린드스트룀 정량기

수학 논리학에서 린드스트룀 계량기는 일반화된 폴리아디드 계량기다.린드스트룀 계량자는 실존 계량기, 보편 계량기, 계수 계량기와 같은 1차 계량기를 일반화한다.그것들은 1966년 페르 린드스트룀에 의해 소개되었다.그들은 나중에 컴퓨터 과학과 데이터베이스 질의 언어에서 논리학 응용을 위해 연구되었다.

1차 정량자의 일반화

토론을 용이하게 하기 위해서, 몇몇 논설적인 관습들은 설명이 필요하다.그 표현

\phi ^{A,x,{\bar{a}}=\{x\in A\colon A\models \phi [x,{\bar {a}]\}

언어 L의 L-구조물(또는 L-모델)^{[clarification needed]}용, L-포뮬라 및 ${\bar {a}}$ A의 도메인 ${\bar {a}}$ 돔(A) 요소의 튜플 ${\$ 즉, $\phi ^{A,x,{\bar {a}}}$ $\phi ^{A,x,{\bar {a}}}$ , $\phi ^{A,x,{\bar {a}}}$ , $\phi ^{A,x,{\bar {a}}}$ 의 ${\$ ^{ $A,x,{\bar{a}}}}$ 는 $\phi ^{A,x,{\bar {a}}}$ 돔(A)에 정의된 (모나치) 속성을 의미한다.일반적으로 x가 n-tuple $'{\$ 의 ${\bar {x}}$ 자유 변수인 $\phi ^{A,{\bar {x}},{\bar {a}}}$ A $\phi ^{A,{\bar {x}},{\bar {a}}}$ $\phi ^{A,{\bar {x}},{\bar {a}}}$ $\phi ^{A,{\bar {x}},{\bar {a}}}$ \ ${\$ 로 대체되는 $\phi ^{A,{\bar {x}},{\bar {a}}}$ 돔(A)에 정의된 n-ary 관계를 의미한다 $\phi ^{A,{\bar {x}},{\bar {a}}}$ .각 정량자는 그 구조에서 (관계 간) 관계의 가족으로 보기 때문에 각 정량자 ${\$ 는 구조물에 상대화된다 $Q_{A}$ .구체적인 예로 보편적, 실존적 정량자 ∀과 ∃을 각각 들 수 있다.그들의 진실 조건은 다음과 같이 명시될 수 있다.

A\models \forall x\pi [x,{\bar {a}]\iff \phi ^{A,x,{\bar{a}}\in \fall_{A}}}}

A\models \exists x\pi [x,{\bar {a}]\iff \phi ^{A,x,{\bar{a}}\exists _{A}}}

$\forall _{A}$ 서 $∀{\$ 는 유일한 멤버가 돔(A)인 싱글톤이고 $\forall _{A}$ , ${\$ 는 돔(A)의 모든 비빈 하위 집합(즉, 돔(A)의 전원 집합)이다 $\exists _{A}$ .즉, 각 정량자는 돔(A)에 있는 재산의 한 계열이므로, 각각을 모나치 정량기라고 한다.n > 0-ari 관계로 정의되는 돔(A)의 속성 사이의 정량자를 모나치(monicid)라고 한다.린드스트룀은 구조 영역의 관계들 사이의 관계들 사이의 n > 0-arry 관계인 폴리아디드들을 소개했다.

린드스트룀의 일반화로 넘어가기 전에, 돔(A)에 있는 모든 재산군은 단음이의 일반화된 계량기로 간주될 수 있음을 주목하십시오.예를 들어, 계량기는 "정확히 다음과 같은 것이 없다."는 구조물의 영역의 하위 집합으로, 각각 크기가 n인 카디널리티를 가지고 있다.그 다음, φ이 크기 2의 돔(A)의 모든 서브셋 집합의 멤버인 것 같은 것들의 집합이 A에 "정확히 2가지"가 진실이다.

린드스트룀 정량자는 폴리라디치 일반화된 정량기이므로, 대신 도메인의 서브셋 사이의 관계가 되는 것이, 도메인에 정의된 관계 사이의 관계다.For example, the quantifier $Q_{A}x_{1}x_{2}y_{1}z_{1}z_{2}z_{3}(\phi (x_{1}x_{2}),\psi (y_{1}),\theta (z_{1}z_{2}z_{3}))$ is defined semantically as

A\models Q_{A}x_{1}x_{2}y_{1}z_{1}z_{2}z_{3}(\phi ,\psi ,\theta )[a]\iff (\phi ^{A,x_{1}x_{2},{\bar {a}}},\psi ^{A,y_{1},{\bar {a}}},\theta ^{A,z_{1}z_{2}z_{3},{\bar {a}}})\in Q_{A}

^{[필요하다]}

어디에

\phi ^{A,{\bar {x},{\bar {a}}=\{(x_{1},\dots,x_{n})\in A^{n}\colon A\models \phi [{\bar {x},{a}]\\\}

${\bar {x}}$ x $'{\$ 변수의 경우 ${\bar {x}}$ .

