순열 패턴

Permutation pattern

결합수학과 이론 컴퓨터 과학에서 순열 패턴은 더 긴 순열의 하위 순열이다.모든 순열은 숫자 시퀀스 123에 순열의 결과를 나타내는 숫자 시퀀스로 한 줄 표기법으로 쓸 수 있다.; 예를 들어 숫자 시퀀스 213은 요소 1과 요소 2를 교환하는 세 가지 요소에 대한 순열을 나타낸다.만일 π과 σ이 이런 식으로 표현되는 두 개의 순열(이 변수 이름은 순열의 표준이며 숫자 pi와 무관하다)이라면, π의 자릿수의 일부 세분화가 σ의 모든 자릿수와 동일한 상대적 순서를 갖는다면 σ을 패턴으로 수록한다고 한다.

예를 들어, 순열 π은 π에 3자리 x, y, z의 순서로 π 내에 나타나지만 그 값이 y < x < z로 정렬될 때마다 패턴 213을 포함한다.5개 원소에 대한 순열 32415는 여러 가지 다른 방법으로 213을 패턴으로 포함하고 있다: 3·15, ····················································································각각 315, 415, 325, 324, 215를 패턴의 복사, 인스턴스 또는 발생이라고 한다.π이 σ을 함유하고 있다는 사실은 σ π as으로 더욱 간결하게 쓰여 있는데, ation 순열 π에 패턴 σ이 들어 있지 않으면 σ을 피한다고 한다.순열 51342는 213을 피한다. 10개의 일련번호가 3자리 숫자지만, 이 10개의 일련번호 중 213과 같은 순서를 가진 것은 없다.

초기 결과

퍼시 맥마흔(1915년)이 '잠자리 순열' 연구를 통해 현장에서 가장 먼저 결과를 입증한 사례도 만들 수 있다.[1]특히 MacMahon은 두 개의 감소하는 반복(즉, 123 회피 순열)으로 나눌 수 있는 순열은 카탈로니아 숫자에 의해 계산된다는 것을 보여준다.[2]

Another early landmark result in the field is the Erdős–Szekeres theorem; in permutation pattern language, the theorem states that for any positive integers a and b every permutation of length at least must contain either the pattern 또는 패턴 - ,…2,

컴퓨터 과학의 기원

순열 패턴 연구는 1968년 도널드 크누스가 스택 정렬을 고려하면서 본격적으로 시작됐다.[3]크누스는 π이 231을 회피하는 경우에만 순열 sorted을 스택별로 정렬할 수 있으며, 스택 정렬 가능한 순열은 카탈로니아 번호로 열거된다는 것을 보여주었다.[4]크누스는 또한 데키스로 분류하는 것에 대해 의문을 제기했다.특히 n 원소의 순열이 얼마나 되는지에 대한 크누스의 질문은 여전히 열려 있다.[5]반면 본 프랫(1973년)모든 k에 만일,π은 피하도록 5,2,7,4,...,4k+1,4k−2,3,4k,1, 5,2,7,4,...,4k+3,4k,1,4k+2,3, 그리고 이것들 어느 interchanging서 구할 수 있는 모든 순열은 순열 π 데큼으로써 정렬할 것을 직후에, 로버트 Tarjan(1972년)stacks,[6]의 네트워크로 구분 조사했다. t그는 마지막 두 원소 혹은 1과 2 원소.[7]이 순열의 모음은 무한하기 때문에(사실, 순열의 무한 반칙의 첫 번째 출판된 예시이기 때문에, 순열을 디큐로 정렬할 수 있는지 여부를 결정하는 데 얼마나 오랜 시간이 걸리는지는 즉각적으로 명확하지 않다.로젠스티엘&타르잔(1984)은 후에 π을 디큐로 정렬할 수 있는지 여부를 결정하는 선형(π의 길이) 시간 알고리즘을 제시했다.[8]

프랫은 논문에서 이 순열 패턴이 "단순하고 자연스러운 방식으로 발생하는 유일한 순열 순서가 될 것"이라고 말하고 "추상적인 관점에서" 순열 패턴 순서가 "우리가 특성화하던 네트워크보다 훨씬 더 흥미롭다"[7]고 결론지었다.

