오일러 삼체 문제

물리학과 천문학에서 오일러의 삼체 문제는 공간에 고정된 두 개의 다른 점질량의 중력장에 의해 작용하는 입자의 운동을 해결하는 것입니다. 이 문제는 정확히 해결 가능하며, 프롤레이트와 편원형 스페로이드의 중력장에서 움직이는 입자에 대한 대략적인 해결책을 산출합니다. 이 문제는 레온하르트 오일러의 이름을 따서 지어졌는데, 그는 1760년에 출판된 회고록에서 이 문제를 논의했습니다. 중요한 확장과 분석은 이후 라그랑주, 리우빌, 라플라스, 야코비, 다르부,^{[citation needed]} 르 ^{[citation needed]}베리에, 벨데, 해밀턴, 푸앵카레, 버호프 및 E.T.에 의해 기여되었습니다. Whittaker,^{[citation needed]} 그 중에서도.^[1]

오일러의 문제는 입자가 쿨롱의 법칙에 의해 설명된 정전기 상호작용과 같은 다른 역제곱 중심 힘에 의해 작용하는 경우도 포함합니다. 오일러 문제의 고전적인 해결책은 이원자 이온 HeH와²⁺ 같은 두 원자핵의 장에서 움직이는 단일 전자의 에너지 수준에 대한 반고전적 근사를 사용하여 화학적 결합을 연구하는 데 사용되었습니다. 이것은 분자 수소의 첫 번째 이온, 즉 수소 분자-이온 H에₂⁺ 대한 연구인 아놀드 소머펠트의 박사 논문에서 볼프강 파울리에 의해 처음으로 이루어졌습니다.^[2] 이러한 에너지 수준은 원자 수소의 보어 모델의 기초이기도 한 아인슈타인-브릴루인-켈러 방법을 사용하여 합리적인 정확도로 계산할 수 있습니다.^[3][4] 보다 최근에는 양자역학 버전에서 더 자세히 설명된 바와 같이 고유값(에너지)에 대한 분석 솔루션이 얻어졌습니다. 이는 램버트 W 함수의 일반화입니다.

전체 3차원의 경우 정확한 풀이는 Weierstrass의 타원 함수로^[5] 표현될 수 있습니다. 편의상, 운동 방정식의 룽지-쿠타 적분과 같은 수치적 방법으로도 문제를 해결할 수 있습니다. 움직이는 입자의 총 에너지는 보존되지만 선운동량과 각운동량은 보존되지 않습니다. 왜냐하면 두 고정된 중심이 알짜 힘과 토크를 가할 수 있기 때문입니다. 그럼에도 불구하고, 입자는 각운동량 또는 제한된 경우로서 라플라스-룽지-렌츠 벡터에 해당하는 두 번째 보존된 양을 가지고 있습니다.

오일러 삼체 문제는 두 고정 중심의 문제, 오일러-야코비 문제, 두 중심 케플러 문제 등 다양한 이름으로 알려져 있습니다. 오일러 문제에 대한 다양한 일반화가 알려져 있습니다. 이러한 일반화는 선형 및 역입방 힘과 최대 5개의 힘 중심을 추가합니다. 이러한 일반화된 문제의 특별한 경우로는 다르부의 문제와^[6] 벨데의 문제가 있습니다.^[7]

개요 및 이력

오일러의 삼체 문제는 거리에 따라 감소하는 중심 힘으로 입자를 끌어당기는 두 중심의 영향을 받는 입자의 운동을 뉴턴 중력이나 쿨롱 법칙과 같은 역제곱 법칙으로 설명하는 것입니다. 오일러의 문제의 예로는 수소 분자 이온과 같은 두 핵의 전기장에서 움직이는 전자가 있습니다. H+2. 두 역제곱 힘의 세기는 동일할 필요는 없습니다. 예를 들어 두 핵은 분자 이온 HeH에서와²⁺ 같이 서로 다른 전하를 가질 수 있습니다.

