르캄의 정리

확률론에서 루시엔 르캠(1924년–2000년)의 이름을 딴 르캠의 정리에는 다음과 같은 내용이 나온다.^[1][2][3]

다음과 같이 가정하십시오.

• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$은(는) 각각 베르누이 분포(즉, 0 또는 1과 같음)를 갖는 독립 랜덤 변수로서, 반드시 동일한 분포가 아니다.
• ${\displaystyle \Pr(X_{i}=1)=p_{i},{\text{{}{{}}}}{}i=1,2,3,\ldots .}$
• ${\displaystyle \lambda _{n}=p_{1}+\cdots +p_{n}.}$
• ${\displaystyle {Sn}_{}}$= ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}}($$예{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle S_{}}$ n ${\$는 포아송 이항 분포를 따른다$$.

그러면

${\displaystyle \sum \{k=0}^{\infit }\왼쪽 \Pr(S_{n}=k)-{n}^{n}^{n}e^{-\lambda_{n}} \cover k!}\오른쪽 <2\왼쪽(\sum _{i=1}^{np_{i}^{2}\오른쪽).}$

즉, 합계는 대략 포아송 분포를 가지며 위의 불평등은 총 변동 거리 측면에서 근사 오차를 제한한다.

p_i = λ_n/n을 설정함으로써 이것이 일반적인 포아송 한계 정리를 일반화한다는 것을 알 수 있다.

When ${\displaystyle \lambda _{n}}$ is large a better bound is possible: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left \Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!$$}\\오른쪽 <2\왼쪽(1\cHB {1}{\frac {1}{\1}{n}\오른쪽)\왼쪽(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}\오른쪽).$$}$ ^[4]

독립성 요건을 약화시키는 것도 가능하다.^[4]

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Le Cam's Inequality". MathWorld.