베테안사츠

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2020년 2월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 학습)

물리학에서 베테안사츠는 특정 1차원 양자 다체 모델의 정확한 파장 기능을 찾기 위한 안사츠 방법이다.1931년^[1] 한스 베테가 1차원 반소성 하이젠베르크 모델 해밀턴의 정확한 고유값과 고유 벡터를 찾기 위해 발명했다.그 이후 이 방법은 한 차원, 즉 (비등방성)의 다른 모델로 확장되었다.하이젠베르크 체인(XXZ 모델), 보세 가스를 상호작용하는 리브-리니거, 허바드 모델, 콘도 모델, 앤더슨 불순물 모델, 리처드슨 모델 등.null

토론

다체 양자역학의 틀에서 베테 안사츠가 해결할 수 있는 모델은 자유 페르미온 모델과 대조될 수 있다.자유모델의 역학관계는 한 몸체를 축소할 수 있다고 말할 수 있는데, 페르미온(보손)에 대한 다체파 함수는 한 몸파 함수의 반대칭(대칭) 제품이다.Bethe ansatz가 해결할 수 있는 모델은 무료가 아니다: 두 신체 부문이 비종교적 산란 행렬을 가지고 있는데, 일반적으로 모멘텀a에 따라 다르다.null

반면에 베테 안사츠가 해결할 수 있는 모델의 역학은 2-바디 환원 가능하다: 다-바디 산란 행렬은 2-바디 산란 행렬의 산물이다.다체 충돌은 2체 충돌의 순서에 따라 발생하며 다체파 기능은 2체파 기능의 요소만 포함하는 형태로 나타낼 수 있다.다체 산란 행렬은 쌍성 산란 행렬의 산물과 동일하다.null

다체파 기능을 위한 베테안사츠(Bethe Ansatz)의 일반적인 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle \Psi _{M}(j_{1},\cdots ,j_{M})=\prod _{M\geq a>b\geq 1}{\text{sgn}}(j_{a}-j_{b})\sum _{P\in P_{M}}(-1)^{[P]}e^{i\sum _{a=1}^{M}k_{P_{a}}j_{a}+{\frac {i}{2}}\sum _{M\geq a>b\geq 1}\mathrm {sgn} (j_{a}-j_{b})\phi (k_{P_{a}},k_{P_{b}})}}$

in which ${\displaystyle M}$ is the number of particles, ${\displaystyle j_{a},a=1,\cdots M}$ their position, ${\displaystyle P_{M}}$ is the set of all permutations of the integers ${\displaystyle 1,\cdots ,M}$, ${\displaystyle k_{a}}$ is the (quasi-)momentum of the $$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ -th번째$$ 입자, $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는) 산란 위상 편이 함수, s ${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\$은$($는) 부호 함수다.이 형태는 최소한 비내장 시스템의 경우 보편적이며, 모멘텀과 산란 기능은 모델에 의존한다.null

양-백스터 방정식은 공사의 일관성을 보장한다.파울리 배제 원칙은 상호 작용하는 보손의 모델에도 베테 안사츠가 해결할 수 있는 모델에 유효하다.null

지상주는 페르미 구이다.주기적인 경계 조건은 베테 안사츠 방정식으로 이어진다.로그 형식에서 Bethe ansatz 방정식은 양 작용에 의해 생성될 수 있다.베테파 함수의 표준 제곱은 양 작용의 두 번째 파생상품 행렬의 결정요인과 동일하다.^[2]최근에^[when?] 개발된 대수학 베테 안사츠는^[3] 다음과 같이 말하면서^[who?] 본질적인 진보를 이끌었다.

양자 역 산란법... 잘 발달된 방법...다양한 종류의 비선형 진화 방정식이 해결될 수 있도록 했다.그것은 베테안사츠의 대수적 성격을 설명한다.

소위 s-d 모델의 정확한 해결책(P.B 기준)1980년 위그만^[4], 1980년 N. 안드레이가 독자적으로,^[5] 1980년 앤더슨 모델(P.B.1981년에 위그만^[6], N. 가와카미, A.에 의해.1981년 오키지^[7])도 베테안사츠에 바탕을 두고 있다.이 두 모델의 다채널 일반화는 정확한 해결책에도 부합한다(N. Andrei 및 C).데스트리와^[8] C.J. 볼렉과 N. 안드레이^[9]).최근 Bethe ansatz가 해결할 수 있는 몇 가지 모델이 고체 상태와 광학 래치에서 실험적으로 실현되었다.이러한 실험의 이론적 설명에 있어서 중요한 역할은 장 세바스티앙 코와 알렉세이 츠벨릭이 맡았다.^{[citation needed]}null

예: 하이젠베르크 반소자성 사슬

하이젠베르크 반엽자성 사슬은 해밀턴인에 의해 정의된다(주기적 경계 조건을 가정한다).

${\displaystyle H=J\sum _{j=1}^{N}\mathbf {S} _{j}\cdot \mathbf {S} _{j+1},\qquad \mathbf {S} _{j+N}\equiv \mathbf {S}.}$

이 모델은 Bethe ansatz를 사용하여 해결할 수 있다.산란 위상 편이함수는 $\varphi {\displaystyle (k_{}}$ a (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}_{}{\lambda }_{}}$ b )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$) ${\displaystyle \phi (k_{a})(\lambda _{a}), k_{b}(\lambda _{b})$이다.$=\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})}$, with ${\displaystyle \theta _{n}(\lambda )\equiv 2\arctan {\frac {2\lambda }{n}}}$ in which the momentum has been conveniently reparametrized as ${\displaystyle k(\lambda )=\pi -2\arctan 2\lambda }$ in terms of the rapidity $$${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda$ $\}.$ (여기, 주기적) 경계 조건은 베테 방정식을 부과한다.

${\displaystyle \left[{\fracta _{a}+i/2}{\putda _{a}-i/2}}\right]{N}=\prod _{b\neq a}^{M}{\frac _{a}-\lambda _{b}+i}{\lambda _{a}-\lambda _{b}-i}},\qqqad a=1,...,M}$

로그 형태로 또는 보다 편리하게

${\displaystyle \theta _{1}(\lambda _{a}-{1}-{n1}\sum _{b=1}^{M}\theta _{2}(\lambda __{b}-})=2\frac {I_{a}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

여기서 양자 번호 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는${\displaystyle )}$ N$$- M {\displaystyle $N-M}$의 구별되는 반 이상 정수(I - M ${\displaystyle$ $I_{j}$ 포함$$)로 ${\displaystyle {정의}_{}}$된 모드$($ ) {\$displaystystyle (N)).$null

연대기

이 부분은 목록 형식으로 되어 있지만 산문으로 더 잘 읽힐 수 있다. 적절한 경우 이 섹션을 변환하여 도움을 줄 수 있다. 편집 도움말 이용 가능(2020년 2월)

• 1928년: 베르너 하이젠베르크가 그의 모델을 발표한다.^[10]
• 1930: Felix Bloch는 하이젠베르크 체인에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해법 수를 잘못 계산하는 지나치게 단순화된 안사츠를 제안한다.^[11]
• 1931:한스 베테는 정확한 안사츠를 제안하고, 그것이 정확한 수의 고유 기능을 산출한다는 것을 조심스럽게 보여준다.^[1]
• 1938년: 라멕 헐텐 [de]는 하이젠베르크 모델의 정확한 지상 에너지를 얻는다.^[12]
• 1958:^[13] 레이먼드 리 오르바흐는 베테 안사츠를 사용하여 하이젠베르크 모델을 비등방성 상호작용으로 해결한다.
• 1962: J. des Cloizaux와 J. J. Pearson은 하이젠베르크 항엽기석의 정확한 스펙트럼(스피논 분산 관계)을 얻음으로써 앤더슨의 스핀파 이론 예측^[15](상수 프리인자가 다르다)과는 다른 것을 보여준다.^[14]
• 1963: 엘리엇 H. 리브와 베르너 리니거는 보세 가스와^[16] 상호작용하는 1d Δ 기능의 정확한 솔루션을 제공한다(현재 리브-리니거 모델이라고 알려져 있다).Lieb은 스펙트럼을 연구하고 두 가지 기본적인 형태의 배설물을 정의한다.^[17]
• 1964년: 로버트 B. 그리피스는 0도에서 하이젠베르크 모델의 자기화 곡선을 얻는다.^[18]
• 1966: C.N. 양과 C.P. 양은 하이젠베르크 사슬의 지상국이 베테안사츠에 의해 주어진다는 것을 엄격하게 증명한다.^[19]그들은 그리고 안에서^[20] 그리고 응용 프로그램들을 연구한다.^[21]
• 1967: C.N. 양은 리브와 리니거의 Δ-함수가 상호 작용하는 Δ-함수의 솔루션을 파동함수의 임의 순열 대칭에 일반화하여 내포된 베테 안사츠를 낳는다.^[22]
• 1968: 엘리엇 H. 리브와 F. Y. 우는 1d 허바드 모델을 해결한다.^[23]
• 1969: C.N. 양과 C.P. 양용은은 Lib-Liniger 모델의 열역학(열역학)을 얻어 열역학 베테 안사츠(TBA)의 기초를 제공한다.^[24]

참조

외부 링크

• 베테 안사츠 소개