국부강성

Lie 그룹의 이산 하위그룹 이론에서 국부적 강직성 이론은 그러한 하위그룹의 작은 변형이 항상 사소한 것임을 보여주는 결과들이다.모스토우 강직성과는 다르고 초강직성보다 약한(그러나 더 자주 잡는다)이다.

역사

첫 번째 그러한 정리는 Atle ${\displaystyle Selberg}$에 의해 S ${\displaystyle {}_{}}$( R )${\displaystyle \mathrm$ {$SL} _{n}(\mathb {R} )}$의 공동 혼합 이산 하위그룹에 대해 입증되었다$.$^[1] 얼마 지나지 않아 Eugenio Calabi는 콤팩트 쌍곡 다지체의 기본그룹 설정에서 이와 유사한 진술이 입증되었다.마지막으로 안드레 웨일에 의해 반실행 리 그룹의 모든 공동 컴팩트 하위그룹으로 정리가 확대되었다.^[2][3]비코콤팩트 격자로의 연장은 나중에 하워드 갈랜드와 마다부시 산타남 라흐후나단(Madabusi Santaman Raghunathan)에 의해 이루어졌다.^[4]그 결과를 이제는 칼라비(Calabi)라고 부르기도 한다.Weil (또는 just Weil) 경직성.

성명서

부분군 변형

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$을(를) li 그룹인 ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, g ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 및 $G$ ${\displaysty G}$을(를) 유한한 수의 요소에 의해 생성된 그룹으로 한다$$.Then the map ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)\to G^{n}}$ defined by ${\displaystyle \rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{n}))}$ is injective and this endows ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$ with a topology induced bythat of ${\displaystyle G^{n}}$. If ${\displaystyle \Gamma }$ is a subgroup of ${\displaystyle G}$ then a deformation of ${\displaystyle \Gamma }$ is any element in ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$. Two representations ${\displaystyle \phi ,\psi }$ are said to be$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle G}$ $displaystyle g\in G$${\displaystyle \}}$이(${\displaystyle 가}$) ${\displaystyle \mathrm{있는}}$ 경우 ${\displaystyle {\mathrm{conju}}^{}}$ ($\gamma {\displaystyle }$ ) = g ${\displaystyle )}$ ( = ) ${\displaystyle g{}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$(\$gamma$ )$g^{-1}$ variety${\displaystyle }${ ${${\$displaysty$$\$$gamma \in$ \in \cariet \cellma $\backslash$colariquestariquestariquestalong.compariquestariquestariquest

A1 또는 A1 × A1 유형이 아닌 단순 그룹의 격자

The simplest statement is when ${\displaystyle \Gamma }$ is a lattice in a simple Lie group ${\displaystyle G}$ and the latter is not locally isomorphic to ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ or ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ and ${\displayst$$yle \Gamma$ $$$}$ (이는 그것의 Lie 대수학이 이 두 그룹 중 하나의 대수학과는 다르다는 것을 의미한다.)

There exists a neighbourhood ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$ of the inclusion ${\displaystyle i:\Gamma \subset G}$ such that any ${\displaystyle \phi \in U}$ is conjugated to ${\displaystyle i}$.

그러한 진술이 ${\displaystyle \mathrm{한}}$ $쌍$의 G${\displaystyle }${ {$${ {\$displaystyle G\supset \Gamma}$에 대해 유지될 때마다 우리는 국부$$ 경직성이 유지된다고 말할 것이다.

SL(2,C) 내 격자

Local rigidity holds for cocompact lattices in ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$. A lattice ${\displaystyle \Gamma }$ in ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ which is not cocompact has nontrivial deformations coming from Thurston's hyperbolic Dehn surgery theory. 단, 표현은 포물선 $({\displaystyle \Gamma })$에 포물선 요소를 보내야 한다는 제한을 추가하면 국부 경직성은 유지된다.

SL(2,R) 내 격자

이 경우 국부적 경직성은 절대 유지되지 않는다.코콤팩트 격자의 경우 작은 변형은 코콤팩트 격자로 남아있지만 원래 변형에 결합할 수는 없다(자세한 내용은 티히뮐러 공간 참조).비코콤팩트 격자는 사실상 자유롭기 때문에 격자 변형도 없다.

Semisimple Lie 그룹

Local rigidity holds for lattices in semisimple Lie groups providing the latter have no factor of type A1 (i.e. locally isomorphic to ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ or ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$) or the former is irreducible.

기타 결과

초강성이 고장난 경우에도 주변 집단이 변경되는 국소강성 결과도 있다.예를 들어, 유니터리 군에서 만약Γ{\displaystyle \Gamma}은 격자 SU(n, 1){\displaystyle \mathrm{SU}(n,1)}과 n≥ 2{\displaystyle n\geq 2} 다음 포함 Γ ⊂ SU(n, 1)⊂ SU(n+1,1)}국내에서 엄격하다고\mathrm{SU}(n+1,1)(n,1)\subset{\displaystyle \Gamma \subset \mathrm{SU}.[5]

A uniform lattice ${\displaystyle \Gamma }$ in any compactly generated topological group ${\displaystyle G}$ is topologically locally rigid, in the sense that any sufficiently small deformation ${\displaystyle \varphi }$ of the inclusion ${\displaystyle i:\Gamma \subset G}$ is injective and ${\di$$splaystyle \varphi (\Gamma )}$ is a uniform lattice in ${\displaystyle G}$. An irreducible uniform lattice in the isometry group of any proper geodesically complete ${\displaystyle \mathrm {CAT} (0)}$-space not isometric to the hyperbolic plane and without Euclidean factors is locally rigid.^[6]

정리증명서

Weil's original proof is by relating deformations of a subgroup ${\displaystyle \Gamma }$ in ${\displaystyle G}$ to the first cohomology group of ${\displaystyle \Gamma }$ with coefficients in the Lie algebra of ${\displaystyle G}$, and then showing that this cohomology vanishes for cocompact lattices when ${\$디스플레이 $스타일 G}$에는 절대 유형 A1의 단순 인자가 없다.비-컴팩트 사례에서도 효과가 있는 보다 기하학적인 증거는${\displaystyle }$(${\displaystyle G}$,${\displaystyle X}$ $){\디스플레이$ 스타일 $(G,X)}$ 구조에$$ 대한 찰스 에레스만 (및 윌리엄 서스턴의) 이론을 사용한다.^[7]

참조