선형-4차 조절기

최적 제어 이론은 최소 비용으로 동적 시스템을 운영하는 것과 관련이 있습니다.시스템 역학을 일련의 선형 미분 방정식으로 설명하고 비용을 2차 함수로 설명하는 경우를 LQ 문제라고 합니다.이론의 주요 결과 중 하나는 다음과 같은 방정식이 주어지는 피드백 제어 장치인 선형 4차 조절기(LQR)에 의해 솔루션이 제공된다는 것입니다.LQR은 LQG(선형-4차-가우스) 문제에 대한 해결책의 중요한 부분입니다.LQR 문제 자체와 마찬가지로 LQG 문제는 제어 이론의 가장 근본적인 문제 중 하나입니다.

개요

기계 또는 프로세스(비행기 또는 화학 원자로 등)를 지배하는 (규제) 제어기의 설정은 인간(엔지니어)이 공급하는 가중 계수로 비용 함수를 최소화하는 수학적 알고리즘을 사용하여 찾을 수 있습니다.비용 함수는 종종 고도 또는 공정 온도와 같은 주요 측정값의 편차를 원하는 값에서 합한 값으로 정의됩니다.따라서 알고리즘은 불필요한 편차를 최소화하는 컨트롤러 설정을 찾습니다.통제 조치 자체의 규모도 비용 함수에 포함될 수 있다.

LQR 알고리즘은 제어 시스템 엔지니어가 컨트롤러를 최적화하기 위해 수행하는 작업량을 줄입니다.그러나 엔지니어는 여전히 비용 함수 모수를 지정하고 결과를 지정된 설계 목표와 비교해야 합니다.컨트롤러 구축은 엔지니어가 시뮬레이션을 통해 생성된 "최적의" 컨트롤러를 판단하고 설계 목표에 부합하는 컨트롤러를 생산하기 위해 파라미터를 조정하는 반복적인 프로세스인 경우가 많습니다.

LQR 알고리즘은 기본적으로 적절한 상태 피드백 컨트롤러를 찾는 자동화된 방법입니다.따라서 제어 엔지니어가 제어기 매개변수와 제어기 동작 사이에 명확한 관계가 있는 폴 배치라고도 하는 전체 상태 피드백과 같은 대체 방법을 선호하는 것은 드문 일이 아니다.적절한 가중 계수를 찾는 것이 어렵기 때문에 LQR 기반 제어기 합성의 적용이 제한됩니다.

유한 수평 연속 시간 LQR

t $t\in [t_{0},t_{1}]$ [ $t\in [t_{0},t_{1}]$ 0 , $t\in [t_{0},t_{1}]$ $]{$ $displaystyle$ t $\in$ [ $t_{0$ , $t_{1$ } $t\in [t_{0},t_{1}]$ }에서 정의된 연속시간 선형 시스템의 경우 다음과 같이 설명합니다.

{x}}=Ax+Bu

$x\in \mathbb {R} ^{n}$ 서 x $x\in \mathbb {R} ^{n}$ R $x\in \mathbb {R} ^{n}$ \ $displaystyle$ x \ $in$ \ $mathbb$ { $R }$ 는 $x\in \mathbb {R} ^{n}$ 시스템 $상태이고$ u ${\$ $u\in \mathbb {R} ^{m}$ m { $displaystyle u\in$ \ $mathbb$ { R $}는$ 제어 입력입니다 $u\in \mathbb {R} ^{m}$ .

2차 비용 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

J=x^{T}(t_{1})F(t_{1}x(t_{1})+\int \limits _{t_{0}^{t_{1}}\left(x^{T}Qx+u^{T}Ru+2x^{}T}Nu\right)dt

비용 가치를 최소화하는 피드백 관리법은 다음과 같습니다.

{{displaystyle u=-Kx}

$K$ 서 K $(\displaystyle$ K $)$ 는 $K$ 다음과 같이 지정됩니다.

