레전드레의 3제곱 정리

Legendre's three-square theorem

수학에서 레전드레의 3제곱 정리에서는 자연수가 정수 3제곱의 합으로 나타낼 수 있다고 기술하고 있다.

이 n= (8 + ){\) 형식이 아닌 경우에만 음이 아닌 정수 a와 b

세 개의 제곱의 합으로 표현할 수 없는 첫 번째 숫자(, n= 4 ( b+ ) 는 다음과 같다

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71 … (시퀀스 A004215 in OEIS).

역사

피에르 드 페르마트는 8a + 1과 8a + 3 형식의 숫자에 대한 기준을 정사각형 + 다른 정사각형 두 배의 합으로 제시했지만 증거를 제시하지는 않았다.[1]N. 베겔린은 1774년에[2] 8n + 7 형식도 아니고 4n 형식도 아닌 모든 양의 정수가 세 칸의 합이라는 것을 알아차렸으나 만족할 만한 증거를 제공하지 못했다.[3]1796년 가우스는 그의 유레카 정리를 증명했다. 모든 양의 정수 n은 3개의 삼각형 숫자의 합이다; 이것은 8n + 3이 3개의 제곱의 합이라는 사실과 같다.1797년 또는 1798년 A.-M. 레전드르는 그의 3제곱 정리의 첫 번째 증거를 얻었다.[4]1813년, A. L. Cauchy는 레전드레의 정리가 위의 서론에서의 진술과 동등하다는 점에[5] 주목했다.이전까지 1801년 C. F. 가우스는 레전드레의 정리인 1797–8을 코롤리로 수록하여 보다 일반적인 결과를 얻었다.[6]특히 가우스는 정수표현의 해답의 수를 세 칸의 합으로 세었고,[7] 이는 증거가 불완전한 레전드레의 또 다른 결과를 일반화한 것이다.이 마지막 사실은 3제곱 정리에 대한 레전드레의 증거가 결함이 있어서 가우스에 의해 완성되어야 했던 것에 따라 나중에 부정확한 주장을 하는 원인으로 보인다.[8]

라그랑주의 4제곱 정리와 지라드, 페르마, 오일러의 2제곱 정리로 k = 2에 대한 워링의 문제는 완전히 해결된다.

교정쇄

정리의 " only if"는 단순히 modulo 8, 모든 정사각형이 0, 1 또는 4로 일치하기 때문이다.(레전드레의 증거 외에) 그 반전에 대한 몇 가지 증거가 있다.그 중 하나는 1850년 J. P. G. L. Dirichlet의 덕택으로, 고전적이 되었다.[9]다음과 같은 세 가지 주요 레마가 필요하다.

4제곱 정리와의 관계

이 정리는 모든 자연수를 4제곱의 합으로 쓸 수 있다는 것을 명기한 라그랑주의 4제곱 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다.가우스는[10] 4로 나누지 않는 모든 양의 정수를 0이나 1을 빼면 이 형태로 줄일 수 있기 때문에 1이나 2모드 4인 어떤 양의 정수가 3 제곱의 합이라는 사실에서 4제곱 정리가 쉽게 따른다고 지적했다.그러나 3제곱의 정리를 증명하는 것은 3제곱의 정리를 사용하지 않는 4제곱의 정리에 대한 직접적인 증명보다 상당히 어렵다.실제로, 4제곱의 정리는 1770년에 앞서 증명되었다.

참고 항목

메모들

  1. ^ "Fermat to Pascal" (PDF). September 25, 1654. Archived (PDF) from the original on July 5, 2017.
  2. ^ 누보 메무아르 드 l'Academie de Berlin(1774, public. 1776), 페이지 313–369.
  3. ^ 레오나드 유진 딕슨, 숫자 이론의 역사, vol.II, 페이지 15(Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Public, 1992, 재인쇄).
  4. ^ A.-M. 레전드르, 에사이 수르 라 테오리 데 유목민, 파리, 안 6세(1797–1798) 페이지 202 및 페이지 398–399.
  5. ^ A. L. Cauchy, Mem. Sci. 수학. 체육. 프랑스, (1) 14 (1813–1815), 177.
  6. ^ C. F. Gauss, Discquisitiones Mathetae, Art. 291 et 292.
  7. ^ A.-M. 레전드레, 히스. et Mem. 아카드, 로이, 공상과학. 1785년 파리, 페이지 514–515.
  8. ^ 예를 들어 다음을 참조하십시오.엘레나 데자와 엠 데자숫자를 그려라.월드 사이언티픽 2011, 페이지 314 [1]
  9. ^ 예시 vol을 참조하십시오.I, 파트 I, II, III of : E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheori, New York, Chelsea, 1927.제이콥 E가 영어로 번역한 두 번째 판.Goodman, Providence RH, Chelsea, 1958.
  10. ^ Gauss, Carl Friedrich (1965), Disquisitiones Arithmeticae, Yale University Press, p. 342, section 293, ISBN 0-300-09473-6