완성도(순서가론)

순서 이론의 수학적 영역에서 완전성 속성은 주어진 부분적으로 순서가 있는 집합(포셋)의 특정 인피마나 우월성의 존재를 주장한다.가장 익숙한 예는 실수의 완전성이다.이 용어의 특수 용어는 완전한 부분 주문 또는 완전 격자를 말한다.그러나, 다른 많은 완전성의 흥미로운 개념들이 존재한다.

완전성 속성을 고려하는 동기는 부분 순서 이론에 대한 우월성(최소 상한, 결합, $"[\displaystyle \ve$}")$$과 인피마(최대한 하한, $"[\displaystyle \wedge$}")$$의 큰 중요성에서 비롯된다.우월감을 찾는다는 것은 상단의 집합에서 구별되는 최소 요소 하나를 골라내는 것을 의미한다.한편으로, 이러한 특수 요소들은 종종 주어진 적용에 흥미로운 특정 콘크리트 특성(예: 숫자 집합의 최소 공통 배수 또는 집합 집합 집합의 조합)을 구현한다.한편, 특정 유형의 하위 집합이 우월성이나 인피마를 가질 것을 보장한다는 지식은 부분적으로 주문한 집합에 대한 총 연산으로서 이들 원소의 계산을 고려할 수 있게 한다.이러한 이유로, 특정한 완성도 특성을 가진 poset은 종종 특정 종류의 대수적 구조로 묘사될 수 있다.게다가 새로 획득한 작전의 특성을 연구하면 더욱 흥미로운 과목이 나온다.

완전성 속성 유형

모든 완전성 속성은 유사한 체계를 따라 설명된다. 하나는 우월성을 갖도록 요구되거나 최소치를 갖도록 요구되는 부분 순서의 하위 집합의 특정 종류를 설명한다.따라서 모든 완전성 속성은 주어진 진술에서 순서에 의존하는 정의를 뒤집어서 얻은 이중성을 가진다.일부 개념은 일반적으로 이중화되지 않는 반면 다른 개념은 자기 이중화(즉, 이중 진술과 동일)일 수 있다.

최소 및 최대 요소

우월의 가장 쉬운 예는 빈 것, 즉 빈 세트의 우월성이다.정의상 이것은 빈 집합의 각 멤버보다 큰 모든 요소 중에서 최소 요소다.그러나 포셋 P의 빈 부분 집합은 일반적으로 위와 아래 둘 다 경계로 간주되고 P의 모든 요소는 빈 부분 집합의 상한과 하한 모두 경계로 간주되기 때문에, 이것이 포셋 전체의 최소 요소일 뿐이다.최소 요소의 다른 공통 이름은 하단과 0이다.이중 개념인 빈 하한은 가장 큰 요소, 상단 또는 단위 (1)이다.

밑단이 있는 포셋은 뾰족하다고 부르기도 하고, 윗부분이 있는 포셋은 unital 또는 top이라고 부르기도 한다.최소한의 요소와 가장 큰 요소를 모두 가진 주문은 경계된다.단, 이는 아래에 제시된 한정된 완전성의 개념과 혼동해서는 안 된다.

유한완전성

더욱 단순한 완전성 조건은 모든 비어 있지 않은 유한 집합의 고려에서 발생한다.비어 있지 않은 모든 유한 집합이 우월성과 최소치를 모두 갖는 순서를 격자라 한다.그것은 모든 비어 있지 않은 유한한 것을 얻기 위해 두 원소의 모든 우월성과 무한성이 존재하도록 요구하기에 충분하다; 간단한 유도 논거는 모든 유한한 비빈 우월성/최소성이 유한한 수의 이항 우월성으로 분해될 수 있다는 것을 보여준다.따라서 래티스의 중앙 운영은 이진수프림(binary supremea$ve })$과 인피마(infima$)${\$displaystyle$ \$wedge }$이다. 이러한 맥락에서 용어는${\displaystyle }${$${\$displaysty \wedge }$에 충족되고${\displaystyle }$and$$ ${\displaysty \ve}$에 가입하는 것이 가장$$ 일반적이다$.$

따라서 비어 있지 않은 유한한 우월주의만 존재하는 것으로 알려진 포셋을 조인-세밀라티체라고 부른다.이중 개념은 만남-세밀라티다.

추가 완전성 조건

완전성의 가장 강력한 형태는 모든 우월성과 모든 이피마의 존재다.이 속성이 있는 양식은 완전 격자야.그러나 주어진 순서를 사용하면 이렇게 강한 완전성을 한 번에 산출하지 못하는 (아마도 무한한) 하위 집합의 추가 클래스로 제한할 수 있다.

