샘플 공간

확률론에서, 실험이나 무작위 실험의 표본 공간(표본 설명^[1] 공간 또는 가능^[2] 공간이라고도 함)은 그 실험의 가능한 모든 결과나 결과의 집합이다.^[3] 표본 공간은 일반적으로 집합 표기법을 사용하여 표시되며, 가능한 순서 결과 또는 표본 점들이 집합의 요소로 나열된다.^[4] S, Ω 또는 U("범용 세트"의 경우) 라벨로 샘플 공간을 참조하는 것이 일반적이다. 표본 공간의 요소는 숫자, 단어, 문자 또는 기호일 수 있다. 그것들은 또한 유한할 수도 있고, 셀 수 없이 무한할 수도 있고, 셀 수 없이 무한할 수도 있다.^[5]

샘플 공간의 하위 집합은 $E$ $E$ 이(가) 나타내는 사건이다 $E$ 실험 결과가 $E$ $E$ 에 포함되면 $E$ $E$ 이(가 $E$ 발생한 것이다 $E$ .^[6]

예를 들어, 실험이 단일 코인을 던지는 경우 샘플 공간은 세트 $\{H,T\}$ , $\{H,T\}$ $\{H,T\}$ $\{H,T\$ 이며 $\{H,T\}$ 여기서 결과 $H$ $H$ 은 코인이 헤드였다는 것을 의미하고 $H$ $결과$ T ${\displaystytle T}$ 은 코인이 꼬리였음을 의미한다 $T$ .^[7] 가능한 이벤트는 $E=\{H\}$ = $E=\{H\}$ { $E=\{H\}$ $E=\{H\}$ ${\displaystyle$ E $=\{$ $E=\{T\}$ $\}}$ 및 $E=\{H\}$ $E=\{T\}$ = { T $E=\{T\}$ ${\displaystyle E=\{$ 두 동전 던지는 동안 T\}}.[8], 표본 공간은{HH, HT, TH, TT}{\displaystyle\와 같이{HH,HT,TH,TT\}}, 그 결과는 HH{HH\displaystyle}가 모두 동전이 이냐 머리, HT{HT\displaystyle}, 첫번째 동전은 머리와 둘째는 꼬리, TH{TH\displaystyle}최초의 동전은 꼬리와 그초.ond 두 동전이 모두 꼬리일 경우 $TT$ 헤드, $그리고$ $T$ T $TT$ 이다.^[8]

6면 다이 하나를 던지는 경우, 관심의 결과는 위를 향한 핍의 수입니다. 샘플 공간은 $\{1,2,3,4,5,6\}$ { $\{1,2,3,4,5,6\}$ $\{1,2,3,4,5,6\}$ , $\{1,2,3,4,5,6\}$ , $\{1,2,3,4,5,6\}$ , $\{1,2,3,4,5,6\}$ 5, $\{1,2,3,4,5,6\}$ ${\displaystyle \{1,$ 2,3 $,4,5,6$ \}}}{1,2,4,6 $,}$ 입니다 $\{1,2,3,4,5,6\}$ ^[9]

잘 정의되고 비어 있지 않은 샘플 공간 $S$ $S$ 은 확률론적 모델(확률 공간)의 세 가지 성분 중 하나이다 $S$ . 다른 두 가지 기본 요소는 잘 정의된 이벤트 집합(사건 공간)으로, $S$ 으로 S ${\displaystyle$ S $}$ 이(가) 이산형일 $S$ $S$ S ${\displaystyle$ $S$ $}$ 의 전원 집합 또는 연속형일 경우 $S$ S ${\displaysty S}$ 의 σ-algebra와 각 사건에 할당된 확률(확률 측정 함수)이다.^[10]

유한 표본 공간 및 사건의 시각적 표현. 빨간 타원은 숫자가 홀수인 사건이고, 파란 타원은 숫자가 프라임인 사건이다.

