레머-슈르 알고리즘

수학에서 Lehmer-Schur 알고리즘(Derrick Henry Lehmer와 Issai Schur의 이름을 따서 명명)은 복잡한 다항식의 뿌리 찾기 알고리즘으로, 1차원 이항법에서처럼 뿌리를 감싸는 사상을 복잡한 평면으로 확장한다.그것은 뿌리의 유무에 대해 점점 더 작은 디스크들을 테스트하기 위해 슈르-콘 테스트를 사용한다.

슈르-콘 알고리즘

이 알고리즘은 복잡한 평면에서 단위 원과 관련하여 복잡한 다항식의 뿌리의 분포를 찾을 수 있도록 한다.^[1][2][3]슈르가 소개한 두 개의 보조 다항식을 기초로 한다.^[4]

For a complex polynomial ${\displaystyle p}$ of degree ${\displaystyle n}$ its reciprocal adjoint polynomial ${\displaystyle p^{*}}$ is defined by ${\displaystyle p^{*}(z)=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}}$ and its Schur Transform ${\displaysty$$다음$에 의해$$ $tp}$

${\displaystyle Tp={\overline {p(0)}p-{\overline {p^{*}(0)}}}$

여기서 막대는 복잡한 결합을 나타낸다.

So, if ${\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}$ with ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$, then ${\displaystyle p^{*}(z)={\bar {a}}_{0}z^{n}+{\bar {a}}_{1}z^{n-1}+\cdots$$+{\bar{a}_{n$ 선행 제로-트리징이 있는 경우 제거됨.$따라서{\displaystyle }$ T ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Tp}$의 계수는 p ${\displaystyle p}$의 계수로 직접 표현할 수 있으며$$$$, 하나 이상의 선행 계수가 취소되기 때문에 ${\displaystyle T}$ p ${\displaystytle Tp}$이(가$)$ p {\$displaystytle$ p$}$보다 낮은 정도를 갖는다$$$.$$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p$ $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ p$^{*},$$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Tp}$의 뿌리는 다음과$$ 같다.

보조정리

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 복합 다항식이고 $\Delta {\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{T}}$ p${\displaystyle }$)${\displaystyle }$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \delta$ = $(Tp)(0$ .

• $∗{\$의 뿌리는 그 다중성을 포함하여 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 0이 아닌 뿌리의 단위 원 안에 반전되어 있는 이미지들이다$.$
• $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta \neq$ 0$\},$ $p{\displaystyle }$, ${\displaystyle p{}^{}}$ , p ,p ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$${\displaystyle T}$ p ${\displaystyTp}$이(가) 단위 원 위에 그 곱을$$ 포함하여 뿌리를 나눈다.
• > ${\displaystyle \delta >0$인 경우 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$과 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Tp}$은(는) 단위 원 내부에 동일한 수의 루트를 가진다$$.
• < ${\displaystyle \delta <0$ $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ p$^{*}},$ $T$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyTp}$은(는) 단위 원 내부에 동일한 수의 루트를 가진다$$.

증명

For ${\displaystyle z\neq 0}$ we have ${\displaystyle p^{*}(z)=z^{n}{\overline {p(z/ z ^{2})}}}$ and, in particular, ${\displaystyle p^{*}(z) = p(z) }$ for ${\displaystyle z =1}$. Also ${\displ$$aystyle \delta \neq$ 0$}$은(는) p${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle p{}^{}}$ (${\displaystyle 0}$ )${\displaystyle }${\$displaystyle$p ($0) \neq$ p$^{*}}}}}}}$을(를) 암시한다$.$ 이것과 처음 두 문장의 위의 정의는 다음과 같다.The other two statements are a consequence of Rouché's theorem applied on the unit circle to the functions ${\displaystyle {\overline {p(0)}}p(z)/r(z)}$ and ${\displaystyle -{\overline {p^{*}(0)}}p^{*}(z)/r(z)}$ , where ${\displaystyle r}$ is 동일한 승수를 갖는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 뿌리를 단위 원 위에$$ 뿌리로 하는 다항식이다.□