({displaystyle K=R^{-1}(B^{T}P(t)+N^{T}),}

$(\displaystyle$ P $)$ 는 $P$ 연속 시간 Riccati 미분 방정식을 풀어서 구할 수 있습니다.

A^{T}+P(t)A-(P(t)B+N)R^{-1}(B^{T)+N^{T}+Q=-{\dot {P}}(t,)

경계 조건의 경우:

\displaystyle P(t_{1})=F(t_{1}).}

J의_min 첫 번째 주문 조건은 다음과 같습니다.

1) 상태 방정식

{x}}=Ax+Bu

2) 동일 상태 방정식

-{\dot {\dot}}=Qx+Nu+A^{T}\lambda

3) 정상식

0=Ru+N^{T}x+B^{T}\lambda

4) 경계조건

\displaystyle x(t_{0})=x_{0}

$\lambda (t_{1})=F(t_{1})x(t_{1})$ $\lambda (t_{1})=F(t_{1})x(t_{1})$ ( $\lambda (t_{1})=F(t_{1})x(t_{1})$ 1) $\lambda (t_{1})=F(t_{1})x(t_{1})$ ( $\lambda (t_{1})=F(t_{1})x(t_{1})$ ) $\lambda (t_{1})=F(t_{1})x(t_{1})$ ( $\lambda (t_{1})=F(t_{1})x(t_{1})$ 1) $\lambda (t_{1})=F(t_{1})x(t_{1})$ { $displaystyle$ \ $displayda$ ( $t_{1$ } $= F$ ( $t$ _ { $1} x$ ( t _ ${$ 1} ) $\lambda (t_{1})=F(t_{1})x(t_{1})$ }

무한 수평 연속 시간 LQR

연속 시간 선형 시스템의 경우:

{x}}=Ax+Bu

비용 함수는 다음과 같습니다.

J=\int _{0}^{\infty}\left(x^{T}Qx+u^{T}Ru+2x^{T}Nu\right)dt

비용 가치를 최소화하는 피드백 관리법은 다음과 같습니다.

{{displaystyle u=-Kx}

$K$ 서 K $(\displaystyle$ K $)$ 는 $K$ 다음과 같이 지정됩니다.

({displaystyle K=R^{-1}(B^{T}P+N^{T}),

$(\displaystyle$ P $)$ 는 $P$ 연속 시간 대수 리카티 방정식을 풀어 구한다.

({displaystyle A^{T}P+PA-(PB+N)R^{-1}(B^{T}P+N^{T})+Q=0,}

이것은 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

{A}^{T}P+P{\mathcal {A}-PBR^{-1}B^{T}P+{\mathcal {Q}}=0,

와 함께

{{displaystyle {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {Q}=Q-NR^{-1}N^{T},}

유한수평 이산시간 LQR

이산 시간 선형 시스템의 경우:

x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k},

퍼포먼스 지수를 다음과 같이 정의합니다.

)(\

H_{p}}^{T}Qx_{

H_{p}}+\sum \sum _{k=0}^{

H_{p}-1}\left(x_{k}^{T}Qx_{

k}+

u_{k}^{T}Ru_{

k}+

2x_{

k}^{T

}Nu_{k}\

right

J=x_{H_{p}}^{T}Qx_{H_{p}}+\sum \limits _{k=0}^{H_{p}-1}\left(x_{k}^{T}Qx_{k}+u_{k}^{T}Ru_{k}+2x_{k}^{T}Nu_{k}\right)

H_{p}

서

H_{p}

{

H_

{p}

는

H_{p}

타임호라이즌입니다.

성능 지수를 최소화하는 최적의 제어 시퀀스는 다음과 같이 구한다.

{\displaystyle u_{k}=-F_{k}x_{k},

여기서:

{\displaystyle F_{k}=(R+B^{T}P_{k+1}B)^{-1}(B^{T}P_{k+1}A+N^{T}},

$P_{k}$ k {\ $displaystyle$ P_ ${k$ }}는 $P_{k}$ 동적 Riccati 방정식에 의해 시간 역순으로 반복적으로 구할 수 있습니다.