열거적 기원

주요 기사:특정 순열 클래스 열거

순열 패턴 연구의 두드러진 목표는 순열 또는 순열 집합의 고정(일반적으로 짧은) 순열을 피하는 순열의 열거에 있다.렛트n Av(B)는 세트 B의 모든 순열을 피하는 길이 n의 순열 집합을 나타낸다(B가 싱글톤인 경우, 예를 들어 β, 약어 Avn(β)가 대신 사용된다).위에서 언급한 바와 같이, 맥마흔과 크누스는 Avn(123) = Avn(231) = Cn, n번째 카탈로니아 번호임을 보여주었다.그러므로 이것들은 이형 결합 클래스들이다.

시미온 & 슈미트(1985)는 열거에만 집중한 최초의 논문이었다.다른 결과들 중, 시미온과 슈미트는 길이 3의 패턴을 피하는 고른 순열과 이상한 순열을 세었고, 길이 3의 두 가지 패턴을 피하는 순열을 세었으며, 123-와 231-항습 순열이 동일하다는 첫 번째 주관적 증거를 주었다.[9]그들의 논문 이후, 다른 많은 반대 의견이 주어졌다. 설문 조사는 Claesson & Kitaev(2008)를 참조하라.[10]

일반적으로 모든n n에 대해 Av(β) = Avn(σ)이면, β와 wil은 Wilf 등가라고 한다.많은 윌프 등가성은 모든 n에 대해 Avn(β) = Av(βn−1) = Av(β) = Av(βnrev)라는 사소한 사실에서 비롯된다. 여기서 β는−1 β의 역을 나타내고 β는rev β의 역을 나타낸다. (이 두 연산은 순열 매트릭스에 자연 작용하여 디헤드랄 그룹 D를8 생성한다.)그러나 비종교적 Wilf-equivality의 예는 수없이 많다(예: 123과 231 사이).

이 두 개의 Wilf 등가 및 역 대칭으로부터, β가 길이 4인 세 개의 다른 시퀀스 Avn(β)가 있다는 것을 따른다.

β 시퀀스 열거 Avn(β) OEIS 참조 정확한 열거 참조
1342 1, 2, 6, 23, 103, 512, 2740, 15485, 91245, 555662, ... A022558 보나 (1997년)[14]
1234 1, 2, 6, 23, 103, 513, 2761, 15767, 94359, 586590, ... A005802 게셀 (1990년)[15]
1324 1, 2, 6, 23, 103, 513, 2762, 15793, 94776, 591950, ... A061552 불문의

1980년대 후반 리처드 스탠리와 허버트 윌프는 모든 순열 β에 대해 Avn(β) < K와n 같은 어떤 상수 K가 있다고 추측했다.이것은 아담 마커스와 가보 타도스에 의해 증명되기 전까지는 스탠리-윌프 추측으로 알려져 있었다.[16]

휴강반

주요 기사:순열반

패턴 클래스, 순열 클래스 또는 단순 순열 클래스로도 알려진 닫힌 클래스는 순열 패턴 순서의 다운셋입니다.모든 클래스는 그 기본인 그 안에 있지 않은 최소한의 순열로 정의될 수 있다.따라서 스택 정렬 가능 순열의 기본은 {231}인 반면 디큐 정렬 가능 순열의 기본은 무한하다.클래스의 생성 함수는 x π x이고, 여기서 합이 클래스의 모든 순열 π을 인수한다.

뫼비우스 함수

격납명령에 따른 순열 집합이 포셋을 형성하므로 Wilf(2002)가 처음으로 명시적으로 제시한 목표인 뫼비우스 기능에 대해 질문하는 것은 당연하다.[17]이러한 조사의 목적은 순열 패턴 포셋에서 nauve 재귀적 정의보다 더 효율적인 간격[σ, π]의 뫼비우스 함수에 대한 공식을 찾는 것이다.그러한 첫 번째 결과는 Sagan & Vatter(2006)에 의해 확립되었는데, 그는 뫼비우스 함수의 공식을 계층형 순열 간격에 주었다.[18]이후 버스타인 외 연구진(2011년)은 분리 가능한 순열의 간격으로 이 결과를 일반화했다.[19]

점증상으로는 길이 n의 모든 순열의 최소 39.95%가 μ(1, π)=0(즉, 주 뫼비우스 함수는 0과 동일)[20]을 만족한다고 알려져 있으나, n마다 μ(1, π)[21]가 n의 지수함수인 순열 π이 존재한다.