Lindström 정량자는 매개변수의 수 구조에 따라 분류된다.예를 들어 $Qxy\phi (x)\psi (y)$ $Qxy\phi (x)\psi (y)$ $Qxy\phi (x)\psi (y)$ $Qxy\phi (x)\psi (y)$ ( $Qxy\phi (x)\psi (y)$ ) $Qxy\phi (x)\psi (y)$ ( $Qxy\phi (x)\psi (y)$ ) $Qxy\phi (x)\psi (y)$ {\ $displaystyle Qxy\phi (x)\psi (y)}$ 은 $Qxy\phi (x)\psi (y)$ 유형(1,1) 정량자이고, $Qxy\phi (x,y)$ x $Qxy\phi (x,y)$ $Qxy\phi (x,y)$ ( x $Qxy\phi (x,y)$ , $Qxy\phi (x,y)$ ) $Qxy\phi (x,y)$ 은 $Qxy\phi (x,y)$ 유형(2) 정량자다.타입 (1,1) 정량기의 예로는 하틱의 정량자 시험 등가선, 즉 {A, B ⊆ M: A = B }^{[clarification needed]}의 확장이 있다.유형(4) 정량기의 예는 Henkin 정량기이다.

표현성 계층 구조

이러한 방향의 첫 번째 결과는 유형(1,1) 정량화자가 유형(1) 정량화 측면에서 정의될 수 없다는 것을 보여준 린드스트룀(1966)에 의해 얻어졌다.로리 헬라(1989)가 정량자의 상대적 표현성을 증명하는 일반적인 기술을 개발한 후, 결과적인 위계질서는 정량자 유형에 의해 사전순으로 배열된 것으로 밝혀졌다.

(1) < (1, 1) < . . . < (2) < (2, 1) < (2, 1, 1) < . . . < (2, 2) < . . . (3) < . . .

모든 t 형식에 대해 t 형식보다 작은 정량자로 확장된 1차 로직에서 정의할 수 없는 형식의 정량자가 있다.

린드스트룀의 정리에 대한 전조로서

비록 린드스트룀은 현재 자신의 이름을 가진 정량자의 계층 구조를 부분적으로만 발전시켰을 뿐이지만, 어떤 일반화된 정량자로 확장될 때 일차 논리학의 어떤 좋은 성질이 없어지는 것을 관찰하기에 충분했다.예를 들어, "존재하는 것이 매우 많은" 계량자를 추가하면 압축성이 상실되는 반면, 1차 논리에 "존재할 수 없이 많은" 계량자를 추가하면 로젠하임-스콜렘 정리가 더 이상 충족되지 않는 논리가 된다.1969년 린드스트룀은 현재 린드스트룀의 정리라고 알려진 훨씬 더 강력한 결과를 증명했는데, 이 정리는 1차적 논리가 두 가지 속성을 모두 가진 "가장 강한" 논리라고 직관적으로 진술하고 있다.

알고리즘 특성화

참조

Lindstrom, P. (1966). "First order predicate logic with generalized quantifiers". Theoria. 32 (3): 186–195. doi:10.1111/j.1755-2567.1966.tb00600.x.
L. Hella. "일반화된 정량자의 정의 계층", "순수 및 응용 논리 연보, 43(3):235–271, 1989, doi:10.1016/0168-0072(89)90070-5.
L. Hella. "PTIME의 논리적 계층".제7회 IEEE 컴퓨터 과학 논리 심포지엄의 진행, 1992년.
L. Hella, K.루오스토, 그리고 J. 바아나넨."일반화된 정량자에 대한 계층 정리"기호 논리학 저널, 61(3):802–817, 1996.
Burtschick, Hans-Jörg; Vollmer, Heribert (1999), Lindström Quantifiers and Leaf Language Definability, ECCC TR96-005
Westerståhl, Dag (2001), "Quantifiers", in Goble, Lou (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell Publishing, pp. 437–460.
Antonio Badia (2009). Quantifiers in Action: Generalized Quantification in Query, Logical and Natural Languages. Springer. ISBN 978-0-387-09563-9.

추가 읽기

Jouko Vaenanen(ed.), Generalized Quantimators and Computing(일반화된 정량자 및 계산자) 제9회 유럽 여름 논리학, 언어학, 정보학부. ESSLI'97 워크샵. 1997년 8월 11일-22일 프랑스 Aix-en-Provence. 개정 강의, 컴퓨터 과학 1754, ISBN 3-540-66993-0

외부 링크

Dag Westersthl, 2011년 '일반 정량자'스탠포드 철학 백과사전

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