한계 집합

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수학에서, 특히 역동적인 시스템에 대한 연구에서, 한계치 집합은 시간에서 앞으로 또는 뒤로 가면서 무한히 많은 시간이 흐른 후에 역동적인 시스템이 도달하는 상태를 말한다. 한계 집합은 역동적인 시스템의 장기적인 행동을 이해하는 데 사용될 수 있기 때문에 중요하다.

종류들

• 고정 포인트
• 주기 궤도
• 사이클을 제한하다
• 유인원

일반적으로 한계 집합은 이상한 유인기의 경우처럼 매우 복잡할 수 있지만, 2차원 동적 시스템의 경우 푸앵카레-벤딕슨 정리는 모든 비빈, 콤팩트한 $\Omega {\displaystyle }$ ${\style\omega$}-limit$$ 집합의 간단한 특성을 제공하며, 고정점, 주기적 궤도 또는 a로 미세하게 많은 고정점을 포함하고 있다. 고정점과 고정점을 연결하는 동음이의 또는 이질적 궤도의 결합.

반복 함수에 대한 정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 메트릭 공간으로 하고$$, f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\오른쪽$ 화살표 $X}$을(를) 연속 함수로 한다$$. 그 ω X{\displaystyle Xx\in}∈,ω(x, f){\displaystyle \omega(x,f)}에 의해 표시된, 전방 궤도의 클러스터 지점의 집합은iterated 기능 f의{fn())}n∈ N{\displaystyle\와 같이{f^{n}())\}_{n\in \mathbb{N}}}{\displaystyle f}.[1]Henc x-limit 세트{\displaystyle \omega}.e ${\displaystyle y\in \omega (x,f)}$ if and only if there is a strictly increasing sequence of natural numbers ${\displaystyle \{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ such that ${\displaystyle f^{n_{k}}(x)\rightarrow y}$ as ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$$$이것을 표현하는 또 다른 방법은

${\displaystyle \omega(x,f)=\bigcap _{n\in \mathb {N}{\n}{\overline {\{f^{k}(x:k)n\}}}},$

여기서 $S$의${\$은(는) 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 폐쇄를 의미한다$.$ 관심 있는 기본 메트릭 공간을 완전한 메트릭 공간으로 가정하지 않았기 때문에 여기서 폐쇄가 필요하다. 한계 집합의 포인트는 비원더링(단, 반복 포인트는 아닐 수 있음)이다. 이는 다음과 같은 일련의 집합의 외부 한계(limsup)로 공식화될 수도 있다.

${\displaystyle \omega(x,f)=\빅캡 _{n=1}^{\infline {\bigcup _{k=n}^{f^{f^{k}(x)}}}}}}}$

If ${\displaystyle f}$ is a homeomorphism (that is, a bicontinuous bijection), then the ${\displaystyle \alpha }$-limit set is defined in a similar fashion, but for the backward orbit; i.e. ${\displaystyle \alpha (x,f)=\omega (x,f^{-1})}$.

두 세트 모두 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ -invariant이며$$, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 콤팩트하면 콤팩트하고 비어 있지 않다.

흐름 정의

Given a real dynamical system (T, X, φ) with flow ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \times X\to X}$, a point x, we call a point y an ω-limit point of x if there exists a sequence ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ in R so that

${\displaystyle \lim _{n\to \ft }t_{n}=\ft }$

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle (t}$ n${\displaystyle {}_{}}$, x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infit }\varphi (t_{n}x)=y}$.

(T, X, φ)의 궤도 γ에 대해, 만약 궤도에 있는 어떤 점의 Ω 한계점이라면, 우리는 y가 y의 Ω 한계점이라고 말한다.

R에 sequence${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {n\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$이(가) 있는 경우 y를 x의 α-limit point라고 부르는 것과 유사하게 우리는 R에 있다.

${\displaystyle \lim _{n\to \ft }t_{n}=-\ft }$

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle (t}$ n${\displaystyle {}_{}}$, x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infit }\varphi (t_{n}x)=y}$.

(T, X, φ)의 궤도 γ에 대해, 만약 궤도에 있는 어떤 점의 α 한계점이라면, 우리는 y가 γ의 α 한계점이라고 말한다.

주어진 궤도 γ에 대한 모든 Ω-limit 지점(α-limit 지점)의 집합은 for에 대해 Ω-limit 세트(α-limit 세트)라고 하며, 림 lim_ω(lim_α γ)을 나타낸다.

Ω-limit 세트(α-limit set)가 궤도 from에서 분리되는 경우, 즉 im_ω = = = lim_α (lim ∩ ∩ = = ()는_ω Ω-limit 사이클_α(α-limit cycle)이라고 부른다.

또는 한계 세트를 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \lim_{\omega }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathb {R}{\\barphi(x,t):s\}}}}}$

그리고

${\displaystyle \lim_{\alpha }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathb {R}{\\barphi(x,t):t}.}$

예

• 동적 시스템의 모든 주기 궤도 γ에 대해, 임_ω γ = 임_α γ = 임 γ.
• 동적 시스템의 고정$$ 지점 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$에 대해, lim_ω ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $$= lim_α ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ $$= $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$

특성.

• 임_ω γ과 임_α γ은 닫힌다.
• X가 콤팩트할 경우_ω 림 γ과 림_α are은 비어 있지 않고 콤팩트하며 연결된다.
• im_ω γ과 im_α γ은 φ-invariant, 즉 φ(R × im_ω γ) = lim_ω, φ(R × im_α γ) = lim_α.

참고 항목

• 줄리아 세트
• 안정 세트
• 리미트 사이클
• 주기점
• 비원더링 집합
• 클라인 그룹

참조

추가 읽기

• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.

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