계산 복잡성

길이 의 순열 {\텍스트라고 함) 길이k {\k}의 순열 {\displaystyle 을(패턴이라고 함)에 순열 패턴 일치(PM) 문제가 {\displaysty}에 포함되어 있는지 묻는다. 과 을 모두 변수로 간주할 때 문제는 NP-완전인 것으로 알려져 있으며, 이러한 일치의 수를 세는 문제는 #P-완전이다.[22]그러나 ppm은 k가 상수일 때 선형적으로 해결할 수 있다.실제로, Guillemot과 Marx는[23] PPM이 시간 ( ) k^{ n에서 해결될 수 있다는 것을 보여주었는데 는 PPM이 k 에 대해 고정 파라미터가 가능하다는 것을 의미한다

브루너와 래크너가 조사한 PPM 문제에는 몇 가지 변형이 있다.[24]예를 들어, 시합이 연속적인 엔트리로 구성되어야 한다면, 문제는 다항 시간 내에 해결될 수 있다.[25]

또 다른 변형으로는 패턴과 텍스트가 모두 적절한 순열 C 로 제한되는 경우 이 문제를 -PPM이라고 한다.예를 들어, Guillemot과 Vialette는[26] ({\ -PPM을 ( 시간 내에 해결할 수 있다는 것을 보여주었다.알버트, 래크너, 래크너, 바터[27] 등은 나중에 이것을 n로 낮추고, 스큐가 들어간 순열의 등급에 대해 동일한 바인딩 홀드를 보였다.그들은 또한 고정된 적절한 순열 C {\displaystyle {\ -PPM 문제를 모든 고정된 순열 에 대해 다항 시간 내에 해결할 수 있는지 물었다

패킹 밀도

순열 π은 π과 같은 길이의 순열이 없으면 β-최적이라고 한다.Wilf는 1992년 이산수학에 관한 SIAM 회의 연설에서 길이 k의 순열 β의 패킹 밀도를 다음과 같이 정의했다.

Fred Galvin의 미발표된 주장은 이 한계 내의 수량이 n ≥ k에 대해 증가하지 않고 있다는 것을 보여준다. 그래서 한계가 존재한다.β가 모노톤일 때, 그 패킹 밀도는 분명히 1이고, 패킹 밀도는 역과 역에 의해 생성된 대칭의 그룹 아래에서 불변하므로, 길이 3의 순열의 경우 비종속 패킹 밀도는 단 하나뿐이다.월터 스트롬퀴스트(미발표)는 132의 패킹 밀도가 233 - 3, 약 0.46410임을 보여줌으로써 이 사건을 해결했다.

길이 4의 순열 β의 경우 (대칭으로 인한) 7가지 경우를 고려해야 한다.

β 포장 밀도 참조
1234 1 보잘것없는
1432 x3 - 12x2 + 156x - 64≅ 0.42357의 루트 가격(1997)[28]
2143 ⅜ = 0.375 가격(1997)[28]
1243 ⅜ = 0.375 앨버트 외(2002)[29]
1324 0.244로 추측된다.
1342 추측하건대 0.2558.
2413 추정치 0.10474

세 가지 미지의 순열에는 한계와 추측이 있다.가격(1997)은 1324의 패킹 밀도가 0.244 정도라는 근사 알고리즘을 사용했다.[28]비르잔 바트케예프(미발표)는 1342의 패킹 밀도가 적어도 132와 1432, 약 0.19658의 패킹 밀도의 산물임을 보여주는 순열 패밀리를 구성했다.이것은 1342년의 정확한 포장 밀도로 추측된다.Presutti & Stromquist(2010)는 2413의 포장 밀도에 대한 하한을 제공했다.적분 단위로 표현할 수 있는 이 하한은 약 0.10474이며, 실제 포장 밀도로 추측된다.[30]

슈퍼패턴즈

주요 기사:슈퍼패턴

k-superpatter는 길이 k의 모든 순열을 포함하는 순열이다.예를 들어, 25314는 길이 3의 순열 6개를 모두 포함하고 있기 때문에 3-슈퍼패턴이다.k-슈퍼패턴은 길이가 적어도 k/e여야2 하며2, 여기서 e must 2.71828은 오일러의 번호로 길이 er([31]k2 + 1)/2⌉[32]의 k-슈퍼패턴이 존재한다고 알려져 있다.이 상한선은 저차항까지 가능한 것으로 추측된다.[33]