표본 공간은 직사각형으로 시각적으로 표현될 수 있으며, 표본 공간의 결과는 직사각형 내의 점으로 표시된다. 이벤트는 타원 안에 둘러싸인 포인트가 이벤트를 구성하는 난원으로 나타낼 수 있다.^[11]

샘플 공간의 조건

A set $\Omega$ with outcomes $s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}$ (i.e. $\Omega =\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}\}$ ) must meet some conditions in order to be a sample space:^[12]

결과는 상호 배타적이어야 한다. 즉, $s_{j}$ $s_{j}$ ${\$ 가 발생하면 $s_{j}$ 다른 $s_{i}$ i ${\$ 가 발생하지 않는다 $s_{i}$ . $\forall i,j=1,2,\ldots ,n\quad i\neq j$ i $\forall i,j=1,2,\ldots ,n\quad i\neq j$ $\forall i,j=1,2,\ldots ,n\quad i\neq j$ = $\forall i,j=1,2,\ldots ,n\quad i\neq j$ , $2$ , $\forall i,j=1,2,\ldots ,n\quad i\neq j$ $\forall i,j=1,2,\ldots ,n\quad i\neq j$ $\forall i,j=1,2,\ldots ,n\quad i\neq j$ j ${\displaystyle \all i,j=1$ , 2 $,\ldots,n\quad ineq$ ^[5]
결과는 총체적으로 완전해야 한다. 즉, 모든 실험(또는 무작위 시험)에서 $i\in \{1,2,\ldots ,n\}$ i $i\in \{1,2,\ldots ,n\}$ $s_{i}\in \Omega$ $i\in \{1,2,\ldots ,n\}$ $s_{i}\in \Omega$ ${\displaystyle s_{i}\in$ \ $i\in \{1,2,\ldots ,n\}$ in $\{1,2,\dots \}$ 에 $s_{i}\in \Omega$ 대해 $\$ $Oomega$ $s_{i}\in \Omega$ }}의 일부 결과가 발생한다 $i\in \{1,2,\ldots ,n\}$ ^[5]
샘플 공간( $\Omega$ $\Oomega$ )은 실험자가 관심 있는 것에 따라 적절한 세분성을 가져야 한다. 샘플 공간에서 관련 없는 정보를 제거하고 올바른 추상화를 선택해야 한다.

예를 들어 동전 던지기 시험에서 가능한 샘플 공간은 $\Omega _{1}=\{H,T\}$ = $\Omega _{1}=\{H,T\}$ { $\Omega _{1}=\{H,T\}$ , $\Omega _{1}=\{H,T\}$ $\Omega _{1}=\{H,T\}$ $\Oomega _{1}=\{H,T\}$ 이며 $\Omega _{1}=\{H,T\}$ $H$ 서 H $H$ 은 $H$ 동전이 헤드를 내리고 $T$ ${\displaystytle$ T $}$ 은 꼬리에 대한 $T$ 결과물이다. Another possible sample space could be $\Omega _{2}=\{(H,R),(H,NR),(T,R),(T,NR)\}$ . Here, $R$ denotes a rainy day and $NR$ is a day where it is not raining. 대부분의 실험에서 $\Omega _{1}$ $\Omega _{1}$ ${\$ }는 $\Omega _{1}$ $\Omega _{2}$ 2 ${\$ }보다 더 나은 선택이 $\Omega _{1}$ 될 것이다 $\Omega _{2}$

여러 표본 공간

많은 실험의 경우, 실험자가 관심을 갖는 결과에 따라 둘 이상의 타당한 표본 공간이 있을 수 있다. 예를 들어 52개의 플레이카드로 된 표준 데크에서 카드를 그릴 때 샘플 공간의 한 가지 가능성은 다양한 순위(에이스 투 킹)일 수 있고, 다른 한 가지는 슈트(클럽, 다이아몬드, 하트 또는 스페이드)일 수 있다.^[3]^[13] 그러나 결과에 대한 보다 완전한 설명은 교단과 슈트 모두를 명시할 수 있으며, 각 개별 카드를 설명하는 샘플 공간을 위에서 언급한 두 표본 공간의 데카르트 제품으로 구성할 수 있다(이 공간은 52개의 가능한 결과를 동등하게 포함할 수 있다). 그러나 흔들 때 일부 카드가 뒤집혔을 경우 오른쪽 위나 위와 같은 다른 샘플 공간도 가능하다.

동일한 가능성 있는 결과

동전을 뒤집으면 거의 똑같이 일어날 수 있는 두 가지 결과로 구성된 표본 공간이 생긴다.

올라가요? 아니면 내려가요? 놋쇠 태크를 뒤집으면 똑같이 가능성이 없는 두 가지 결과로 구성된 표본 공간이 생긴다.