오일러의 삼체 문제에서 우리는 두 인력 중심이 정지되어 있다고 가정합니다. 이것은 H+2와 같은 경우에는 엄격하게 사실이 아니지만, 양성자는 전자보다 훨씬 적은 가속도를 경험합니다. 그러나 오일러 삼체 문제는 두 별의 중력장에서 움직이는 행성에는 적용되지 않습니다. 그 경우 적어도 하나의 별은 행성이 경험하는 것과 비슷한 가속을 경험하기 때문입니다.

이 문제는 레온하르트 오일러에 의해 처음으로 고려되었는데, 그는 1760년에 정확한 해를 가지고 있다는 것을 보여주었습니다.^[8] 조셉 루이스 라그랑주는 중심이 선형 힘과 역제곱 힘을 모두 발휘하는 일반화된 문제를 해결했습니다.^[9] Carl Gustav Jacobi는 고정된 두 중심의 축을 중심으로 한 입자의 회전이 분리되어 평면 문제에 대한 일반적인 3차원 문제가 감소할 수 있음을 보여주었습니다.^[10]

2008년, 비르카우저는 "천체역학에서의 적분 가능한 시스템"이라는 제목의 책을 출판했습니다.^[11] 이 책에서 아일랜드 수학자 Diarmuid Oó Mathuna는 평면의 두 고정 중심 문제와 3차원 문제 모두에 대한 닫힌 형태의 솔루션을 제공합니다.

운동상수

고정된 두 중심의 문제는 에너지를 보존합니다. 즉, 총 에너지 E는 운동 상수입니다. 퍼텐셜 에너지는 다음에 의해 주어집니다.

${\displaystyle V(\mathbf {r})=-{\frac {\mu_{1}}{r_{1}}-{\frac {\mu_{2}}{r_{2}}}$

여기서 r은 입자의 위치를 나타내고 r과₁ r은₂ 입자와 힘의 중심 사이의 거리이며 μ와₁ μ는₂ 각각 첫 번째 힘과 두 번째 힘의 세기를 측정하는 상수입니다. 총 에너지는 이 퍼텐셜 에너지와 입자의 운동 에너지의 합과 같습니다.

${\displaystyle E={\frac {1}{2m}}\left \mathbf {p} \right ^{2}+V(\mathbf {r})}$

여기서 m과 p는 각각 입자의 질량과 선운동량입니다.

오일러의 문제에서는 두 힘 중심이 입자에 외부 힘처럼 작용하여 입자에 알짜 힘과 토크를 발생시킬 수 있기 때문에 입자의 선운동량과 각운동량이 보존되지 않습니다. 그럼에도 불구하고 오일러의 문제는 두 번째 운동 상수를 갖습니다.

${\displaystyle r_{1}^{2}r_{2}^{2}\left ({\frac {d\theta_{1}}\right)\left ({\frac {d\theta_{2}}\right)-2a\left[\mu_{1}\cos \theta_{1}+\mu_2}\cos \theta_{2}\right]$

여기서 2a는 두 힘의 중심을 분리한 것이고, θ과 θ은 입자와 힘의 중심을 연결한 선의 각도입니다. 이 두 번째 운동 상수는 E.T.에 의해 확인되었습니다. 휘태커는 해석역학에 관한 그의 연구에 참여했고,^[12] 1967년에 콜슨과 조셉에 의해 t차원으로 일반화되었습니다.^[13] 콜슨-요셉 양식에는 운동 상수가 적혀 있습니다.

${\displaystyle B=\left \mathbf {L} \right ^{2}+a^{2}\left \mathbf {p} \right ^{2}-2a\left[\mu_{1}\cos \theta_{1}+\mu_{2}\cos \theta_{2}\right]}$

이 운동 상수는 두 힘의 중심이 하나의 점(a → 0)으로 수렴할 때 한계의 총 각운동량 L에 해당하며, 중심 중 하나가 무한대로 갈 때 한계의 라플라스-룽지-렌츠 벡터 A에 비례합니다(x - a는 유한한 상태인 반면 → ∞).

