리 바이알지브라

수학에서 리 바이알지브라(Lie bialgebra)는 바이알지브라(Lie-theorgebra)의 리-이론적 사례로, 리 대수학(Lie algebra)과 리 콤바브라 구조(Lie colbgebra structure)가 호환되는 세트다.

곱셈이 스큐 대칭이고 이중 자코비 아이덴티티를 만족시켜 이중 벡터 공간이 리 대수인 반면, 곱셈과 곱셈이 양립할 수 있는 쌍곡선이다.코키클 조건은 실제로 어떤 사람이 공동 경계에 있는 리 바이알지브라와 같은 부류의 바이알지브라만을 연구한다는 것을 암시한다.

그것들은 포아송-홉프 알제브라스라고도 불리며, 포아송-라이 그룹의 리 대수학이다.

리 바이알게브라는 양-백스터 방정식의 연구에서 자연적으로 발생한다.

정의

벡터 공간 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은 리 대수인 경우$$ 리 바이알게브라(Lie bialgebra)로, $이중{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ 벡터 공간 g$$ {\$displaystyle {\mathfak{g}^{*}$에도 리 대수 구조가 있어 호환이$$ 가능하다.More precisely the Lie algebra structure on ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is given by a Lie bracket ${\displaystyle [\ ,\ ]:{\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ and the Lie algebra structure on ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ is given by a Liebracket ${\displaystyle \delta ^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$. Then the map dual to ${\displaystyle \delta ^{*}}$ is called the cocommutator, ${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\o$$시간 {\mathfrak {g}$ 및 호환성$$ 조건은 다음과 같은 cocycle 관계:

${\displaystyle \delta ([X,Y])=\left(\operatorname {ad} _{X}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{X}\right)\delta (Y)-\left(\operatorname {ad} _{Y}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{Y}\right)\delta (X)}$

여기서 ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$, Y ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}$$Y=[X,Y]}$은(는) 부선이다.이 정의는 대칭이며 $g{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}${$${\$displaystyle${\$mathfrak{g}^{*}}$ 또한 이중$$ Lie Bialgebra인 Lie Bialgebra이다.

예

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 어떤 반이시 구현된 Lie 대수학으로$$ 삼으시오.따라서 Lie Bialgebra 구조를 지정하려면 이중 벡터 공간에 호환 가능한 Lie 대수 구조를 지정해야 한다.Cartan subalgebra $t{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\${\$mathfrak {g}}$을(를) 선택하고 양의 루트를 선택하십시오.Let ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{\pm }\subset {\mathfrak {g}}}$ be the corresponding opposite Borel subalgebras, so that ${\displaystyle {\mathfrak {t}}={\mathfrak {b}}_{-}\cap {\mathfrak {b}}_{+}}$ and there is a natural projection ${\displaystyle$$\pi :{\mathfrak{b}_{\pm}\to {\mathfrak{t$ 그런 다음 Lie 대수 정의

${\displaystyle {\mathfrak {g'}:\{(X_{-}}}}}\mathfrak {b}{-}\time {\mathfrak {b}}{+}\\\\\\bigl \vert \pi(X_{-}+}}}=0\}):$

which is a subalgebra of the product ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}}$, and has the same dimension as ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Now identify ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$ with dual of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ via the pairing

${\displaystyle \langle(X_{-},X_{+}),Y\rangele :=K(X_{+}-X_{-}Y)}$

여기서 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$ 및$$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은(는) 킬링 양식이다$$.$이것$은 g ${\$에 Li Bialgebra 구조를 정의하며, "표준" 예로서 드린펠드-짐보 양자 그룹의 기초가 된다.$′{\$이(가) 해결$$ 가능한 반면, $g{\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystyle${\$mathfrak {g}$은(는) 반이(가) 구현된다는$$ 점에 유의하십시오.

Poisson-Lie 그룹과의 관계

Poisson-Lie 그룹 G의 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$는 Lie Bialgebra의 자연 구조를 가지고 있다.간단히 말해, Lie 그룹 구조는 $평소$와 같이$$ g ${\$에 Lie Bracket을, G에 Poisson 구조의 선형화는 g ${\displaystyle {\ast \mathfrak{}}^{}}$ ${\$에 Lie Bracket을 준다.$$이중 벡터 공간).좀 더 자세히 설명하면, ${\displaystyle G_{}}$를 Poisson-Lie 그룹이 되게 하고, $f{\displaystyle {}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$c ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle f_{1},f_{2}\inc^{\infit }(G)}$는 그룹 매니폴드에서 두 가지 부드러운 기능이다$$.$\xi {\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle d}$ f${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle e_{}}$ ${\$을(를) ID 요소에서 차등화되도록$$ 한다.분명히 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ g${\displaystyle {}^{}}${ ${\$ 그룹의 포아송 구조는 g ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ {$g}^{*}}}$에 괄호를 유도한다$.$

${\displaystyle [\xi _{1},\xi _{2}]=(d\{f_{1},f_{2}\},},}$

여기서${\displaystyle }${${\displaystyle }$, ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{,\}$은(는) 포아송 브래킷이다.다지관의 포아송 바이브레이터가 be$$$\displaystyle \eta }$인 경우, ${\displaystyle {\eta }^{}}$ R ${\$를 G의 아이덴티티 요소에 대한 바이브레이터의 우측 변환으로 정의하십시오$$.그러면 한 사람이 그것을 가지고 있다.

${\displaystyle \eta ^{R}:G\to {\mathfak{g}\otimes {\mathfak{g}}$

코코뮤터레이터는 접선 지도가 된다.

${\displaystyle \delta =T_{e}\eta ^{R}\,}$

하도록

${\displaystyle [\xi _{1},\xi _{2}]=\cHB ^{*}(\xi _{1}\otimes \xi _{2})}$

코코무터기의 이중형이다.

참고 항목

• 리 곤지브라
• 마닌 트리플

참조

• H.D.도브너, J.D.Hennig, Eds, Quantum 그룹, 제8회 수학물리학 국제 워크숍의 진행, 아놀드 소머펠트 연구소, Claaausthal, FRG, 1989, Springer-Verlag 베를린, ISBN3-540-53503-9.
• Vyjayanthi Chari와 Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.
• Beisert, N.; Spill, F. (2009). "The classical r-matrix of AdS/CFT and its Lie bialgebra structure". Communications in Mathematical Physics. 285 (2): 537–565. arXiv:0708.1762. Bibcode:2009CMaPh.285..537B. doi:10.1007/s00220-008-0578-2.