로그-로그 그림

y = x(파란색), y = x²(녹색) 및 y = x³(빨간색)의 로그-로그 그림입니다.
각 축의 로그 스케일 표시와 로그 x 및 로그 y 축(로그 0)은 x 및 y 자체가 1인 점에 유의하십시오.

과학 및 공학에서 로그 로그 그래프(log-log graph) 또는 로그 로그 그래프는 수평축과 수직축 모두에서 로그 척도를 사용하는 수치 데이터의 2차원 그래프입니다.y $y=ax^{k}$ $y=ax^{k}$ $y=ax^{k}$ k $y=ax^{k}$ \ $displaystyle$ y $=ax^{k}$ $y=ax^{k}$ 의 관계인 멱함수는 로그 로그 로그 그래프에서 직선으로 나타나며, 지수는 기울기에 대응하고 계수는 절편에 대응합니다.따라서 이러한 그래프는 이러한 관계를 인식하고 모수를 추정하는 데 매우 유용합니다.로그에는 임의의 base를 사용할 수 있지만, 가장 일반적으로 base 10(공통 로그)이 사용됩니다.

단품과의 관계

단항 $y=ax^{k},$ y $=$ $y=ax^{k},$ $y=ax^{k},$ k일 때 $,$ 방정식의 $로그를 구하면$ (기본값 $포함) 다음$ 과 $y=ax^k,$ 같이 산출됩니다.

\displaystyle \log y=k\log x+\log a.}

로그-로그 그래프를 사용하는 것과 일치하는 X

=

X=\log x

x {\

displaystyle

X=\

log

x

X=\log x

}

Y=\log y,

Y=\log y,

=

log

{\

Y=\log y,

, {\

displaystyle

Y=\

log

y

,}

를

Y = \log y,

X=\log x

하면 다음과 같은 방정식이 생성됩니다.

Y=mX+b

여기서 m = k는 라인(경사)의 기울기이고 b = log a는 (로그 y) 축의 절편입니다. 즉, 여기서 로그 x = 0이므로 로그를 반전하면 a는 x = ^[1]1에 해당하는 y 값입니다.

방정식

로그 로그 척도의 행 방정식은 다음과 같습니다.

\displaystyle \log _{10}F(x)=m\log _{10}x+b,}

(\displaystyle F(x)=x^{m}\cdot 10^{b})

여기서 m은 기울기이고 b는 로그 그림의 절편 지점입니다.

로그-로그 그림의 기울기

비율을 사용하여 로그-로그 그림의 기울기 찾기

그래프의 기울기를 찾으려면 x축과₂ x축의₁ 두 점을 선택합니다. 위의 방정식을 사용하여:

\displaystyle \log[F(x_{1})]=m\log(x_{1}+b,}

그리고.

\displaystyle \log[F(x_{2})]=m\log(x_{2})+b.}

기울기 m은 차분을 구해서 구한다.

{{displaystyle m=mbrac {log(F_{2})}-\log(x_{1})}}=mbrac {log(F_{2}/F_{1}}{\log(x_{2}/x_{1}}}},

여기서₁ F는 F(x₁)의₂ 줄임말이고 F는 F(x₂)의 줄임말입니다.오른쪽 그림은 공식을 나타내고 있습니다.그림 예제의 기울기는 음수입니다.공식은 또한 음의 기울기를 제공합니다. 이는 로그의 다음 속성에서 알 수 있습니다.

\displaystyle \log(x_{1}/x_{2})=-\log(x_{2}/x_{1}).}

로그-로그 그림에서 함수 찾기

위의 절차는 (가정된) 기존의 로그-로그 그림을 사용하여 함수 F(x)의 형태를 찾기 위해 역순으로 진행됩니다.함수 F를 찾으려면 F가₀ F(x₀)의 약자인 고정점(x₀, F₀)을 선택하고, 위의 그래프에서 직선상의 다른 임의의 점(x₁, F₁)을 선택합니다.그런 다음 위의 경사 공식에서 다음을 수행합니다.

m=syslogfrac {\log(F_{1}/F_{0}}} {\log(x_{1}/x_{0}}

그 결과

\displaystyle \log(F_{1}/F_{0})=m\log(x_{1}/x_{0})=\log[(x_{0}^{m})]}

10 = F라는₁ 점에^{log₁₀(F₁)} 유의하십시오.따라서 로그를 반전하여 다음을 찾을 수 있습니다.

