격자 경로

In combinatorics, a lattice path ${\displaystyle L}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$ of length ${\displaystyle k}$ with steps in ${\displaystyle S}$ is a sequence ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{k}\in \mathbb {Z} ^{d}}$ such that each consecutive차이 ${\displaystyle v_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ $v_$${i}-v_{i-1}$는 S {\$dyplaystyle$S$}$에 위치한다$.$^[1] 격자 $경로$는 R ${\displaystyle {}^{}}${\$style \mathb${$R$$}$$^{d$$\}\}$^[1]의 모든 격자에 위치할 수 있지만, 정수 격자 Z ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$이 가장 일반적으로 사용된다$.$

An example of a lattice path in ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ of length 5 with steps in ${\displaystyle S=\lbrace (2,0),(1,1),(0,-1)\rbrace }$ is ${\displaystyle L=\lbrace (-1,-2),(0$$,-1),$ ($2,-1),$ ($2,-2$), $($2,-$3),$ ($4,-3)\rbrace$ $\}.$

북동 격자 경로

A North-East (NE) lattice path is a lattice path in ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ with steps in ${\displaystyle S=\lbrace (0,1),(1,0)\rbrace }$. The ${\displaystyle (0,1)}$ steps are called North steps and denoted by ${\displaystyle N}$'s; the ${\display$$스타일(1,0)}$단계는$$ East step이라고 $하며{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E$s로 표시된다.

NE 격자 경로는 가장 일반적으로 출발지에서 시작한다.이 규칙을 통해 NE 격자 경로 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에 대한 모든 정보를 단일 순열 단어로 인코딩할 수 있다.단어의 길이는 격자 경로의 단계 수인 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$를 알려준다$.$$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N$s와 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의$$$순서$는 L ${\displaystyle$$L$}의 순서를 전달하며$,$ 나아가 단어에 $포함$된 N ${\displaystyle$ N$}$의$$수와 $E{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ E$}$의 $수$가$$L$}$의 끝점을 결정한다$.$

NE 격자 경로에 $대한{\displaystyle }$ 순열 단어가 n ${\displaystyle N$$}$$단계$와 e ${\displaystyle$ $N}$${\displaystyle }$ 및 $e{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle E}$단계에$$ 포함된 경우, 경로가 원점에서 시작되면 반드시${\displaystyle }$( ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle(e,n)$에서 종료된다$.$ 이는 정확히 $n$을 "걸음"했기 때문이다.${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $n}$계단$$ $북쪽$과 e$${\$displaystyle e$}계단$$ 동쪽 계단은${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$0${\displaystyle }$) ${\displaystyle (0,0)}$단계$.$

격자 경로 계산

격자 경로는 종종 다른 결합 물체를 세는 데 사용된다.마찬가지로 특정 종류의 격자 경로의 수를 세는 결합 물체가 많다.이것은 격자 경로가 문제의 물체와 편향되었을 때 발생한다.예를 들어,

• Dyck paths are counted by the ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ Catalan number ${\displaystyle C_{n}}$. A Dyck path is a lattice path in ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ from ${\displaystyle (0,0)}$ to ${\displaystyle (2n,0)}$ with steps in ${\displaystyle S=\{(1,1),(1,-}$${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle S=\lbrace(1,1),(1,-1)\rbrace }$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ -축$$ 아래로 절대 지나가지 않는$$ ^[2]}동등하게, Dyck 경로는${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (0,0)}$에서 ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle (n,n)$까지의 NE 격자 경로로서$$, $대각선{\displaystyle }$y = ${\displaystyle x}${\$displaysty$y=$x}$ 아래에 완전히 놓여 있다$.$^[2][3]
• The Schröder numbers count the number of lattice paths from ${\displaystyle (0,0)}$ to ${\displaystyle (n,n)}$ with steps in ${\displaystyle (1,0),(0,1)}$ and ${\displaystyle (1,1)}$ that never rise above the diagonal ${\displaystyle y=x}$.^[2]
• $({\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (0,$${\displaystyle 0}$$)}$에서${\displaystyle }$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle (a,b)}$까지의 NE 격자 경로 수는${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$ {\$displaystyle a+b}$ $개체{\displaystyle }$$$ 집합에서 ${\displaystyle$ a$} 개체$의 조합 수를 카운트한다.