P_{k-1}=A^{T}P_{k}A-(A^{T}P_{k}B+N)\left(R+B^{T}P_{k}B\right)^{-1}(B^{T}P_{k}A+N^{T})+Q

터미널 $P_{N}=Q$ $P_{N}=Q$ $P_{N}=Q$ {\ $displaystyle P_{$ $N}$ $= Q$ ^[2] 。x ${$ $displaystyle$ $x$ }는 $u_{N}$ $x$ A $Ax_{N-1}+Bu_{N-1}$ - $Ax_{N-1}+Bu_{N-1}$ + $Ax_{N-1}+Bu_{N-1}$ - $Ax_{N-1}+Bu_{N-1}$ { \ $displaystyle$ x _ { N $x_{N}$ }에 $x_{N}$ $Ax_{N-1}+Bu_{N-1}$ 최종 $x_{N}$ x N $(\$ })로 $x$ 되므로 $(\$ x_ ${N$ })은 정의되어 있지 $u_{N}$ .

무한 수평, 이산 시간 LQR

이산 시간 선형 시스템의 경우:

x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k},

퍼포먼스 지수를 다음과 같이 정의합니다.

{{displaystyle J=\sum \sum _{k=0}^{\infty}\left(x_{k}^{T}Qx_{k}+u_{k}^{T}Ru_{k}+2x_{k}^{T}Nu_{k}\right}

성능 지수를 최소화하는 최적의 제어 시퀀스는 다음과 같이 구한다.

u_{k}=-Fx_{k},

여기서:

F=(R+B^{T})PB)^{-1}(B^{T}PA+N^{T}),

$P$ {\ $displaystyle$ P $}$ 는 $P$ 이산 시간 대수 리카티 방정식(DARE)에 대한 고유한 양의 확정해이다.

P=A^{T}PA-(A^{T}PB+N)\left(R+B^{T}PB\right)^{-1}(B^{T}PA+N^{T})+Q

PB\right)^{-1}(B^{T}PA+N^{T}+Q

이것은 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

P=mathcal {A}^{T}P{\mathcal {A}-{\mathcal {A}^{T}PB\left(R+B^{T})PB\right)^{-1}B^{T}P{\mathcal {A}}+{\mathcal {Q}}

포함:

{\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}

{\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}

{\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}

-

{\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}

-

{\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}

N

{\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}

{\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}

{\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}

-

R

-

{\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}

{\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}

T

{\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}

({

displaystyle

{

{\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}

A } =

{\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}

A - BR ^ { - 1 } N ^ { T

{\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}

} \

qquad ({

Q } = Q - NR

^

{ -

1

N

^

{ T } )

대수적 리카티 방정식을 푸는 한 가지 방법은 유한 수평 케이스의 동적 리카티 방정식을 수렴할 때까지 반복하는 것입니다.

레퍼런스

^ Chow, Gregory C. (1986). Analysis and Control of Dynamic Economic Systems. Krieger Publ. Co. ISBN 0-89874-969-7.
^ Shaiju, AJ, Petersen, Ian R. (2008). Formulas for discrete time LQR, LQG, LEQG and minimax LQG optimal control problems. IFAC Proceedings Volumes. Vol. 41. Elsevier. pp. 8773--8778.

Kwakernaak, Huibert & Sivan, Raphael (1972). Linear Optimal Control Systems. First Edition. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-51110-2.

Sontag, Eduardo (1998). Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition. Springer. ISBN 0-387-98489-5.

외부 링크

[1] Chow, Gregory C. (1986). Analysis and Control of Dynamic Economic Systems. Krieger Publ. Co. ISBN 0-89874-969-7.

[2] Shaiju, AJ, Petersen, Ian R. (2008). Formulas for discrete time LQR, LQG, LEQG and minimax LQG optimal control problems. IFAC Proceedings Volumes. Vol. 41. Elsevier. pp. 8773--8778.

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