리브-리니거 모델

Lieb-Liniger 모델은 입자의 기체가 한 차원 이동하며 보세-아인슈타인 통계를 만족시키는 것을 설명한다.

소개

입자 기체의 모형은 그러한 기체의 대략적인 이론, 특히 보골류보프의 이론이 모델 기체의 실제 특성에 부합하는지를 연구하기 위해^[1][2] 1963년에 도입되었다.모델은 2체 전위를 통해 서로 상호작용하는 입자에 대해 잘 정의된 슈뢰딩거 해밀턴안을 기반으로 하며, 이 해밀턴인의 모든 고유특성과 고유값을 원칙적으로 정확하게 계산할 수 있다.때때로 델타 상호작용을 가진 1차원 보스 기체라고 불린다.양자 비선형 슈뢰딩거 방정식으로도 볼 수 있다.

저층 흥분 상태뿐만 아니라 지상 상태도 계산하여 보골류보프의 이론과 다른 이론에서 예측한 바와 같이 실제로 한 가지 유형 대신 두 가지 종류의 초등 흥분 상태가 있다는 사실을 제외하고는 잠재력이 작을 때 보골류보프의 이론과 일치한다는 것을 밝혀냈다.

이 모델은 21세기 첫 10년 동안 발달한 정교한 실험 기법으로 인해 실제 원자를 입자로 사용하여 이런 종류의 가스를 생산할 수 있게 되기 전까지는 학문적인 관심에 불과한 것처럼 보였다.

모델의 정의 및 솔루션

정기적인 경계 조건을 가진${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,L]}$ 선에는$$ 좌표 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) 가진 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 입자가$$ 있다$.$Thus, an allowed wave function ${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{j},\dots ,x_{N})}$ is symmetric, i.e., ${\displaystyle \psi (\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots )=\psi (\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots )}$for all ${\displaystyle i\neq j}$ and ${\displaystyle \psi }$ satisfies ${\displaystyle \psi (\dots ,x_{j}=0,\dots )=\psi (\dots ,x_{j}=L,\dots )}$ for all ${\displaystyle j}$.해밀턴인은, 적절한 단위로,

${\displaystyle H=-\sum _{j=1}{n}\partial ^{2}/\partial x_{j}^{2}+2c\sum _{1\leq i}\delta (x_{i}-x_{j}}\}\}\}},},}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은 Dirac 델타 함수, 즉 교호작용은 접촉 상호작용이다.상수 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c\geq 0}$은 그 강도를 나타낸다$$.델타 함수는 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$ ${\displaystyle x_{}}$ 2 ${\$}의 두 좌표가 같을$$ 때 경계조건이 생긴다. 이 조건은 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$↘ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {\frac{{x\_\mathrm{}}_{}}{}}_{}}$${1$의 경우 파생상품이 충족된다${\displaystyle {({x1\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{\partial \mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{{x\mathrm{}}_{}}{}}_{}}$ 1${\displaystyle {\frac{{}_{}}{}\frac{\partial \mathrm{}}{}\frac{{}_{}}{}\psi }_{}}$).$,$${\displaystyle \왼쪽$$\left\frac {\reft }{\frac }-{\frac$ }-{\frac$}{\frac$ }{\$preason x_${1$}}}\right (x_{1$},$_{1}, _{2})\rec\c\$c\$reas (x_{1$}=$x_{2$하드 코어 한계 $c{\displaystyle }$ =${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle c=\infit }$은(는) Tonks-Girardau 가스로 알려져$$ 있다.^[3]

Schrödinger's time independent equation, ${\displaystyle H\psi =E\psi }$ is solved by explicit construction of ${\displaystyle \psi }$. Since ${\displaystyle \psi }$ is symmetric it is completely determined by its values in the simplex ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, defined by the condition that ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$…,${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \dots,\leq x_{N}\leq L}.$이 지역에서는 H.A에서 고려하는 형태의 $\psi$ ${\displaystystyle \psi$}을 찾는다.자기 스핀 시스템의 맥락에서 1931년 베테 안사츠.즉, 특정 실수 1 < k << N ${\$가 결정되어야 한다.