{F_{1}} {F_{0}}=\left({\frac {x_{1}} {x_{0}}\오른쪽)^{m}

또는

F_{1}=subscfrac {F_{0}}{x_{m}},x^{m}

즉,

F(x)=\mathrm {display} \cdot x^{m}.

즉, F는 로그 로그 그래프의 직선의 기울기 제곱에 x에 비례합니다.특히 점(F₀, x₀)과 (F₁, x₁)을 포함하는 로그-로그 그림의 직선에는 다음과 같은 함수가 있습니다.

{\displaystyle F(x)={F_{0}}\left({\frac {x}{x_{0}}\오른쪽)^{\frac {log(F_{1}/F_{0}}}}{\log(x_{1}/x_{0}}}}}}},

물론, 그 반대도 사실이다: 어떤 형태의 함수든

F(x)=\mathrm {cdot x^{m}

는 로그 로그 그래프 표현으로 직선을 가지며, 여기서 선의 기울기는 m입니다.

로그-로그 그림의 직선 세그먼트 아래의 영역 찾기

로그 로그 그림의 연속 직선 세그먼트 아래의 면적(또는 거의 직선인 영역의 추정)을 계산하려면 앞서 정의한 함수를 사용합니다.

F(x)=\mathrm {display} \cdot x^{m}.

통합합니다.한정된 적분(정의된 2개의 엔드포인트)에서만 동작하기 때문에 플롯 아래의 영역 A는 다음 형식을 취합니다.

A(x)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x),dx=\left.{frac {mathrm {m+1}\cdot x^{m+1}\right _{x_{0}^{x_{1}

원래의 방정식을 재정렬하고 고정점 값을 대입하면

\mathrm {flac} = flac {F_{0}} {x_{0}^{m}}

적분으로 다시 치환하면 A/x에서₀₁ x까지의 값을 알 수 있습니다.

({displaystyle A=black {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}\cdot (x_{1}^m+1}-x_{0}^{m+1})}

{\displaystyle A=\log \left[{\frac {F_{0}/x_{m+1}}{m+1}\cdot (x_{1}^{m+1}-right]=\log {F_{0}{m+1}-{log {{frac}{m+1}{{{x}}{m+1})

\displaystyle \log A=\log {F_{0}{m+1}+\log \frac {x_{1}{m+1}-x_{0}{m+1}=\log {frac {F_0}{m+1}\log {frac {m+1}\frac {x}\lac {frac {x}\frac {m+}

그 때문에, $A={\frac {F_{0}}{m+1}}\cdot \left[x_{1}\cdot \left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}-x_{0}\right]$

m = -1의 경우 적분은

A_{(m=-1)}=\int _{x_{1}}F(x)=\int _{x_{0}{x_1}{\frac {\mathrm {param}}{x}=frac {F_{0}{x}{x}{{x}}}{{x}}{x}}}{{x}}}}_int_int_0}}}}F_{0}\cdot x_{0}\cdot \ln x:[x_{0},x_{1}]

A_{(m=-1)}=F_{0}\cdot x_{0}\cdot \ln {frac {x_{1}}{x_{0}}

적용들

이 그래프는 모수 a와 b를 수치 데이터에서 추정해야 할 때 유용합니다.이러한 사양은 경제학에서 자주 사용됩니다.

한 가지 예는 재고 이론에 기초한 화폐 수요 함수의 추정으로, 시간 t에서의 화폐 수요는 다음과 같이 주어진다고 가정할 수 있다.

M_{t}=AR_{t}^{b}Y_{t}^{c}U_{t}

여기서 M은 공공이 보유한 실제 화폐량, R은 화폐를 초과하는 수익률, Y는 공공의 실질소득, U는 로그 정규 분포를 가정한 오차항, A는 추정할 척도 모수, b와 c는 추정할 탄력성 모수이다.로그를 취하면 산출된다.

m_{t}=a+br_{t}+cy_{t}+u_{t}

여기서 m = 로그 M, a = 로그 A, r = 로그 R, y = 로그 Y 및 u = 로그 U는 정규 분포를 따릅니다.이 방정식은 일반 최소 제곱을 사용하여 추정할 수 있습니다.