좀 더 접근하기 쉬운 보조정리 표시를 위해, ${\displaystyle n_{}^{}}$p${\displaystyle {}_{}^{}}$- , ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 0$${\$displaystyle n_{p}^{$0}, ${\displaystyle {n\_}_{}^{}}$${p}^{0$ $n{\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\$ $n_$${p}^{+}}}}$은(는) 장치 원 안$$, 위 및 외부에 각각 $p{\displaystyle }$${\displaystylease Tp}$의 루트 수를 나타낸다$$$.$${\displaystyle d}$ be the difference in degree of ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle Tp}$. Then the lemma implies that ${\displaystyle (n_{p}^{-},\;n_{p}^{0},\;n_{p}^{+})=(n_{Tp}^{-},\;n_{Tp}^{0},\;n_{Tp}^{+}+$D)}만약δ>0{\displaystyle \delta>0}과(np−, np0, np+))(nTp++d, Tp0n, nTp−){\displaystyle(n_{p}^{-},\, n_{p}^{0}일 경우 ,\, n_{p}^{+})=(n_{Tp}^{+}+d,\, n_{Tp}^{0}일 경우 ,\, n_{Tp}^{-})}만약δ<0{\displaystyle \delta<0}(+의 교환. {\displayst$yle$ $^{+}$ 및${\displaystyle {}^{}}$- ${\$

Now consider the sequence of polynomials ${\displaystyle T^{k}p}$ ${\displaystyle (k=0,1,\ldots )}$, where ${\displaystyle T^{0}p=p}$ and ${\displaystyle T^{k+1}p=T(T^{k}p)}$. Application of the foregoing to each pair of consecutive members of this sequence는 다음과 같은 결과를 준다.

정리[슈르-콘 테스트]

Let ${\displaystyle p}$ be a complex polynomial with ${\displaystyle Tp\neq 0}$ and let ${\displaystyle K}$ be the smallest number such that ${\displaystyle T^{K+1}p=0}$. Moreover let ${\displaystyle \delta _{k}=(T^{k}p)(0)}$ for ${\displays$$tyle k=1,\ldots,K}$ 및$$ d ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$ T ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d_{k}=\deg T^{k}p}$의 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,\dots ,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaysty k=0,\ldots,$ K$\}.$

• $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 모든 루트는 다음과 같은 경우에만 장치 원 안에 있다$$.

< $0{\displaystyle }$ $[\displaystyle \delta _{1},$ k> 0 $[\displaystyle \delta _{K}],$ ${\displaystyle \mathrm{k<img\; alt="\backslash delta\; \_\{k\}>0"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/413fe70ec753be33ebe5a0f1ac67d1cee38ccbbe"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:6.382ex;\; height:2.676ex;"\; papago-attr-id="175">}}$= ${\displaystyle 2}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle \dots ,}$ K ${\displaysty k=2,\$${\displaystyle {ldots}_{}}$$, K},$d${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystystystyled_d_d_{K$

• $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 모든 루트는 다음과 같은 경우에만 장치 원 외부에 있음$$

> [\$displaystyle \delta _{k}}$${\displaystyle 0}$$}$ $for$ k${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}$ K ${\displaystyle k=1,\ldots, K}$ 및$$ d ${\displaystyle K_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle d_{K}=0}$.

• 만약 dK=0{\displaystyle d_{K}=0}그리고 만약δ k<0{\displaystyle \delta_{k}<. 0}일 경우 k=k0, k1. 깨지km{\displaystyle k=k_{0},k_{1}\ldots k_{m}}(증가하고 순서대로)과δ k>;0{\displaystyle \delta_{k}>. 0}일 경우 그렇지 않으면, 그때 p{p\displaystyle}단위 cir에 뿌리를 두고 있다.역사적과단위 원 안에$$ $있는{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$의 루트 수는