${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{N}=\sum _{P}a(P)\exp \left(i\sum _{j=1}^{N}k_{Pj}x_{j}\오른쪽)}}}$

where the sum is over all ${\displaystyle N!}$ permutations, ${\displaystyle P}$, of the integers ${\displaystyle 1,2,\dots ,N}$, and ${\displaystyle P}$ maps ${\displaystyle 1,2,\dots ,N}$ to ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots ,P_{N}}$.$계수{\displaystyle }$ $a{\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle a(P)}$및 k ${\displaystyle$ k$\}\text{'}$$s$는 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \psi }${\$displaystyle H\psi = E\psi }$ 조건에 의해 결정되며$,$ 이로 인해 다음과 같이 된다.

${\displaystyle E=\sum _{j=1}^{N}\,k_{j}^{2}}$

${\style a(P)=\prod _{1\leq i<j\leq N}\왼쪽(1+{\frac {ic}{k_{Pi}-k_{Pj}}}\오른쪽)\,}$

Dorlas(1993)는 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 모든 고유 기능이 이러한$$ 형태라는 것을 증명했다.^[4]

이러한 방정식은 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의$$관점에서 $\psi$ ${\displaystyle \psi }$을(를) 결정하며, 이는 다시 주기적인 경계 조건에 의해 결정된다.$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 방정식으로 이어지는$$ 경우:

${\displaystyle L\,k_{j}=2\pi I_{j}\ -2\sum _{i=1}^{N}\arctan \left.({\frac {k_{j}-k_{c}}}}\c}\c}\qquad \qquad{}{}}}}}}}}}}}}}}}}}\j=1,\j=1,\text{},\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\$

서 I < < N ${\$$I_{2}<\cdots <I_{N}}$ are integers when ${\displaystyle N}$ is odd and, when ${\displaystyle N}$ is even, they take values ${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\dots }$ . For the ground state the ${\displaystyle I}$'s satisfy

${\displaystyle I_{j+1}-I_{j}=1,\quad {\rm {for}\1\leq j<N\qquad {\\text{\and }}}}I_{1}=-I_{N}}}}$

The first kind of elementary excitation consists in choosing ${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{N-1}}$ as before, but increasing ${\displaystyle I_{N}}$ by an amount ${\displaystyle n>0}$ (or decreasing ${\displaystyle I_{1}}$ by ${\displaystyle n}$).이 상태의 모멘텀은 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi n}$/ L ${\displaystyle p=2\pi$ n$/L}($또는${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{\pi n}}$/ L ${\displaystyle -2\pi n/L})$이다.$$

두 번째 종류로 < ≤ / 2 ${\displaystyle 0<n\leq N/2$}을$($를$)$ 선택하고 모든 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge n}$ ${\displaystyle I_$${i}\i$}\{$i$$}+1}$에 $대해$ ${\displaystyle I_{}}$→ I${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1}$을 늘리십시오$.$The momentum of this state is ${\displaystyle p=\pi -2\pi n/L}$. Similarly, there is a state with ${\displaystyle p=-\pi +2\pi n/L}$. The momentum of this type of excitation is limited to ${\displaystyle p \leq \pi .}$

이러한 배설물은 여러 번 결합되고 반복될 수 있다.따라서, 그들은 보소닉과 같다.지상 ${\displaystyle {상태\mathrm{}}_{}}$(=최저) 에너지를 $E{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$만큼 나타내고$$, $위$에서 E ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}2{}_{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle E_{1,2}(p)}$에 언급된 상태의 에너지를 나타낸다면, ${\displaystyle {ϵ}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle }$) - ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ -$$\$displaystyleon \epsilon _{1}(p$)={1(p$)}$$E_{1}(p)-E_{0}}$ 및$$ ${\displaystyle {ϵ\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2}$ ( p${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= E ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$$E_{2}(p)-E_{0}}$은(는) 두 모드의 흥분 에너지다$$.

