리우빌 역학계

고전역학에서, Liouville 동적 시스템은 운동 에너지 T와 위치 에너지 V가 다음과 ^[1]같이 일반화 좌표 q로 표현될 수 있는 정확히 해결 가능한 동적 시스템이다.

${{displaystyle T=param frac {1}{2}(q_{1})\left\{u_{2}(q_{2})+\cdots +u_{s}(q_{s})\right\}\left\{v}{q}{1}{1}\dot_{2}_{v2}_2}_v2}$

${\displaystyle V=frac {w_{1}(q_{1})+w_{2}(q_{2})+\cdots +w_{s}(q_{s})}{u_{1}(q_{1})+u_{2}(q_{2})+\cdots +u_{s}(q_{s})}}$

이 시스템의 솔루션은 분리할 수 있는 적분 방정식 세트로 구성됩니다.

$디스플레이 스타일 {frac {2})Y}},dt=subscfrac {d\varphi _{1}}{\subscrt {E\chi _{1}+\subsci _{1}}}=subscfrac {d\varphi _{2}-\subscrt {E\chi _2}-\varphi _{2}}={cdbcdfrcdfrcdfrcd}_{{{1}}}}}$

여기서 E = T + V는 보존된 에너지이고 ${\displaystyle {\delta }_{}}$s {\$displaystyle \displaystyle$ _${s}}$은 상수입니다.아래와 같이 변수가 q에서_s ,로_s 변경되어 함수_s u와_s w가 to과_s ω로_s 대체되었다.이 해법은 뉴턴 중력의 영향을 받는 두 개의 고정된 별 주위에 있는 작은 행성의 궤도와 같은 수많은 응용 분야를 가지고 있다.리우빌 역학계는 프랑스의 저명한 수학자 조셉 리우빌의 이름을 딴 여러 가지 중 하나이다.

쌍심 궤도 예시

고전 역학에서, 오일러의 삼체 문제는 뉴턴 중력이나 쿨롱의 법칙과 같은 역제곱 힘으로 입자를 끌어당기는 두 개의 고정된 중심들의 영향을 받는 평면에서의 입자의 움직임을 기술합니다.바이센터 문제의 예로는 느리게 움직이는 두 개의 별 주위를 이동하는 행성이나 수소 분자₂ H의 첫 번째 이온, 즉 수소 분자 이온 또는₂⁺ H와 같은 두 개의 양전하 핵의 전기장 내에서 이동하는 전자가 포함된다.두 개의 끌어당기는 강도가 같을 필요는 없습니다. 따라서 두 별은 질량이 다르거나 핵이 서로 다른 전하 두 개를 가질 수 있습니다.

솔루션

x축을 따라 ±a에 고정 흡인 중심이 위치하도록 한다.움직이는 입자의 위치 에너지는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle V(x,y)=paramfrac {-\mu _{1}{\paramrt {\left(x-a\right)^2}+y^{2}}-{\paramrt {\frac {\mu _{2}}-{\paramfright(x+a\})^{2}}.}$

끌어당기는 두 개의 중심은 타원 집합의 포치로 간주할 수 있습니다.만약 어느 하나의 중심이 없다면, 입자는 케플러 문제의 해결책으로 이 타원들 중 하나를 움직일 것입니다.따라서, 보닛의 정리에 따르면, 같은 줄임표는 양원 문제에 대한 해답이다.

타원 좌표 도입 중

$(\displaystyle x=a\cosh \xi \cos \eta , )$

$(\displaystyle y=a\sinh \xi \sin \eta , )$

잠재적 에너지는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle V(\xi,\eta)=param frac {-\mu _{1}{a\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}-{\frac {{mu _{2}}{a\left(\cosh \xi +\eta \eta \right)}}}= specfrac {-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \right)},$

운동 에너지가

$({displaystyle T=ma^{2}}{2}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)\dot {{xi }^2}+{\dot {\eta }^{2}\right).}$

이것은 θ와 θ가 각각 θ와₁ θ로₂ 간주될 경우 Liouville 동적 시스템이다. 따라서 함수 Y는 다음과 같다.

${\displaystyle Y=\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta }$

그리고 함수 W는

$\displaystyle W=-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}$

아래의 Liouville 다이내믹 시스템에 대한 일반 솔루션을 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${{displaystyle {ma^{2}}{2}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}{\dot {xi }{2}=E\cosh ^{2}\xi +\frac {{mu _{1}+\mu _{2}}{\cosh}{\cosh}\xi}\cosh}{\cosh}{{{\cosh}{\cosh}{\cosh}{\cosh}\cosh}{{{\ci}$

${{displaystyle {ma^{2}}{2}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}{\dot {eta }^2}{2}{\dot {\cos ^{2}\eta} +\frac {{{1}-\frac {{{{{{{2}}}}\cos }\light} \cos ^{\cos } \cos } \cos } \cos ^{\cos } {\cos } \cos } } }$

공식에 의한 파라미터 u 도입

${\displaystyle du=csfrac {d\xi }{\csfrc {E\cosh ^2}\xi +\left \frac {{1} +\mu _{2}})\cosh \xi -\cos } =csfrac {d\eta } {\frc {d-} {\freta} {\fr}$

파라메트릭 솔루션을 제공합니다.