포셋의 모든 지시된 하위 집합에 우월성이 있는 경우 순서는 지시된 완전한 부분 순서(dcpo)이다.이것들은 특히 도메인 이론에서 중요하다.dcpo에 대한 좀처럼 고려되지 않는 이중 개념은 여과-완전 포셋이다.최소 요소("점화된 dcpos")를 가진 dcpos는 완전한 부분 순서(cpo)라는 구문의 가능한 의미 중 하나이다.

일부 상한을 갖는 모든 부분집합이 최소 상한을 갖는 경우, 각 포지션을 경계 완료라고 한다.이 용어는 우월성에 초점을 맞춘 이 정의와 함께 널리 사용되며 이중 속성에 대한 일반적인 이름은 없다.그러나 한정된 완전성은 쉽게 이원화되는 다른 완전성 조건(아래 참조)으로 표현할 수 있다.이미 "완전"과 "경계"라는 이름을 가진 개념들이 정의되어 있었지만, "경계된 cpo"(가장 큰 요소를 가진 cpo)를 의미할 때 "경계된 완전한 poset"을 말하는 경우는 드물기 때문에 혼동이 일어날 것 같지 않다.마찬가지로, "경계된 완전 격자"는 거의 모호하지 않은데, 그것은 어쨌든 그것이 암시되어 있는 완전 격자의 경계 속성을 명시하지 않기 때문이다.또한 빈 집합은 일반적으로 상한(양 셋이 비어 있지 않은 경우)을 가지므로 경계 완료 양 집합에는 최소 요소가 있다.

또한 완전히 주문된 포셋(즉, 체인)의 하위 세트를 고려할 수도 있다.모든 체인에 우월감이 있다면 그 순서를 체인 완결이라고 한다.다시 말하지만, 이 개념은 이중 형태에서는 거의 필요하지 않다.

완전성 속성 간의 관계

2진수 만남/조인에서 비어 있지 않은 모든 유한 만남/조인을 산출한다는 것은 이미 관찰되었다.마찬가지로, 상기 조건의 다른 (결합)도 상당하다.

• 가장 잘 알려진 예는 모든 우월의 존재로, 사실은 모든 이피마의 존재와 동등하며, 밑바닥이 존재한다면 말이다.실제로 포셋의 하위 집합 X에 대해서는 최소한 하단을 포함하기 때문에 비어 있지 않은 하한 B의 집합을 고려할 수 있다.그러면 B의 우월성은 X의 최소값과 같다: X의 각 요소가 B의 상한이므로, Supp B는 X의 모든 요소보다 작다. 즉, Sup B는 B에 있다.B의 가장 큰 원소인 만큼 X의 최소값이다.이중적인 면에서, 모든 이피마의 존재는 모든 우월자의 존재를 암시한다.
• 한정된 완전성은 또한 다르게 특징지어질 수 있다.위와 유사한 주장에 의해 상한을 가진 집합의 우월성이 상한을 가진 집합의 최소치임을 알게 된다.결과적으로, 한정된 완전성은 모든 비 빈 인피마의 존재와 동등하다.
• poset은 cpo와 join-semilattice일 경우에만 완전한 격자다.실제로 어떤 부분집합 X의 경우, X의 모든 유한한 우월(조인) 집합이 지시되고 이 집합(지시된 완전성에 의해 존재하는)의 우월성은 X의 우월성과 동일하다.그러므로 모든 세트는 우월감을 가지고 있고 위의 관찰에 의해 우리는 완전한 격자를 갖게 된다.그 증거의 다른 방향은 사소한 것이다.
• 선택 공리를 가정하면 포셋은 dcpo인 경우에만 체인이 완전하다.

유니버설 대수학 면에서의 완전성

위에서 설명한 바와 같이, 특정한 완전성 조건의 존재는 특정 우월성과 이피마의 형성을 부분 주문된 집합의 총 운영으로 간주할 수 있다.$\vee {\displaystyle }${\$displaystyle \ve }$ 또는$$$\$ {\$displaystyle \wedge }$과 같은 연산을 갖춘 유니버설 대수적 관점에서 적절한 대수적 구조를 고려하는 것만으로 완성도를 특성화할 수 있는 경우가 많은 것으로 나타났다$.$se 연산, 실제로 그러한 대수적 구조로부터 배타적으로 기초적인 부분 순서를 도출할 수 있다.이러한 특성화에 대한 자세한 내용은 일반적으로 고려되는 "attice-like" 구조에 대한 기사에서 확인할 수 있다: 반밀도, 격자, 헤이팅 대수 및 부울 대수 참조.후자의 두 구조는 부정의 추가 연산을 도입함으로써 단순한 완전성 요건을 넘어 이러한 원칙의 적용을 확장한다는 점에 유의한다.

