전체 확률의 법칙

통계에 대한 시리즈 일부
확률론
확률 공리 결정론 시스템 인디테르민주의 무작위성
확률공간 샘플 공간 이벤트 총체적으로 철저한 사건들 초등 이벤트 상호배타성 결과 싱글턴 실험 베르누이 재판 확률분포 베르누이 분포 이항 분포 정규 분포 확률측도 변량변수 베르누이 과정 연속 또는 이산형 기대값 마르코프 체인 관측치 무작위 보행 확률적 과정
보완적 사건 관절확률 한계 확률 조건부 확률
독립 조건부 독립성 전체 확률의 법칙 대수의 법칙 베이즈 정리 부울의 부등식
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확률론에서 총 확률의 법칙(또는 공식)은 한계 확률과 조건부 확률을 연관시키는 기본적인 규칙이다. 그것은 몇 가지 뚜렷한 사건을 통해 실현될 수 있는 결과의 총 확률을 표현한다.

성명서

총확률의 법칙은${\displaystyle }$그 이산적인 경우에 {${\displaystyle \mathrm{Bn}{}_{}}$: n${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$, ${\$라고 명기하는 정리다^[1].$B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}}}$은(는) 샘플 공간의 유한 또는 카운트다운 무한 파티션이며(즉, 결합이 전체 샘플 공간인 쌍방향 분리 이벤트 집합) 각 이벤트 ${\displaystyle {Bn}_{}}$ ${\$을(를) 측정할 수 있으며, 다음, 동일한 확률 공간의 모든$$ 이벤트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystystyty A}$에 대해 다음을 측정할 수 있다.

${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})}$

또는, 또는, 또는,^[1]

${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n}P(B_{n}),}$

$여기$서, $P{\displaystyle ({}_{}{n}_{}}$) = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle P(B_{n}}=0}$인 n$${\$displaystyle$ ${\displaystyle n_{}}$에 대해$,$P ($A\mid B_{n})$는 유한하기$$ 때문에 이 용어들은$$ 합계에서 생략된다.

합계는 가중 평균으로 해석될 수 있으며, 결과적으로 한계 확률인 $P{\displaystyle }$( $){\displaystyle P(A)}$를 $"$평균 확률"^[2]이라고 부르기도 하며, "전체 확률"은 덜 형식적인 글에서 사용되기도 한다.^[3]

총 확률의 법칙은 조건부 확률에 대해서도 명시될 수 있다.

${\displaystyle P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C\cap B_{n}P(B_{n}\mid C)}}$

$위$에서와 같이$$$$ {\$displaystyle$ B_${n}$를 취하고 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) ${\displaystyle {Bn}_{}}$ ${\$ 중 어느 것과도 독립된 이벤트라고$$ 가정하면 $:$

${\displaystyle P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C\cap B_{n}P(B_{n})}}$

비공식적 공식

위의 수학적 진술은 다음과 같이 해석될 수 있다: 알려진 조건부 확률을 가진 사건 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 각각 알려진 ${\displaystyle {Bn}_{}}$ ${\$ 사건$$ 중 하나와 발생 확률 자체를 가진 사건에서,$$A {\$displaystytle$A}이($)$ 발생할 총 확률은 얼마인가? 이 질문에 대한 답은 $P{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle P(A)}$에 의해 주어진다$.$

연속 케이스

총 확률의 법칙은 연속 랜덤 변수에 의해 생성된 사건에 대한 조건화 사례로 확장된다. Let${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle (\Oomega ,{\mathcal{F},P)}$은 확률공간이다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $분포함수{\displaystyle {}_{}}$ F ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle F_${${\displaystyle X}$$}$및 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 이벤트가$$ $({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, F${\displaystyle }$, ${\displaystyle P\mathcal{}}$) ${\displaystyle(\Oomega ,{\mathcal {F},P)$에 있는 랜덤 변수라고$$ 가정합시다$.$ 그러면 총 확률 상태의 법칙

${\displaystyle P(A)=\int _{-\infit }^{\infit }P(A X=x)dF_{X}(x).}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) ${\displaystyle {밀도함수}_{}}$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\$을(를) 승인하면$$ 결과는 다음과 같다$.$

${\displaystyle P(A)=\int _{-\infit }^{\p(A X=x)f_{X}(x)dx.}$

더욱이 $A{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ A$=\{{.$$Y{\displaystyle }$$\in$B$\},$ $여기$서 B {\displaystyle $B}$은(는) 보렐 집합이며, 그러면 이 결과가 나온다.

${\displaystyle P(Y\in B)=\int _{-\infit }^{\inpy }P(Y\in B X=x)f_{X}(x)dx.}$

예

두 공장이 시장에 전구를 공급한다고 가정해 보자. 공장 X의 전구는 케이스의 99%에서 5000시간 이상 작동하는 반면 공장 Y의 전구는 케이스의 95%에서 5000시간 이상 작동한다. 공장 X는 전체 전구의 60%를 공급하고 Y는 전체 전구의 40%를 공급하는 것으로 알려졌다. 구입한 전구가 5000시간 이상 작동할 가능성은?

총 확률의 법칙을 적용하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin}P(A)&=P(A\mid B_{X})\cdot P(B_{X})+P(A\mid B_{{}){{{{}}}}}}Y}\cdot P(B_{Y}\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={594+380}} \over 1000}={974 \over 1000}\end{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

어디에

• ${\displaystyle P({}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$)${\displaystyle }$= 6 ${\displaystyle \frac{10}{}}$ ${\$은 구입한 전구가 X 공장에서 제조되었을 확률이다$$.
• ${\displaystyle P({}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$)${\displaystyle }$= 4 ${\displaystyle \frac{10}{}}$ ${\$은 구입한$$ 전구가 Y공장에 의해 제조되었을 확률이다.
• ${\displaystyle P(A}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{99}{}}$ ${\displaystyle \frac{100}{}}$ ${\$ 100$}}}$은 X가 제조한 전구가 5000시간 이상 작동할 확률이다$$.
• ${\$$Y}={95 \100}}$Y가 제조한 전구가 5000시간 이상 작동할 확률이다$$.

따라서 구입한 각 전구는 5000시간 이상 작업할 확률이 97.4%이다.

기타 이름

총 확률의 법칙이라는 용어는 때때로 대체 확률의 법칙을 의미하는데, 이것은 이산형 랜덤 변수에 적용되는 총 확률의 법칙의 특별한 경우다.^{[citation needed]} 한 저자는 '평균 조건부 확률의 법칙'^[4]이라는 용어를 사용하는 반면, 또 다른 저자는 연속적인 사례에서 '대안의 연속적 법칙'이라고 언급한다.^[5] 이 결과는 그림메트와 웨일스가^[6] 칸막이 정리로서 부여한 것으로, 총체적 기대의 관련 법칙에도 부여한 이름이다.

참고 항목

• 총기대 법칙
• 총분산 법칙
• 총공분산 법칙
• 총적립의 법칙
• 한계분포

메모들

참조

• 로버트 J. 비버의 확률과 통계 소개, 바바라 M. 비버, 톰슨 브룩스/콜, 2005년 페이지 159.
• 통계학 이론, 1995년 스프링거, Mark J. Schhervish에 의해.
• John J. Schiller, Symour Lipschutz, McGrow-Hill Professional, 2010, 89페이지의 Schaum의 확률 개요, Second Edition.
• H. C.에 의한 확률론적 모델에서의 첫 코스 Tijms, John Wiley and Sons, 2003, 페이지 431–432.
• Alan Gut, Springer, 1995년에 출판된 확률의 중간 과정 5-6페이지.