원소 e는_A 커널에 속해야 한다.동형성 f는 그것의 커널이 단지 싱글톤 세트 {e_A}인 경우에만 주입된다.null

모든 Malcev 대수학에 대한 이상적인 일반화의 개념(벡터 공간의 경우 선형 아공간, 그룹의 경우 정상 부분군, 링의 경우 양면 이상, 모듈의 경우 하위공간)케르 f는 A의 아첨자는 아니지만 이상적이다.그렇다면 인용 대수 G/(커 f)를 말하는 것이 타당하다.말체브 알헤브라의 첫 번째 이소모르프 정리에서는 이 지수대수가 f(B의 하위 대수)의 이미지와 자연적으로 이소모르프라고 기술하고 있다.null

보다 일반적인 유형의 알헤브라에 대한 이것과 일치 관계 사이의 연관성은 다음과 같다.첫째, 커널-as-an-ideal은 커널-as-a-conguence 아래에 있는 중립 요소 e의_A 동등성 등급이다.역방향의 경우, 우리는 말체프 대수(그룹에 대해서는 양쪽으로 분할하고 벡터 공간, 모듈, 링에 대해서는 뺄셈)에 대한 인수의 개념이 필요하다.이를 이용하여 A의 요소 a와 b는 그들의 몫 a/b가 커널의 이상적 요소인 경우에만 커널의 합치 하에 동등하다.null

비알제브라질 구조를 가진 알제브라

때때로 알헤브라는 대수적 작용 외에 비알제브라의 구조를 갖추고 있다.예를 들어 위상이 장착된 위상학적 그룹 또는 위상학적 벡터 공간을 고려할 수 있다.이 경우, 우리는 동형상 f가 이 추가적인 구조를 보존할 것으로 예상할 것이다; 위상학적 예에서, 우리는 f가 연속적인 지도가 되기를 원할 것이다.그 과정은 품행이 단정하지 않을 수도 있는 인지도 알제브라와의 장애에 부딪칠 수도 있다.위상학적 예에서 우리는 위상 대수학적 구조를 하우스도르프(보통 행해지는 대로)라고 요구함으로써 문제를 피할 수 있다. 그러면 커널(구성이 되더라도)은 닫힌 집합이 되고 인용된 공간은 잘 작동할 것이다(그리고 하우스도르프도 된다).null

카테고리 이론의 커널

범주 이론에서 커널의 개념은 아벨리안 알헤브라의 커널을 일반화한 것이다. 커널(카테고리 이론)을 참조하라.일치 관계로서의 커널의 범주형 일반화는 커널 쌍이다.(차이 커널 또는 이진 이퀄라이저라는 개념도 있다.)null

참고 항목

• 커널(선형 대수)
• 제로 세트

메모들

참조

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-43334-9.

• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.