프랙탈 차원

수학에서, 특히 프랙탈 기하학에서 프랙탈 치수는 패턴(엄밀히 말하면 프랙탈 패턴)의 상세도가 측정되는 척도와 얼마나 달라지는지를 비교하는 복잡도의 통계적 지수를 제공하는 비율이다.이것은 또한 프랙탈이 내장된 공간과 어떻게 다른 축척을 하는지를 알려주는 패턴의 공간 채우기 용량을 측정하는 것으로 특징지어졌습니다. 프랙탈 치수가 ^[1][2][3]정수일 필요는 없습니다.

"분열" 차원에 대한 본질적인 생각은 수학에서 오랜 역사를 가지고 있지만, 그 용어 자체는 Benoit Mandelbrot가 분수 ^[4]차원에 대해 논한 1967년 자기 유사성에 대한 논문을 바탕으로 주목을 받았다.이 논문에서 Mandelbrot는 해안선의 측정된 길이가 사용된 측정 스틱의 길이에 따라 달라진다는 반직관적인 개념을 설명하는 Lewis Fry Richardson의 이전 연구를 인용했다(그림 1 참조).이 개념의 관점에서 해안선의 프랙탈 치수는 해안선 변화를 측정하는 데 필요한 스케일 측정 스틱의 수를 ^[5]스틱에 적용한 스케일로 수량화한다.프랙탈 차원에 대한 몇 가지 공식 수학적 정의가 규모 변화에 따른 이 기본 개념에 기초하고 있습니다. 예제를 참조하십시오.

결국, 프랙탈 차원이라는 용어는 만델브로트 자신이 만든 용어인 프랙탈의 의미를 캡슐화하는 것에 관해 가장 편안해진 문구가 되었다.몇 년 동안 몇 번을 반복한 후, 만델브로트는 이 언어의 사용을 결정했다. "...현학적 정의 없이 프랙탈을 사용하고, 모든 ^[6]변형에 적용되는 일반 용어로 프랙탈 차원을 사용한다."

사소한 예로는 코흐 눈송이의 프랙탈 치수를 들 수 있습니다.이것은 위상 치수가 1이지만, 결코 정류 가능한 곡선이 아닙니다. 코흐 눈송이 위의 두 점 사이의 곡선의 길이는 무한합니다.작은 조각은 선과 같은 것이 아니라 다양한 각도로 연결된 무한한 수의 세그먼트로 구성되어 있습니다.곡선의 프랙탈 치수는 프랙탈 선을 1차원으로 하기에는 너무 상세하지만 2차원으로 ^[7]하기에는 너무 단순하다고 생각하는 직관적으로 설명할 수 있다.따라서 그 치수는 통상적인 위상 차원 1이 아니라 프랙탈 차원 1과 2 사이의 수치인 프랙탈 치수로 가장 잘 설명할 수 있다. 코흐 눈송이의 경우 약 1.262이다.

서론

프랙탈 치수는 ^{[5]: 1} 프랙탈 패턴 또는 집합의 복잡성을 스케일 변화에 대한 상세 변화의 비율로 정량화함으로써 특징짓는 지표이다.여러 유형의 프랙탈 치수를 이론적으로나 경험적으로 측정할 수 있다(그림 ^[3][9]2 참조).프랙탈 치수는 난기류,^{[5]: 97–104 : 246–247} 하천 네트워크, 도시 성장,^[10][11] 인간 생리학,^[12][13][9] 의학 및 시장 ^[14]트렌드를 포함한 추상적인^[1][3] 현상부터 실제적인 현상까지 광범위한 범위의 물체를 특징짓는 데 사용됩니다.분수 또는 프랙탈 차원에 대한 본질적인 생각은 1600년대까지 ^{[5]: 19 [15]}거슬러 올라갈 수 있는 수학의 오랜 역사를 가지고 있지만 프랙탈과 프랙탈 차원이라는 용어는 ^{[1][2][5][9][14][16]}수학자 Benoit Mandelbrot에 의해 1975년에 만들어졌다.

프랙탈 치수는 복잡한 기하학적 형태를 특징짓는 지수로 처음 적용되었으며, 전체적인 ^[16]그림보다 세부사항이 더 중요하게 보였다.일반적인 기하학적 형상을 설명하는 집합의 경우, 이론적 프랙탈 차원은 집합의 익숙한 유클리드 또는 위상 차원과 같습니다.따라서 점을 기술하는 세트(0차원 세트)의 경우 0, 선을 기술하는 세트(1차원 세트)의 경우 1, 표면을 기술하는 세트(2차원 세트)의 경우 2, 부피를 기술하는 세트(3차원 세트)의 경우 3이다.그러나 이것은 프랙탈 세트에 따라 달라집니다.집합의 이론적인 프랙탈 치수가 위상 치수를 초과하면 집합은 프랙탈 ^[17]형상을 갖는 것으로 간주됩니다.

위상 차원과 달리 프랙탈 지수는 정수 값이 아닌 값을 ^[18]취할 수 있으며, 이는 집합이 일반 기하학적 집합과 ^[1][2][3]달리 질적, 양적으로 공간을 채운다는 것을 나타냅니다.예를 들어, 1.10과 같이 프랙탈 치수가 1에 매우 가까운 곡선은 일반 선과 매우 비슷하게 동작하지만 프랙탈 치수가 1.9인 곡선은 표면과 매우 비슷하게 공간을 굴절합니다.마찬가지로 프랙탈 치수가 2.1인 표면은 일반 표면과 매우 흡사하지만 프랙탈 치수가 2.9인 표면은 접혀지고 흘러 부피처럼 ^{[17]: 48 [notes 1]}공간을 채운다.이러한 일반적인 관계는 그림 2와 그림 3의 프랙탈 곡선의 두 이미지에서 확인할 수 있다. 즉, 그림 2의 32-세그먼트 윤곽선은 그림 3의 코흐 곡선이 프랙탈 치수가 1.67이며, 그림 3의 코흐 곡선은 프랙탈 치수가 126이다.