일반화

「패턴」의 개념이 일반화된 방법에는 몇 가지가 있다.예를 들어 빈콜 패턴은 연속적으로 발생할 필요가 없는 항목을 나타내는 대시를 포함하는 순열이다(일반 패턴 정의에서는 연속적으로 발생할 필요가 없다).예를 들어, 순열 314265에는 항목 3426과 3425에 의해 주어진 2-31-4의 파선 패턴 복사본이 있다.파선 패턴 β 및 모든 순열 β의 경우, β의 복사 수에 대해 β(()를 write로 쓴다.따라서 π에서 반전 횟수는 2-1(()인 반면, 하강 횟수는 21(π)이다.더 나아가 π의 계곡 수는 213(() + 312(π)이며, 봉우리 수는 231(() + 132(π)이다.이러한 패턴들은 거의 모든 알려진 마호니아 통계들이 빈맥 순열로 표현될 수 있다는 것을 보여준 바브슨과 스팅리슨(2000년)에 의해 소개되었다.[34]예를 들어 π의 주요 지수는 1-32(() + 2-31(π) + 3-21(π) + 21(π)과 같다.

또 다른 일반화는 일부 항목이 금지되는 금지된 패턴이다.bar가 bared pattern β를 피한다는 것은 β의 비bared entry의 사본을 형성하는 entries의 모든 항목 집합을 확장하여 β의 모든 항목의 복사본을 형성할 수 있다는 것을 의미한다.웨스트(1993)는 이러한 패턴들을 스택을 통해 두 번 통과시켜 정렬할 수 있는 순열화 연구에 도입했다.[35] (스택을 통해 두 번 정렬하는 웨스트의 정의는 두 개의 스택을 직렬로 정렬하는 것과 같지 않다는 점에 유의한다.)금지된 패턴의 또 다른 예는 부스케-메를루&버틀러(2007)의 작품에서 나타난다. 그는 π에 해당하는 슈베르트의 품종이 1324년과 21354를 피할 경우에만 국부적으로 계승된다는 것을 보여주었다.[36]