양자역학 버전

양자역학적 삼체 문제의 특별한 경우는 수소 분자 이온인⁺
₂ H입니다. 세 개의 몸체 중 두 개는 핵이고 세 번째는 빠르게 움직이는 전자입니다. 두 개의 핵은 전자보다 1800배 무겁기 때문에 고정된 중심으로 모델링됩니다. 슈뢰딩거 파동 방정식은 프로판 구형 좌표에서 분리 가능하며 에너지 고유값과 분리 상수에 의해 결합된 두 개의 일반 미분 방정식으로 분리될 수 있다는 것은 잘 알려져 있습니다.^[14] 그러나 솔루션은 기본 집합에서 시리즈 확장이 필요했습니다. 그럼에도 불구하고 실험수학을 통해 에너지 고유값이 수학적으로 램버트 W 함수의 일반화임을 알 수 있었습니다(자세한 내용은 램버트 W 함수 및 참고문헌 참조). 클램핑된 핵의 경우 수소 분자 이온은 컴퓨터 대수 시스템 내에서 완전히 계산될 수 있습니다. 그 해결책이 암묵적 기능이라는 사실은 그 자체로 드러납니다. 이론 물리학의 성공 중 하나는 단순히 수학적 처리가 가능한 문제가 아니라 분석 솔루션, 바람직하게는 닫힌 형태 솔루션이 분리될 때까지 관련된 대수 방정식을 상징적으로 조작할 수 있다는 것입니다. 삼체 문제의 특수한 경우에 대한 이러한 유형의 해결책은 양자 삼체 및 다체 문제에 대한 분석적 해결책으로 가능한 것의 가능성을 보여줍니다.

일반화

1911년 아담 힐테비텔은 오일러 3체 문제의 가용성 일반화에 대한 철저한 분석을 수행했습니다. 오일러 삼체 문제의 가장 간단한 일반화는 선형 후크 힘(후크의 법칙을 부여함)만을 작용하는 원래의 두 중심 사이의 중간에 세 번째 힘 중심을 추가하는 것입니다. 다음 일반화는 거리에 따라 선형적으로 증가하는 힘으로 역제곱 힘 법칙을 증가시키는 것입니다. 최종적인 일반화 집합은 두 개의 고정된 힘 중심을 허수인 위치에 더하는 것으로 선형 및 역제곱 법칙이며, 힘은 허수 중심의 축에 평행하고 그 축까지의 거리의 역제곱으로 변화합니다.

원래 오일러 문제의 해결책은 평평한 물체의 중력장에서 입자의 운동, 즉 시가 모양과 같이 한쪽 방향으로 길게 연장된 구에 대한 근사적인 해결책입니다. 편원 구면(한 방향으로 찌그러진 구)의 장에서 움직이는 입자에 대한 대응하는 근사해는 두 힘 중심의 위치를 허수로 만들어 얻어집니다. 대부분의 행성, 별, 은하가 대략적으로 편원형이기 때문에 편원형 구상체 해는 천문학적으로 더 중요합니다. 프롤레이트 구상체는 매우 희귀합니다.

일반 상대성 이론에서 편평한 경우의 아날로그는 커 블랙홀입니다.^[15] 이 물체 주변의 측지학은 카터 상수로 알려진 네 번째 운동 상수(에너지, 각운동량, 4운동량의 크기 외에도)가 존재하기 때문에 적분 가능한 것으로 알려져 있습니다. 오일러의 이상한 3체 문제와 커 블랙홀은 동일한 질량 모멘트를 공유하며, 이는 후자의 메트릭이 커-실드 좌표로 작성된 경우 가장 명확합니다.