조합 및 NE 격자 경로

NE 격자경로는 이항계수에 의해 계수되고 파스칼의 삼각형으로 배열된 조합의 수와 밀접한 연관성을 가진다.아래 도표는 이러한 연결의 일부를 보여준다.

$({\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (0,0)}$에서${\displaystyle }$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle (n,k)}$까지의 격자 경로 수는 이항 계수$({\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$+ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$) ${\$ {$n+k}{n}}}}}$과 같다$.$The diagram shows this for ${\displaystyle 0\leq k\leq n=4}$. If one rotates the diagram 135° clockwise about the origin and extend it to include all ${\displaystyle n,k\in \mathbb {N} \cup \lbrace 0\rbrace }$, one obtains Pascal's triangle.파스칼 삼각형의 $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{th}}^{}}$ ${\$ n$^{\$$text$${$$th$} 행의$$ $k$ ${\displaystyle {\text{th}}^{}}${\displaystyle n^{\$text{th}}$ 항목이 이항 계수(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$ $){\${\$binom}{k$이기 때문에 이 결과는 놀랄 일이 아니다.

문제 및 증거

NE 격자 경로의 그래픽 표현은 결합을 수반하는 많은 주관적 증거에 도움이 된다.여기 몇 가지 예가 있다.

• ${\displaystyle \sum _k^{}}$= ${\displaystyle {0n}^{\mathrm{}}\underset{}{\overset{}{}}{}^{}}$(${\displaystyle {n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$) ${\$n}{\$binom{n}}}^{2}={\binom {2n}{n$

Proof: The right-hand side is equal to the number of NE lattice paths from ${\displaystyle (0,0)}$ to ${\displaystyle (n,n)}$. Each of these NE lattice paths intersects exactly one of the lattice points in the rectangular array with coordinates ${\displaystyle (x,n-x)}$ for ${\displaystyle x\in \{0,1,\dots ,n}$${\displaystyle \}}$ ${\$$displaystyle$$x\in \lbrace 0,1,\ldots,n\\rbrace$ $\}$에 대해 아래 ${\displaystyle \mathrm{그림}}$에 표시된 $바$와 같이,${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$$$${\displaystyle 0}$) {\$displaystyle$$$($0,0)}$에서 ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle 4}$)까지 모든$$NE 격자 경로는 색상 노드 중 정확히 하나를 교차한다$$.

왼쪽에서 이항계수 제곱$({\displaystyle {n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}^{}}$) ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ ${\$은$$시작점에 부착된${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$, 0${\displaystyle }$) {\$displaystyle$ ($0,0)}$에서 $({\displaystyle k}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle k}$) ${\displaystystyle (k,n-k)$까지 NE 격자 경로 집합의 두 개를 나타낸다.두 번째 사본을 시계 방향으로 90° 돌리십시오.이렇게 해도 개체의 조합은 변경되지 않는다.${\displaystyle }$( ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$k${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ -${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$ ) ${\$binom ${n}{k}}={\binom {n}{n-k$ 따라서 격자 경로의 총 수는 그대로 유지된다.

아래 그림과 같이 동일한 직사각형 배열 위에 제곱된 NE 격자 경로를 겹친다.$({\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (0,0)}$에서${\displaystyle }$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle (n,n)}$까지의 모든 NE 격자 경로가 설명되어 있음을$$ 알 수 있다.특히 적색 격자점을 통과하는 격자 경로(예를 들어)는 격자 경로의 제곱 집합(적색으로도 표시됨)에 의해 계산된다는 점에 유의하십시오.${\displaystyle \Box }$

참조