참조

  1. ^ MacMahon, Percy A. (1915), Combinatory Analysis, London: Cambridge University Press, Volume I, Section III, Chapter V.
  2. ^ 맥마흔(1915), 항목 97, 98.
  3. ^ Knuth, Donald E. (1968), The Art Of Computer Programming Vol. 1, Boston: Addison-Wesley, ISBN 0-201-89683-4, MR 0286317, OCLC 155842391..
  4. ^ Knuth(1968), 섹션 2.2.1, 연습 4 및 5.
  5. ^ 크누스(1968), 섹션 2.2.1, 연습 13은 1차 인쇄에서 M49, 2차 인쇄에서는 M48의 등급을 매겼다.
  6. ^ Tarjan, Robert (1972), "Sorting using networks of queues and stacks", Journal of the ACM, 19 (2): 341–346, doi:10.1145/321694.321704, MR 0298803, S2CID 13608929.
  7. ^ a b Pratt, Vaughan R. (1973), "Computing permutations with double-ended queues. Parallel stacks and parallel queues", Proc. Fifth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (Austin, Tex., 1973), pp. 268–277, doi:10.1145/800125.804058, MR 0489115, S2CID 15740957.
  8. ^ Rosenstiehl, Pierre; Tarjan, Robert (1984), "Gauss codes, planar Hamiltonian graphs, and stack-sortable permutations", Journal of Algorithms, 5 (3): 375–390, doi:10.1016/0196-6774(84)90018-X, MR 0756164.
  9. ^ Simion, Rodica; Schmidt, Frank W. (1985), "Restricted permutations", European Journal of Combinatorics, 6 (4): 383–406, doi:10.1016/s0195-6698(85)80052-4, MR 0829358.
  10. ^ Claesson, Anders; Kitaev, Sergey (2008), "Classification of bijections between 321- and 132-avoiding permutations" (PDF), Séminaire Lotharingien de Combinatoire, 60: B60d, arXiv:0805.1325, Bibcode:2008arXiv0805.1325C, MR 2465405.
  11. ^ Stankova, Zvezdelina (1994), "Forbidden subsequences", Discrete Mathematics, 132 (1–3): 291–316, doi:10.1016/0012-365X(94)90242-9, MR 1297387.
  12. ^ Stankova, Zvezdelina; West, Julian (2002), "A New class of Wilf-Equivalent Permutations", Journal of Algebraic Combinatorics, 15 (3): 271–290, arXiv:math/0103152, doi:10.1023/A:1015016625432, MR 1900628, S2CID 13921676.
  13. ^ Backelin, Jörgen; West, Julian; Xin, Guoce (2007), "Wilf-equivalence for singleton classes", Advances in Applied Mathematics, 38 (2): 133–149, doi:10.1016/j.aam.2004.11.006, MR 2290807.
  14. ^ Bóna, Miklós (1997), "Exact enumeration of 1342-avoiding permutations: a close link with labeled trees and planar maps", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 80 (2): 257–272, arXiv:math/9702223, Bibcode:1997math......2223B, doi:10.1006/jcta.1997.2800, MR 1485138, S2CID 18352890.
  15. ^ Gessel, Ira M. (1990), "Symmetric functions and P-recursiveness", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 53 (2): 257–285, doi:10.1016/0097-3165(90)90060-A, MR 1041448.
  16. ^ Marcus, Adam; Tardos, Gábor (2004), "Excluded permutation matrices and the Stanley-Wilf conjecture", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 107 (1): 153–160, doi:10.1016/j.jcta.2004.04.002, MR 2063960.
  17. ^ Wilf, Herbert (2002), "Patterns of permutations", Discrete Mathematics, 257 (2): 575–583, doi:10.1016/S0012-365X(02)00515-0, MR 1935750.
  18. ^ Sagan, Bruce; Vatter, Vince (2006), "The Möbius function of a composition poset", Journal of Algebraic Combinatorics, 24 (2): 117–136, arXiv:math/0507485, doi:10.1007/s10801-006-0017-4, MR 2259013, S2CID 11283347.
  19. ^ Burstein, Alexander; Jelinek, Vit; Jelinkova, Eva; Steingrimsson, Einar (2011), "The Möbius function of separable and decomposable permutations", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 118 (1): 2346–2364, doi:10.1016/j.jcta.2011.06.002, MR 2834180, S2CID 13978488.
  20. ^ Brignall, Robert; Jelínek, Vit; Kynčl, Jan; Marchant, David (2019), "Zeros of the Möbius function of permutations" (PDF), Mathematika, 65 (4): 1074–1092, doi:10.1112/S0025579319000251, MR 3992365, S2CID 53366318
  21. ^ Marchant, David (2020), "2413-balloon permutations and the growth of the Möbius function", Electronic Journal of Combinatorics, 27 (1): P1.7, doi:10.37236/8554
  22. ^ Bose, Prosenjit; Buss, Jonathan F.; Lubiw, Anna (March 1998), "Pattern matching for permutations", Information Processing Letters, 65 (5): 277–283, doi:10.1016/S0020-0190(97)00209-3
  23. ^ Guillemot, Sylvain; Marx, Daniel (2014). "Finding small patterns in permutations in linear time". Proceedings of the Twenty-Fifth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms: 20. arXiv:1307.3073. doi:10.1137/1.9781611973402.7. ISBN 978-1-61197-338-9. S2CID 1846959.
  24. ^ Bruner, Marie-Louise; Lackner, Martin (2013), "The computational landscape of permutation patterns", Pure Mathematics and Applications, 24 (2): 83–101, arXiv:1301.0340, Bibcode:2013arXiv1301.0340B
  25. ^ Kubica, M.; Kulczyński, T.; Radoszewski, J.; Rytter, W.; Waleń, T. (2013), "A linear time algorithm for consecutive permutation pattern matching", Information Processing Letters, 113 (12): 430–433, doi:10.1016/j.ipl.2013.03.015
  26. ^ Guillemot, Sylvain; Vialette, Stéphane (2009), "Pattern matching for 321-avoiding permutations", Algorithms and Computation, Lecture Notes in Computer Science, vol. 5878, pp. 1064–1073, arXiv:1511.01770, doi:10.1007/978-3-642-10631-6_107
  27. ^ Albert, Michael; Lackner, Marie-Louise; Lackner, Martin; Vatter, Vincent (2016), "The complexity of pattern matching for 321-avoiding and skew-merged permutations", Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science, 18 (2), arXiv:1510.06051, Bibcode:2015arXiv151006051A
  28. ^ a b c Price, Alkes (1997), Packing densities of layered patterns, Ph.D. thesis, University of Pennsylvania.
  29. ^ Albert, Michael H.; Atkinson, M. D.; Handley, C. C.; Holton, D. A.; Stromquist, W. (2002), "On packing densities of permutations", Electronic Journal of Combinatorics, 9: Research article 5, 20 pp, doi:10.37236/1622, MR 1887086.
  30. ^ Presutti, Cathleen Battiste; Stromquist, Walter (2010), "Packing rates of measures and a conjecture for the packing density of 2413", in Linton, Steve; Ruškuc, Nik; Vatter, Vincent (eds.), Permutation Patterns, London Math. Soc. Lecture Notes, vol. 376, Cambridge University Press, pp. 287–316, doi:10.1017/CBO9780511902499.015.
  31. ^ Arratia, Richard (1999), "On the Stanley-Wilf conjecture for the number of permutations avoiding a given pattern", Electronic Journal of Combinatorics, 6: N1, doi:10.37236/1477, MR 1710623.
  32. ^ Engen, Michael; Vatter, Vincent (2021), "Containing all permutations", American Mathematical Monthly, 128 (1): 4–24, doi:10.1080/00029890.2021.1835384
  33. ^ Eriksson, Henrik; Eriksson, Kimmo; Linusson, Svante; Wästlund, Johan (2007), "Dense packing of patterns in a permutation", Annals of Combinatorics, 11 (3–4): 459–470, doi:10.1007/s00026-007-0329-7, MR 2376116, S2CID 2021533.
  34. ^ Babson, Erik; Steingrímsson, Einar (2000), "Generalized permutation patterns and a classification of the Mahonian statistics", Séminaire Lotharingien de Combinatoire, 44: Research article B44b, 18 pp, MR 1758852.
  35. ^ West, Julian (1993), "Sorting twice through a stack", Theoretical Computer Science, 117 (1–2): 303–313, doi:10.1016/0304-3975(93)90321-J, MR 1235186.
  36. ^ Bousquet-Mélou, Mireille; Butler, Steve (2007), "Forest-like permutations", Annals of Combinatorics, 11 (3–4): 335–354, arXiv:math/0603617, doi:10.1007/s00026-007-0322-1, MR 2376109, S2CID 31236417.

