자코비 정체성

수학에서 자코비 아이덴티티는 복수의 제품에서 평가 순서인 괄호 배치가 수술 결과에 어떤 영향을 미치는지 설명하는 이진 연산 특성이다.이와는 대조적으로, 연관 속성과의 운용의 경우, 어떤 평가 순서도 동일한 결과를 준다(다중 제품의 괄호는 필요하지 않다).그 정체성은 독일의 수학자 칼 구스타프 야콥 자코비의 이름을 따서 지어졌다.

교차 제품 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\times b}$과(와) Lie bracket 작업${\displaystyle }$[${\displaystyle a}$, b ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$이(가) 모두 자코비 아이덴티티를 만족한다.분석 역학에서 자코비 정체성은 포아송 괄호로 만족한다.양자역학에서, 그것은 힐버트 공간의 연산자 정류자에 의해 충족되고 모얄 대괄호들에 의한 양자역학의 위상공간 형성에서 동등하게 충족된다.

정의

$+{\displaystyle }$ ${\displaystyle +}$ 및$$ $\times {\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$을(를) 두 개의 이진 연산이 되게$$ 하고, $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$을$({\displaystyle }$를) + ${\displaystyle +}$의 중립 요소가 되게$$ 한다$.$자코비 정체는

이 ID의 왼쪽에 있는 변수의 패턴을 주목하십시오.In each subsequent expression of the form ${\displaystyle a\times (b\times c)}$, the variables ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ and ${\displaystyle z}$ are permuted according to the cycle ${\displaystyle x\mapsto y\mapsto z\mapsto x}$. Alternatively, we may observe that the ordered triple${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle }$z ) ${\displaystyle (x,y,z$${\displaystyle }$(${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle (y,z,$${\displaystyle x}$$)},$${\displaystyle }$(${\displaystyle z}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x,y,z)}$은 순서의 짝수열이다$.$

정류자 브래킷 형태

Lie 대수학의 가장 간단한 유용한 예는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ $[\displaystyle n\times$ n$}$ 행렬의$$ (연관적) 고리로부터 구성되며, 이는 n차원 벡터 공간의 극히 작은 움직임으로 생각할 수 있다.× 연산은 매트릭스 곱셈에서 공분율의 실패를 측정하는 정류자다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\time Y}$ 대신 다음과 같은 Liebracket 표기법이 사용된다$.$

$[X,Y]=XY-YX.}$

그 표기법에서 자코비 정체는 다음과 같다.

그것은 계산으로 쉽게 확인할 수 있다.

More generally, if A is an associative algebra and V is a subspace of A that is closed under the bracket operation: ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ belongs to V for all ${\displaystyle X,Y\in V}$, the Jacobi identity continues to hold on V.^[1]따라서 이항 연산${\displaystyle }$[${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$이(가) 자코비 아이덴티티를 만족시킨다면$$, 실제로 그렇게 정의되지 않았더라도 어떤 연관 대수학에서는$$ ${\displaystyle X}$ Y${\displaystyle }$- ${\displaystyle Y}$ X ${\displaysty XY-YX}$이(가) 준 것처럼 작용한다고 말할 수 있다.

비대칭 속성${\displaystyle }$[${\displaystyle X}$, Y ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }$-${\displaystyle }$[ ${\displaystyle Y}$, X ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$을$($를) 사용하여 Jacobi ID를 연관 속성의 수정으로 다시 작성할 수 있다.

${\displaystyle[X,Y]Z]=[X,[Y,Z]-[Y,Z]-[X,Z]~}$

만일${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [X,Z]}$이(가) Z에 대한 최소 운동 X의 작용이라면$$, 다음과 같이 말할 수 있다.

The action of Y followed by X (operator ${\displaystyle [X,[Y,\cdot \ ]]}$), minus the action of X followed by Y (operator ${\displaystyle ([Y,[X,\cdot \ ]]}$), is equal to the action of ${\displaystyle [X,Y]}$, (operator ${\displaystyle [[X,Y],\cdot \ ]$$}$).

또한 안티코무터${\displaystyle }${${\displaystyle X}$, Y${\displaystyle }$} ${\displaystyle$\{$X,$$Y$ 다음과 같은 경우:

$(\displaystyle [\{X],Y\}Z]+[\{Y,Z\}X]+[\{Z,X\}Y]=0,\qquad [\{X,Y\,Z]+\{[Z,Y]X\}+\{[Z,X],Y\}=0.}$

부선형식

자코비 아이덴티티의 가장 일반적인 예는 리 알헤브라와 리 링의 브라켓 곱셈${\displaystyle }$[${\displaystyle x}$, y ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [x,y]}$에서 온다.자코비 정체성은 다음과 같이 쓰여 있다.

$[\displaystyle [x, [y,z]+[z, [x,y]]+[y,[z,x]=0.}$

괄호 곱셈은 대칭성이기 때문에 자코비 아이덴티티는 두 가지 등가의 개혁을 인정한다.보조 연산자 ${\displaystyle {ad}_{}}$ x: ${\displaystyle y{}_{}}$[ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x$}:$y:y\mapsto$ [$x,y]}}$을$($를) 정의하면 ID가 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \problename {ad} _{x}[y,z]=[\problename {ad} _{x}y,z]+[y,\problename {ad} _{x}z].}$

따라서 리 알헤브라의 자코비 정체성은 대수학에서 어떤 원소의 작용도 파생이라고 말한다.자코비 정체성의 그러한 형태는 라이프니즈 대수학의 개념을 정의하는 데도 사용된다.

또 다른 재배열은 자코비 정체성이 부선 표현 연산자 사이의 다음과 같은 정체성과 동일하다는 것을 보여준다.

${\displaystyle \propername {ad} _{x,y}=[\propername {ad} _{x},\propertiesname {ad} _{y}].}$

거기서 왼쪽의 괄호는 원래 대수학의 작동이며, 오른쪽의 괄호는 연산자 구성의 정류자(commutator)이며, ID에 의하면 각 원소를 부선 작용으로 보내는 ${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\$ $맵$은 리 대수 동형(Lie 대수적 동형)이라고 되어 있다.

관련 신원

홀-위트 아이덴티티는 그룹 내 정류자 작동과 유사한 아이덴티티다.

다음과 같은 동일성은 반공칭성과 자코비 정체성에서 따르며 임의의 Lie 대수학을 가지고 있다.^[2]

${\displaystyle [x, [y, [z,w]]+[y,x,[w,z]]+[z,w,[x,y]]]+[w,[z,[y,x]]=0.}$

참고 항목

• 구조물 상수
• 슈퍼 야코비 아이덴티티
• 3개의 서브그룹 보조정리(Hall-Witt ID)

참조

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Jacobi Identities". MathWorld.