또 다른 경제적 예는 방정식의 오른쪽에 있는 기업의 Cobb-Douglas 생산 함수의 추정입니다.

Q_{t}=AN_{t}^{\alpha}K_{t}^{\beta}U_{t}

여기서 Q는 월 생산 가능한 생산량, N은 월 생산에서 고용된 노동시간, K는 월별 물리적 자본 사용시간, U는 정규 분포를 가정한 오차항, $\alpha$ , $α,$ \\ $displaystyle$ \alpha $\alpha$ $\beta$ β, \ $displaystyle$ \ $beta)$ 는 $\beta$ 파라미터이다.추정할 수 있습니다.로그를 취하면 선형 회귀 방정식을 얻을 수 있습니다.

q_{t}=a+\alpha n_{t}+\alpha k_{t}+u_{t}}

여기서 q = 로그 Q, a = 로그 A, n = 로그 N, k = 로그 K 및 u = 로그 U입니다.

로그-로그 회귀를 사용하여 자연발생 프랙탈의 프랙탈 치수를 추정할 수도 있습니다.

그러나 로그 로그 척도에 데이터가 대략적인 선으로 표시되는 것을 관찰하고 데이터가 멱함수의 법칙을 따른다는 결론을 내리는 것과 같은 다른 방향으로 가는 것이 ^[2]항상 유효한 것은 아닙니다.

사실, 많은 다른 기능 양식은 대략 log–log 규모에서도 단순히 로그인 데이터 결정(R2)의 계수를 사용하고 있는 선형 회귀의 적합성의 선량을 평가한 선형 회귀 모델의 가우스의 오차와 같은 가정들,, 만족하지 않치만, 하고 꼭 맞는 것, 시험 무효가 될 수 있선형 표시됩니다. o로그 로그 형식이 낮은 통계적 검정력을 나타낼 수 있는 경우, 이러한 테스트는 다른 진정한 함수 형식이 존재하는 경우 검정력 법칙을 거부할 가능성이 낮기 때문이다.단순한 로그 로그 그래프는 가능한 멱함수 법칙을 검출하는 데 도움이 될 수 있으며, 1890년대에 파레토에서 사용되었지만, 멱함수 법칙으로서의 검증에는 보다 정교한 ^[2]통계량이 필요하다.

이러한 그래프는 지수 함수를 따라 제어 변수를 변경하여 데이터를 수집할 때도 매우 유용합니다. 이 경우 제어 변수 x는 로그 척도에 보다 자연스럽게 표시되므로 데이터 점이 낮은 끝에서 압축되지 않고 균일한 간격으로 표시됩니다.출력 변수 y는 선형으로 표현하여 lin-log 그래프(log x, y)를 생성하거나 로그 그래프(log x, log y)를 생성하는 로그도 얻을 수 있습니다.

보데 플롯(시스템 주파수 응답 그래프)도 로그-로그 플롯입니다.

「」를 참조해 주세요.

반로그 그림(lin-log 또는 log-lin)
멱함수의 법칙
지퍼법

레퍼런스

^ M. Bourne 로그 및 반로그래픽 페이퍼 (www.intmath.com)
^ ^a ^b Clauset, A.; Shalizi, C. R.; Newman, M. E. J. (2009). "Power-Law Distributions in Empirical Data". SIAM Review. 51 (4): 661–703. arXiv:0706.1062. Bibcode:2009SIAMR..51..661C. doi:10.1137/070710111.

외부 링크

비뉴턴 미적분 웹사이트

[1] M. Bourne 로그 및 반로그래픽 페이퍼 (www.intmath.com)

[clauset-2] Clauset, A.; Shalizi, C. R.; Newman, M. E. J. (2009). "Power-Law Distributions in Empirical Data". SIAM Review. 51 (4): 661–703. arXiv:0706.1062. Bibcode:2009SIAMR..51..661C. doi:10.1137/070710111.

[1]

[2]

Search

로그-로그 그림

네임스페이스

더

목차

단품과의 관계