결합 측면에서의 완전성

완전성 속성을 특성화하는 또 다른 흥미로운 방법은 (모노톤) 갈루아 연결, 즉 부분 주문 간의 결합을 통해 제공된다.사실 이 접근법은 많은 완전성 속성의 본질과 질서 이론에 대한 갈루아 연결의 중요성에 대한 추가적인 통찰력을 제공한다.이러한 완전성의 개혁이 바탕이 되는 일반적인 관찰은 특정 우월성이나 인피마의 건설이 적절한 갈루아 연결부의 왼쪽 또는 오른쪽 부속 부분을 제공한다는 것이다.

부분 순서의 집합(X, ≤)을 고려한다.첫 번째 간단한 예로서, 1 = {*}을(를) 부분 순서만 가능한 지정된 단일 요소 집합으로 두십시오.X의 모든 X에 대해 X → 1과 j(x) = *가 분명한 매핑 j가 있다. X는 함수 j가 더 낮은 부호 j^*: 1 → X를 갖는 경우에만 최소 요소를 갖는다.실제로 Galois 연결에 대한 정의는 이 경우^* j(*) x if와 if와 if와 if와 if와 if의 경우에만 x를 산출한다. 여기서 오른손은 분명히 어떤 x를 지탱한다. Dallally, j에 대한 상부 조정자의 존재는 X가 가장 큰 요소를 갖는 것과 동등하다.

또 다른 간단한 매핑은 q(x) = (x, x) = (x, x)로 주어진 함수 q: X → X × X이다.당연히 X × X에 대해 의도된 주문 관계는 통상적인 제품 주문일 뿐이다.q는 X에 있는 모든 이진수가 존재하는 경우에만 더 낮은 부호 q를^* 가진다.반대로 조인 작업${\displaystyle }$operation ${\displaystyle \$ve $}$: X × X → X는 항상 q에 대한 (필요하게 고유한) 하부 정렬을 제공할 수 있다. 단, q는 X가 모든 이진을 만족하는 경우에만 상부 정렬을 허용한다.따라서 미팅 작업 $\wedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$이$($가) 존재한다면 항상 상부 조정이다.만일 $\vee {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ve }$과 $\wedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$이(가) 모두 존재하고$$, 또한${\displaystyle }${ ${\displaystyle \wedge }$이(가) 하위 부호인$$ 경우, 포셋 X는 헤팅 대수(Heyting 대수)로서, 또 다른 중요한 부분 오더의 특수 분류가 된다.

적절한 완료 절차를 이용하여 추가 완성도 진술을 얻을 수 있다.예를 들어, 부분 집합 포함에 의해 정렬된 모든 포셋 X의 하위 집합의 집합은 완전한 격자 D(X)를 산출한다는 것은 잘 알려져 있다.더욱이 X의 각 원소 x를 X y ≤ x의 주요 이상 {y in X ≤ x}에 매핑하는 명백한 내장 e: X → D(X)가 있다.이제 약간의 성찰은 X가 완전한 격자일 경우에만 e가 더 낮은 부호를 가졌다는 것을 보여준다.사실, 이 하위직은 어떤 하위직의 X를 X의 우월성에 매핑할 것이다.X의 하위 집합을 하부 폐쇄에 매핑하는 함수(파워셋에 하위 세트를 포함하기 위한 부속물)로 이 하위 조정자를 구성하면, 파워셋^X 2에서 X까지의 일반적인 우월도를 얻는다.이전과 같이, 이 우월적 지도가 상위 부호일 때마다 또 다른 중요한 상황이 발생한다: 이 경우 완전한 격자 X는 건설적으로 완전히 분배된다.완전한 분배성과 분배성(질서 이론)에 대한 조항도 참조하십시오.

이 절의 고려사항은 (부분의) 순서 이론의 개혁을 제안하는데, 여기서 속성은 대개 그 내부 구조를 고려하는 대신 물체들 사이의 관계(모형체, 보다 구체적으로: 결합체)를 참고하여 표현된다.이 관계에 대한 보다 자세한 고려사항은 순서 이론의 범주형 공식에 관한 기사를 참조하십시오.

참고 항목

• 기존 우월성/인피마 보존에 대한 제한보존 기능.
• 총순번

메모들

참조

• G. 마르코우스키와 B.K.Rosen. IBM Journal of Research and Development(연구 개발 저널)의 체인 완제품 기반.1976년 3월.
• 스티븐 블룸.컴퓨터 및 시스템 과학 저널을 주문하는 다양한 알헤브라스.1976년 10월.
• 마이클 스미스파워 도메인 컴퓨터 및 시스템 과학 저널.1978.
• 다니엘 레만컴퓨터 및 시스템 과학 저널 오더 대수학.1980년 8월.