외부 링크

순열 패턴에 관한 회의는 2003년부터 매년 개최되어 왔다.

  1. 순열 패턴 2003년 2월 10일-14일 뉴질랜드 두네딘 오타고 대학
  2. 순열 패턴 2004, 2004년 7월 5일–9일, 캐나다 브리티시 컬럼비아 주, 나나미모, 말라스피나 대학교
  3. 2005년 3월 7일-11일 미국 플로리다 게인즈빌 플로리다 대학교 순열 패턴
  4. 2006년 6월 12일-16일 아이슬란드 레이캬비크 레이캬비크 대학교 순열 패턴
  5. 2007년 6월 11일-15일 세인트 대학교 순열 패턴 앤드류스, 세인트 앤드류스, 스코틀랜드
  6. 순열 패턴 2008년 6월 16일~20일 뉴질랜드 두네딘 오타고 대학교 순열 패턴
  7. 순열 패턴 2009년 7월 13-17일 이탈리아 피렌체 피렌체 주 피렌체 대학
  8. 2010년 8월 9일-13일 미국 뉴햄프셔 주 하노버 다트머스 대학교 순열 패턴
  9. 순열 패턴 2011년 6월 20일–24일, 미국 캘리포니아 주 산 루이스 오비스포 캘리포니아 폴리테크닉 주립 대학교.
  10. 2012년 6월 11일-15일 스코틀랜드 글래스고 스트래스클라이드 대학교 순열 패턴
  11. 2013년 7월 1일부터 5일까지 프랑스 파리 디데롯 유니버설 순열 패턴.
  12. 2014년 7월 7일–11일, 미국 테네시 주 존슨 시티의 이스트 테네시 주립 대학교 순열 패턴
  13. 2015년 6월 15~19일 영국 런던의 드 모건 하우스 순열 패턴
  14. 2016년 6월 27일 ~ 7월 1일, 미국 워싱턴 DC 하워드 대학교 순열 패턴
  15. 2017년 6월 26~30일 아이슬란드 레이캬비크 레이캬비크 대학교 순열 패턴
  16. 순열 패턴 2018년 7월 9일-13일 미국 뉴햄프셔 하노버 다트머스 칼리지
  17. 순열 패턴 2019년 6월 17일–21일, 스위스 취리히의 우니베르시테트 주리히.
  18. 미국 인디애나 주 발파라이소 발파라이소 대학교 주최로 2020년 6월 30일~7월 1일 순열 패턴 2020 가상 워크샵
  19. 순열 패턴 2021년 6월 15일-16일 스코틀랜드 글래스고 스트래스클라이드 대학이 주최하는 가상 워크샵.

미국수학회는 다음 회의에서 순열 패턴에 관한 특별 세션이 개최되었다.

기타 순서 패턴 미팅:

기타 링크: