한계보존함수(순서이론)

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질서 이론의 수학적 영역에서는 특정 한계, 즉 특정 우월성이나 이피마(infima)를 보존하는 기능에 대해 말하는 경우가 많다.대략적으로 말하면, 이러한 기능들은 집합의 우월성/최소성을 집합 이미지의 우월성/최소성에 매핑한다.함수가 이 속성을 만족하는 집합의 유형에 따라 유한, 지시, 비어 있지 않거나 또는 임의의 우월성 또는 인피마를 보존할 수 있다.이러한 각각의 요구사항은 자연스럽고 자주 순서 이론의 많은 영역에서 나타나며 이러한 개념과 단조로운 개념과 같은 다른 개념들 사이에 다양한 중요한 관계가 있다.함수의 범위에 한계가 존재한다는 것을 의미하도록 한계 보존의 함의가 반전되면, 한계 반사 기능을 얻는다.

이 글의 목적은 이 시점에서 문헌이 항상 일관되지 않기 때문에 필요한 이러한 기본 개념의 정의를 명확히 하고, 이러한 문제에 대한 일반적인 결과와 설명을 제공하는 것이다.

배경과 동기

순서 이론의 많은 전문 분야에서, 특정 한계 구성과 관련하여 완성된 부분 순서 집합의 클래스로 제한한다.예를 들어 격자 이론에서 모든 유한 비빈 집합이 최소 상한과 최대 하한을 모두 갖는 순서에 관심이 있다.반면 도메인 이론에서는 모든 지시된 부분집합이 우월성을 갖는 부분 순서에 초점을 맞춘다.최소한의 요소("빈 우월성")를 가진 완전한 선반과 주문은 추가적인 예를 제공한다.

이 모든 경우에, 한계는 각 학문의 실제 적용에 대한 해석에 의해 뒷받침되는 이론의 중심적 역할을 한다.또한 그러한 명령 사이의 적절한 매핑을 지정하는 데 관심이 있다.대수학적 관점에서, 이것은 고려 중인 구조물에 대한 동형성의 적절한 개념을 찾기를 원한다는 것을 의미한다.이는 각 주문에 대해 특징적인 구성과 호환되는 기능을 고려함으로써 달성된다.예를 들어 격자 동형성은 비어 있지 않은 유한한 우월성과 이피마를 보존하는 기능이다. 즉, 두 원소의 우월성/최소성이라는 이미지는 단지 그들 이미지의 우월성/최소성에 지나지 않는다.도메인 이론에서 사람들은 흔히 모든 지시된 우월성을 보존하는 소위 스콧-연속적 기능을 다룬다.

아래에 제시된 정의와 용어의 배경은 보다 일반적인 의미에서 한계(및 공동 한계)를 고려하는 범주 이론에서 찾을 수 있다.순서는 정의된 추가 구조를 가진 포셋 범주로 정의되는 작은 범주로 간주될 수 있기 때문에 한계 보존 및 한계 반영 펑터의 범주적 개념은 순서 이론과 완전히 일치한다.

형식 정의

부분적으로 순서가 지정된 P와 Q, 그리고 P에서 Q까지의 함수 f를 고려한다.또한 S는 최소 상한 s를 갖는 P의 하위 집합이 되도록 한다.그런 다음, S}에서 설정된 f(S) = {f(x) x가 Q에서 f(s)와 같은 최소 상한 값을 갖는 경우 f는 S의 우월성을 보존한다.

f(sup S) = supp f(S)

이 정의는 설정된 f(s)의 우월성이 존재하며 f(s)와 동일하다는 두 가지 요구조건으로 구성된다.이는 위에서 언급한 범주 이론과 평행하지만 문헌에서 항상 요구되는 것은 아니다.실제로 어떤 경우에는 기존의 우월성만을 f와 같게 요구하도록 정의를 약화시킨다.그러나 위키피디아는 위에서 주어진 일반적인 개념으로 작동하며, 필요할 경우 다른 조건을 명시적으로 명시한다.

위에 주어진 근본적 정의로부터, 광범위한 유용한 속성을 도출할 수 있다.posets P와 Q 사이의 함수 f는 모든 유한 집합, 비빈 집합, 지시 집합 또는 임의 집합의 우월성을 각각 보존한다면 유한 집합, 비빈 집합, 지시된 집합 또는 임의의 우월성을 보존한다고 한다.비어 있지 않은 유한한 우월성의 보존은 또한 모든 원소 x와 y를 보유하면서 정체성 f(x v y) = f(x) v(y)에 의해 정의될 수 있다. 여기서 v는 두 명령의 총 함수로 가정한다.

이중으로 인피마 보존을 위한 성질을 규정한다.

한계 보존을 위한 '반대' 조건을 '반성'이라고 한다.위와 같은 함수 f와 P의 하위 집합 S를 고려한다. 즉, supp f(S)가 Q에 존재하고 P의 일부 요소에 대해 f(s)와 같다.그 다음 f는 Supp S가 존재하고 s와 동일하다면 S의 우월성을 반영한다.보존을 위해 이미 증명된 바와 같이, 특정 등급의 S세트를 고려하고 정의를 infima로 이원화함으로써 많은 추가 특성을 얻는다.

특례

위의 체계에서 파생된 일부 특별한 사례나 속성은 다른 이름으로 알려져 있거나 순서 이론의 일부 영역에 특히 중요하다.예를 들어 빈 우월성을 보존하는 기능은 최소한의 요소를 보존하는 기능이다.게다가, 앞에서 설명한 동기 때문에, 많은 한계 보존 기능은 특정 순서 구조에 대한 특별한 동음이의어로 나타난다.그 밖에 몇 가지 두드러진 사례가 아래에 제시되어 있다.

모든 한계 보존

함수가 모든 우월성을 보존하면 흥미로운 상황이 발생한다.보다 정확히 말하면, 이것은 함수가 기존의 모든 우월성(또는 인피마)을 보존한다고 말함으로써 표현되며, 고려 중인 포지션이 완전한 래티스가 아닐 수도 있다.예를 들어 (모노톤) 갈루아 연결에는 이 속성이 있다.반대로, 주문 이론 보조 펑터 정리(Adjoint Functor Organization)에 의해, 일부 추가 요건이 충족되는 한, 모든 우월성/인피마를 보존하는 매핑은 독특한 갈루아 연결의 일부가 될 것을 보장할 수 있다.

분배성

격자 L은 모든 x, y, z에 대해 L에서 찾을 수 있는 경우 분배된다.

$왼쪽(y\vee z\오른쪽)=\왼쪽(x\vee y\오른쪽)\vee \왼쪽(x\be z\오른쪽)$

그러나 이것은 단지 만남 함수 ^: L -> L이 이항우월성을 보존하고 있다는 것을 말해준다.격자 이론에서 이 조건은 이중, 즉 이항 인피마를 보존하는 함수 v: L -> L과 동등하다고 알려져 있다.이와 비슷한 방식으로 무한분배법이

$\displaystyle x\wedge \bigvee S=\bigvee \left\{x\wedge s\mid s\in S\right\}}}}$

완전한 헤잉 알헤브라의 (또한 무의미한 위상 참조)은 임의의 우월성을 보존하는 ^의 충족 함수와 동등하다.그러나 이 조건은 이중성을 의미하지는 않는다.

스콧-연속성

지시된 우월성을 보존하는 기능을 Scott-연속성 또는 때로는 단지 연속성이라고 하는데, 이것이 분석과 위상 개념에 따른 혼동을 일으키지 않는다면 말이다.한계 보존을 위해 연속이라는 용어를 유사한 용어로 사용하는 것도 범주 이론에서 찾을 수 있다.

중요한 특성 및 결과

한계 보존에 대한 위의 정의는 상당히 강하다.실제로 적어도 2요소 체인의 우월성이나 이심을 보존하는 모든 기능, 즉 비교 가능한 두 요소의 집합은 반드시 단조로운 것이다.따라서 위에 언급된 모든 특별한 보존 특성은 단조로움을 유발한다.

어떤 한계는 다른 한계에 의해 표현될 수 있다는 사실에 기초하여 보존 속성 사이의 연결을 도출할 수 있다.예를 들어, 함수는 모든 이상에 대한 우월성을 보존하는 경우에만 지시된 우월성을 보존한다.더욱이 모든 비어 있지 않은 유한한 우월성이 존재하는 포지션(sup-semilatic)의 지도화 f는 지시된 것과 유한한 (비어 있을 가능성이 있는) 우월성을 모두 보존하는 경우에만 임의의 우월성을 보존한다.

그러나, 모든 우월성을 보존하는 기능이 모든 부정도 보존하거나 그 반대도 보존한다는 것은 사실이 아니다.