${\displaystyle u=\int {frac {d\xi } {\cosh ^{2} \xi +\leftfrac {{1} +\mu _{2}} =\int {frac {d\eta} +\cos2}}$

이들은 타원 적분이기 때문에 좌표 θ와 θ는 u의 타원함수로 표현될 수 있다.

운동 상수

양심원 문제는 항상 움직인다. 즉,

${\displaystyle r_{1}^{2}^2}\leftfrac {d\theta _{1}{dt}}\right}\frac {d\theta _{2}\left[\mu _{1}\cos \theta _{2}\t}\frac {dt}\frac {dt}\t}\frac {dt}\t}\t}_cos}_cos {{cos}_cos}_cos}$

마지막 승수의 방법을 사용하여 문제를 해결할 수 있습니다.

파생

새 변수

v 함수를 제거하기 위해 변수가 동등한 집합으로 변경됩니다.

${\displaystyle \varphi _{r}=\int dq_{r}{\displayrt {v_{r}(q_{r}}}},$

관계를 주다

${{displaystyle v_{1}(q_{1}) {\dot {q}_{2}+v_{2}(q_{2}) {\dot {q_{s}+cdots +v_{s}(q_{s}) {\dot {q}_{2}{{1} = {dot {q} {dot {{{1} {{2} {dots} {dots} {{2} {dots} {{2} {{2}$

새로운 변수 F를 정의합니다.새로운 변수를 사용하여 u 및 w 함수를 동등한 함수 can 및 ω로 표현할 수 있습니다.functions 함수의 합계를 Y로 나타내면,

$\displaystyle Y=\chi _{1}(\varphi _{1})+\chi _{2}(\varphi _{2})+\cdots +\chi _{s}(\varphi _{s}),}$

운동 에너지는 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle T=black {1}{2}}YF.}$

마찬가지로 similarly 함수의 합계를 W로 나타냅니다.

${\displaystyle W=\obega _{1}(\varphi _{1})+\obega _{2}+\cdots +\obega _{s}(\varphi _{s}),}$

잠재적 에너지 V는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle V=black {W}{Y}}$

라그랑주 방정식

r^th 변수 $\$의 라그랑주 방정식은 다음과 같습니다.

$(\displaystyle\frac {dt}\frac {dt}\frak {\partial\dot\varphi}_{r}\right)=frac {d}{dt}\left(Y{\dot\varphi}}_{r}\f}\frak {\f}\f}\fright)}$

양변에 2 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {both}_{}}${\$displaystyle 2Y${\$dot${\$varphi }}_{$r$\}\}$를 곱하고 2T = YF의 관계를 활용하면 방정식이 생성됩니다.

$\displaystyle 2Y{\dot {varphi }}_{r}{\frac {d}{dt}}\left(Y{\dot {varphi}}}_{r}\right)= 2T{\dot \varphi }_{r}{\frac \varphi _{r}}-2Y{\dot \varphi }{\frac V}{\frac \varphi _{r}=2dot {varphi }{r}$

라고 쓸 수 있다

${\displaystyle {d}{dt}}\left(Y^{2}){\dot {varphi}}_{r}^{2}\오른쪽)=2E{\dot {varphi }}_{r}{\frac Y}{\partial \varphi }}_{r}}-24도트 {varphi }{r}{\frac W}{\partial \varphi }=2E {\varphi } {\frci } {\frci }$

여기서 E = T + V는 (절약된) 총 에너지입니다.따라서

$({displaystyle {d}{dt}\left(Y^{2}{\dot {varphi}}_{r}^2}\right)=2cfrac {d}{dt}\left(E\chi _{r}-\Omega _{r}\right))$

한 번 통합하여 산출할 수 있습니다.

$(\displaystyle\frac{1}{2})Y^{2}{\dot {\varphi }}_{r}^{2}=E\chi _{r}-\Omega _{r}+\dot _{r}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 §$$r \$displaystyle \display_{r}$은 에너지$$ 절약의 대상이 되는 통합 상수입니다.

${\displaystyle \sum _{r=1}^{s}\displaystyle _{r}=0.}$

반전, 제곱근, 변수 분리는 분리할 수 있는 일련의 적분 방정식을 생성합니다.

$디스플레이 스타일 {frac {2})Y}}dt=sncfrac {d\varphi _{1}}{\sncrt {E\chi _{1}-\osmega _{1}+\snc_{1}}=sncfrac {d\varphi _{2}-\sncdfrt {E\cd}}=cdfrcd frcd frcd_{{1}}$

레퍼런스

추가 정보

• Whittaker, ET (1937). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies (4th ed.). New York: Dover Publications. ISBN.