선형 후크 항으로 증가된 편원 케이스의 아날로그는 커 드 시터 블랙홀입니다. 훅의 법칙처럼 우주 상수항은 원점으로부터의 거리에 선형적으로 의존하며, 커-드 시터 시공간도 운동량에 카터형 상수 2차를 인정합니다.^[16]

수학적 해

원 오일러 문제

원래 오일러 문제에서는 입자에 작용하는 두 힘의 중심이 공간에 고정되어 있다고 가정합니다. 이 중심들이 x축을 따라 ±a에 위치하도록 합니다. 마찬가지로 입자는 두 힘의 중심을 포함하는 고정된 평면에 국한된 것으로 가정됩니다. 이 중심들의 장에서 입자의 퍼텐셜 에너지는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle V(x,y)={\frac {-\mu _{1}}{\sqrt {\left(x-a\right)^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\mu _{2}}{\sqrt {\left(x+a\right)^{2}+y^{2}}}}.}$

여기서 비례 상수 μ와₁ μ는₂ 양수 또는 음수일 수 있습니다. 두 개의 끌림 중심은 타원 집합의 초점으로 간주될 수 있습니다. 만약 두 중심 중 하나가 없다면, 입자는 케플러 문제의 해결책으로 이 타원들 중 하나 위에서 움직일 것입니다. 따라서, 보닛의 정리에 따르면 오일러 문제의 해는 같은 타원들입니다.

타원 좌표를 소개합니다.

${\displaystyle \,x=\,a\cosh \xi \cos \eta,}$

${\displaystyle \,y=\,a\sinh \xi \sin \eta,}$

퍼텐셜 에너지는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}V(\xi,\eta)&={\frac {-\mu_{1}}{a\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}}-{\frac {\mu_{2}}{a\left(\cosh \xi +\coseta \right)}}\[8pt]&={\frac {-\mu_{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu_{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}{a\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)}},\end{aligned}}}$

운동 에너지는 다음과 같습니다.

${\displaystyle T={\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)\left ({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}\right)}$

ξ와 η를 각각 φ와 φ로 취하는 경우 이는 Liouville 동적 시스템입니다. 따라서 함수 Y는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \,Y=\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta }$

함수 W는 다음과 같습니다.

${\displaystyle W=-\mu_{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu_{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}$

Liouville 동적 시스템에 대한 일반적인 해결책을 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다.^[17]

${\displaystyle {\frac {ma^{2}}{2}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\xi }}^{2}=E\cosh ^{2}\xi +\left ({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}\right)\cosh \xi -\gamma }$

${\displaystyle {\frac {ma^{2}}{2}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\eta }}^{2}=-E\cos ^{2}\eta +\left ({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}\right)\cos \eta +\gamma }$

공식으로 매개변수 u 도입

${\displaystyle du={\frac {d\xi}}{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left ({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}\right)\cosh \xi -\gamma }}={\frac {d\eta}{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left ({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}\right)\cos \eta +\gamma }}}$

모수 해를 제공합니다.

${\displaystyle u=\int {\frac {d\xi}{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left ({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}\right)\cosh \xi -\gamma }}=\int {\frac {d\eta}{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left ({ {\mu _{1}-\mu _{2}}\right)\coseta +\gamma }}.$

이들은 타원적분이므로 좌표 ξ과 η은 u의 타원함수로 표현할 수 있습니다.

참고 항목

참고문헌

더보기

• Hiltebeitel AM (1911). "On the Problem of Two Fixed Centres and Certain of its Generalizations". American Journal of Mathematics. 33 (1/4): 337–362. doi:10.2307/2369997. JSTOR 2369997.
• Erikson HA, Hill EL (1949). "A Note on the One-Electron States of Diatomic Molecules". Physical Review. 75 (1): 29–31. Bibcode:1949PhRv...75...29E. doi:10.1103/PhysRev.75.29.
• Corben HC, Stehle P (1960). Classical mechanics. New York: John Wiley and Sons. pp. 206–213. ISBN 978-0-88275-162-7.
• Howard JE, Wilkerson TD (1995). "Problem of two fixed centers and a finite dipole: A unified treatment". Physical Review A. 52 (6): 4471–4492. Bibcode:1995PhRvA..52.4471H. doi:10.1103/PhysRevA.52.4471. PMID 9912786.
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• Waalkens H, Dullin HR, Richter PH (2004). "The problem of two fixed centers: bifurcations, actions, monodromy" (PDF). Physica D. 196 (3–4): 265–310. Bibcode:2004PhyD..196..265W. doi:10.1016/j.physd.2004.05.006.

외부 링크

• 오일러 아카이브