확률의 일부 치료에서는 실험의 다양한 결과가 항상 동등하게 정의된다고 가정한다.^[14] N{N\displaystyle}는 똑같이 가능성 있는 결과가 나타나는 어떤 표본 공간에 대하여, 각 결과는 확률 1N{\displaystyle{\frac{1}{N}배정된다}}.[15] 하지만, 있습니다 실험이 아닌 쉽게 설명된 표본 공간의 동등하게 있음직한outcomes—for 예를 들어, 하나를 던지다 제도용 압핀. 시간도 많고 관찰하 whe.그r 그것은 그것의 점을 위아래로 하여 착지했고, 두 결과가 똑같이 가능성이 있어야 한다는 것을 암시하는 물리적 대칭성은 없다.^[16]

대부분의 무작위 현상이 동일하게 가능한 결과를 가지고 있지는 않지만, 이 조건은 표본 공간 내의 사건에 대한 확률 계산을 상당히 단순화하므로 최소한 결과가 거의 동일하게 되도록 표본 공간을 정의하는 것이 도움이 될 수 있다. 각 개별 결과가 동일한 확률로 발생하는 경우, 어떤 사건의 확률은 단순하게 다음과 같이 된다.^[17]^{: 346–347}

\mathrm{P}({\text{event}})={\frac {\text}사건의 결과 수{number of eventures in event}{\text}{\text}}}}}}}}}}

예를 들어, 균일하게 분포된 두 정수인 $D_{1}$ 1 {\ $displaystyle D_{1}$ 및 $D_{1}$ $D_{2}$ $D_{2}$ ${\$ }}개의 $D_{2}$ 공정한 6면 주사위를 던져 각각 1 ~ 6의 범위에서 생성한다면, 36쌍의 가능한 결과 쌍 $(D_{1},D_{2})$ $(D_{1},D_{2})$ , $(D_{1},D_{2})$ D $(D_{1},D_{2})$ ) ${\displaystyle (D_{1},D_{2})$ 이 샘플 공간을 구성한다 $(D_{1},D_{2})$ . 일어날 수 있는 모든 사건들 중 하나, 둘, 둘, 셋, 넷 이 경우 결과에서 두 롤의 특정 합계의 확률을 계산하는 것과 같이 위의 공식이 적용된다. $D_{1}+D_{2}$ D 1 + D $D_{1}+D_{2}$ ${\$ }}의 합이 ${\frac {4}{36}}$ 확률은 ${\frac {4}{36}}$ ${\$ 이며 ${\frac {4}{36}}$ 36개 결과 중 4개는 5개일 가능성이 동일하기 때문이다.

표본 공간이 6면 주사위 두 개를 굴려서 얻을 수 있는 모든 합이었다면, 위의 공식은 주사위 굴림이 공정하기 때문에 여전히 적용될 수 있지만, 주어진 사건의 결과 수는 다를 것이다. A sum of two can occur with the outcome $\{(1,1)\}$ , so the probability is ${\frac {1}{36}}$ . For a sum of seven, the outcomes in the event are $\{(1,6),(6,1),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3)\}$ , 따라서 확률은 6 ${\frac {6}{36}}$ ${\$ 입니다 ${\frac {6}{36}}$ ^[18]

단순 랜덤 표본

통계에서, 모집단 개인의 표본을 연구함으로써 모집단의 특성에 대해 추론을 한다. 모집단의 실제 특성에 대한 편향되지 않은 추정치를 제시하는 표본에 도달하기 위해 통계학자들은 종종 단순한 무작위 표본, 즉 모집단의 모든 개인이 동등하게 포함될 가능성이 있는 표본에 대해 연구하려고 한다.^[17]^{: 274–275} 그 결과, 표본으로 선택될 수 있는 개인들의 모든 가능한 조합은 선택한 표본이 될 수 있는 동등한 기회를 갖는다(즉, 주어진 모집단에서 주어진 크기의 단순 무작위 표본의 공간은 동일한 가능한 결과로 구성된다).^[19]

무한히 큰 표본 공간

확률에 대한 기본적인 접근법에서는 표본 공간의 어떤 부분집합을 보통 사건이라고 부른다.^[8] 그러나 이는 표본 공간이 연속적일 때 문제를 일으키므로 사건의 보다 정확한 정의가 필요하다. 이 정의에 따르면 샘플 공간 자체에 대한 al-알지브라(algebra)를 구성하는 샘플 공간의 측정 가능한 하위 집합만 이벤트로 간주된다.

무한히 큰 표본 공간의 예는 전구의 수명을 측정하는 것이다. 해당 샘플 공간은 $[0, \infty]$ ^[8]이 될 것이다.

참고 항목

참조

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외부 링크

Wikimedia Commons의 샘플 공간과 관련된 미디어

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