열역학적 한계

가스에 대해 논의하기 위해 $우리$는 $밀도{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ =${\displaystyle N}$ / L ${\displaystyle$$$$L}$을(를) 무한대로$$ 제한한다. = = N / ${\displaystyle L}${\$displaystyle \rho$= N$/L}$The ground state energy per particle ${\displaystyle e={\frac {E_{0}}{N\rho ^{2}}}}$, and the ${\displaystyle \epsilon _{1,2}(p)}$ all have limits as ${\displaystyle N\to \infty }$. While there are two parameters, ${\displaystyle \rho }$ and ${\displaystyle c}$, simple ${\displaystyle \mathrm{length}}$ scaling $x{\displaystyle }$→$$【\$displaystyle$ x\$to \rho$ x}에$$ 실제로 $단{\displaystyle }$ 하나, 즉 】 =${\displaystyle c}$ /${\displaystyle }$$\$$displaystyle \c/\rho$ $\}.$

$E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 평가하기 위해, $N$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$과${\displaystyle }$- ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -K$ 사이에 N k ${\displaystyle k}$의$$값이 있다고 가정하고, 농도 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle f(k}$ )$${\$displaystystyle L\,f(k)$를 사용한다$.$이 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 방정식을 만족하는 것으로 확인된다$(-{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k}$ ≤ k ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle K}${\$displaystyle -K\leq k$

${\displaystyle 2c\int_{-K}^{K}{\frac {f(p)}{c^{2}+(p-k)^{2}}dp=2\pi f(k)-1\quad{\rm{and}\nolimits \{-K}f(p)dp=\rho}$

독특한 긍정적인 해결책을 가지고 있다.흥분은 이 밀도 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$를 왜곡하고 유사한$$ 적분 방정식이 이러한 왜곡을 결정한다.입자당 접지 상태 에너지는 다음과 같다.

${\displaystyle e={\frac {1}{\rho^{3}}\int _{-K}^{K}k^{2}f(k)dk.}$

그림 1은 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$이(가) $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$에 어떻게 의존하는지를$$ 보여주며$$, $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$에 대한 보골류보프의 근사치도 보여준다$.$The latter is asymptotically exact to second order in ${\displaystyle \gamma }$, namely, ${\displaystyle e\approx \gamma -4\gamma ^{3/2}/(3\pi )}$. At ${\displaystyle \gamma =\infty }$, ${\displaystyle e=\pi ^{2}/3}$.

그림 2는 $value{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.787}$ ${\displaystyle$ $\epsilon _{1}(p)}$ 및$$ $ϵ{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$$(p$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ $\$$epsilon _{2}(p$$)}$의 작은 값에 대한$$ 두 가지 흥분 에너지 $ϵ{\displaystyle {}_{}}$ ($p$${\displaystyle )}$를 보여준다$.$이 두 곡선은 > 0 ${\displaystyle \gamma >0$의 모든 값에 대해 이와 유사하지만, $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$이(가) 증가함에$$ 따라 보골류보프 근사치(dashed)는 악화된다.

3차원부터 1차원까지.

이 1차원 가스는 실제의 3차원 원자를 입자로 사용하여 만들 수 있다.긴 원통형 용기의 3차원 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식에서 낮은 에너지 상태가 1차원 리브-리니거 모델에 의해 설명된다는 것을 수학적으로 증명할 수 있다.이것은 지상 주와^[5] 흥분된 주들을 위해 행해졌다.^[6]실린더는 원자 직경만큼 좁을 필요가 없다; 축에 수직인 방향의 흥분 에너지가 입자 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$당 에너지와 비교하여 클 경우 훨씬 넓을 수 있다$.$

참조

외부 링크

• 엘리엇 H. 리브(2008), Scholarpedia, 3(12):8712.[1]를 참조하십시오.