${\displaystyle \sum _{}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \mathrm{0m}\underset{}{\overset{}{}}}$(${\displaystyle }$-${\displaystyle {}^{}}$1 ) ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {d{}_{}\mathrm{k}}_{}}$ i - 1 ${\$k_${i$}-$1$

보다 일반적으로 복합 평면의 임의 원과 관련하여$$ 다항식 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 뿌리 분포는 중심 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ 및 반지름$$ $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho$ $\}$을(를) 가진 다항식 $q{\displaystyle }$ ${\displaysty$)에 대한 Schur-Chn 테스트를 적용하면 알 수 있다.${\displaystyle q}$ (${\displaystyle )}$= ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle c}$+ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle q(z)=p(c+\rho \,z)}$에 의해 정의된$$ $q}$ $.$

그러나 Schur-Cohn 테스트에 대해 모든 스케일링 계수가 허용되는 것은 아니지만, 다음 동일성이 발생하지 않는 경우에만$$ 다항식 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에 적용할 수 있다.ρ{\displaystyle \rho의 Tk일부 k((0))0{\displaystyle T^{km그리고 4.9초 만}(0)=0})1, 쭉 펼쳐져 K{\displaystyle k=1,\ldots K}나 TK+1q=0{\displaystyle T^{K+1}q=0}는 동안 dK>0{\displaystyle d_{K}>0}. 이제, 다항식 Tk의 계수({\displaystyle T^{km그리고 4.9초 만}q}은 다항식.$}}$과(와) 동일한 값은 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$에 대한 다항식 방정식으로 나타나므로$$$\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$의 값만 정밀하게 유지되므로 적절한 스케일링 계수를 항상 찾을 수 있으며, 심지어 $임의$로 1 ${\displaystystyle$1}에 근접할 수도 있다$.$

레머의 방법

레흐머스의 방법은 다음과 같다.주어진 복잡한 다항식 p{p\displaystyle}을 위해 Schur-Cohn 시험으로[5], 원판 충분히 p{p\displaystyle}의 모든 뿌리가 포함되는 경우 다음 이 디스크 중복되는 작은 디스크 세트로 뒤덮여 질 수 있다는 것을 발견할 수 있다. 그것들 중 하나고 남은 이들을 골고루 annulus에서 아직까지 퍼진 집중적으로 공부했다. 있다덮개가 있는이 세트에서 다시 테스트를 사용하여 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 루트가 없는 디스크를 제거할 수 있다$$.각각의 남은 디스크로 덮개와 제거의 이 절차는 몇 번이고 반복될 수 있으며, $따라서{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle p$}의 모든 루트를 함께 포함하는 임의의 소형 디스크 세트가 생성된다$.$

이 방법의 장점은 단일 절차의 반복으로 구성되며 모든 뿌리가 실제든 복합적이든 단일이든 다중이든 군집적이든 동시에 발견된다는 것이다.또한 디플레이션, 즉 이미 발견된 뿌리의 제거는 필요하지 않으며 모든 테스트는 정밀한 원래의 다항식으로 시작한다.그리고, 놀랍게도, 이 다항식은 결코 평가될 필요가 없다.

그러나 디스크가 작아질수록 해당 '스케일링된' 다항식의 계수는 상대적인 크기에서 차이가 난다.이, 따라서 디스크의 아래의 곡률 반경과 계산된 뿌리의 그 때문에 정밀 제한 컴퓨터 계산 과잉 또는 underflow를 일으킬 수 있다.[2].[6], 또는 효율성 건성으로 한 확대 뿌리들의 번호를 동심 디스크 번호에 시험 용액을 시작할 수 있고 따라서 어디가 r그 지역을 극단적인 스케일링을 피하기 위해oots는 다수의 좁고 동심원적 무효에 발생한다.이 절차를 다른 센터와 반복하고 결과를 결합하면 해당 지역은 그러한 무효화의 교차점 결합이 된다.^[7] 마지막으로, 단일 루트를 포함하는 작은 디스크가 발견되면, 그 루트는 뉴턴의 방법 등 다른 방법을 사용하여 더 근사하게 추정될 수 있다.

참조