증가하는 프랙탈 치수와 공간 채우기의 관계는 프랙탈 치수가 밀도를 측정하는 것으로 간주될 수 있지만, 그렇지 않습니다. 두 치수는 엄밀하게 ^[8]상관 관계가 없습니다.대신 프랙탈 차원은 복잡함을 측정합니다.프랙탈의 주요 특징과 관련된 개념입니다.자기 유사성과 상세성 또는 ^{[notes 2]}불규칙성입니다.이러한 특징은 프랙탈 곡선의 두 가지 예에서 분명하게 나타납니다.둘 다 위상 치수가 1인 곡선이기 때문에 일반 곡선과 같은 방법으로 길이와 도함수를 측정할 수 있기를 바랄 수 있습니다.프랙탈 곡선은 자기 유사성과 일반 곡선이 ^[5]결여된 디테일의 형태로 복잡하기 때문에 둘 다 할 수 없습니다.자기유사성은 무한 스케일링과 각 세트의 정의 요소의 상세함에 있습니다.이러한 곡선의 두 점 사이의 길이는 두 점이 아무리 가까워도 무한하므로 곡선을 여러 개의 ^[19]작은 세그먼트로 분할하여 곡선의 길이를 근사할 수 없습니다.모든 작은 조각은 첫 번째 반복과 똑같이 보이는 무한한 수의 축척 세그먼트로 구성됩니다.이러한 곡선은 정류 가능한 곡선이 아니며, 이는 각각의 길이에 가까운 여러 세그먼트로 분할하여 측정할 수 없음을 의미합니다.그것들은 길이와 도함수를 찾는 것으로 의미 있게 특징지을 수 없다.그러나 이들의 프랙탈 치수를 결정할 수 있으며, 이는 둘 다 공간을 보통 선보다 많이 채우고 표면보다 적게 채운다는 것을 보여주며, 이와 관련하여 비교할 수 있다.

위에서 설명한 두 프랙탈 곡선은 쉽게 시각화할 수 있는 반복적인 상세 단위와 정확한 자기 유사성의 유형을 보여준다.이러한 종류의 구조는 다른 공간으로 확장될 수 있다(예: 코흐 곡선을 3-d 공간으로 확장하는 프랙탈은 이론적인 D=2.5849)그러나 이러한 깔끔하게 셀 수 있는 복잡성은 프랙탈에 ^[3][14]존재하는 자기 유사성과 세부성의 한 예에 불과합니다.예를 들어 영국의 해안선의 예는 대략적인 ^{[5]: 26} 패턴과 대략적인 스케일링의 자기 유사성을 나타낸다.전반적으로 프랙탈은 쉽게 시각화되지 않을 수 있는 자기 유사성 및 세부 사항의 여러 유형 및 정도를 보여줍니다.예를 들어, 디테일이 본질적으로 묘사된 이상한 매력들, 매끄러운 부분들이 ^{[17]: 49} 쌓여가는 것, 소용돌이에 복잡한 소용돌이처럼 보일 수 있는 줄리아 세트, 그리고 거친 스파이크가 반복되고 시간에 ^[20]따라 축소되는 패턴인 심박수 등이 있다.프랙탈 복잡도는 복잡한 분석 방법 없이 쉽게 파악할 수 있는 세부 및 규모의 단위로 항상 분해될 수는 없지만 프랙탈 치수를 통해 ^{[5]: 197, 262} 정량화할 수 있습니다.

역사

프랙탈 디멘션과 프랙탈이라는 용어는 만델브롯이 영국 해안가의 자기 유사성에 대한 논문을 발표한 지 약 10년 ^[16]후인 1975년에 만들어졌다.다양한 역사 권위자들은 또한 그가 수세기에 걸친 복잡한 이론적인 수학과 공학 작업을 종합하고 그것을 통상적인 선형 ^[15][21][22]용어로 묘사할 수 없는 복잡한 기하학을 연구하기 위한 새로운 방법으로 적용했다고 믿고 있다.만델브로트가 프랙탈 차원으로 합성한 최초의 뿌리는 1600년대 ^{[5]: 405} 중반 미적분이 발견되었을 무렵 프랙탈의 수학적 정의에 중요한, 미분할 수 없는 무한히 자기유사한 함수에 대한 글들로 명확하게 거슬러 올라갑니다.그런 기능을 책에 소강 상태가 끝난 다음 갱신이 늦은 1800년에 수학적 기능과 세트의 출판으로 시작하는 오늘 불리는 정준 프랙탈(폰 Koch,[19]Sierpiński의 동명 작품으로,, 줄리아와 그러한)잠시, 그러나 그들의 공식화의 시간에 자주 개미들로 인식되었다.ith이학적인 수학적 "수학적"^[15][22]이 작품들은 아마도 1900년대 초 하우스도르프의 작품을 통해 프랙탈 차원의 개념 개발에 있어 가장 중추적인 포인트를 수반했는데, 하우스도르프는 그의 이름을 따서 붙여졌고 현대의 프랙탈을 정의할 때 자주 언급되는 "프랙탈 ^{[4][5]: 44 [17][21]}차원을 정의했다.

자세한 내용은 프랙탈 이력을 참조해 주세요.

확장의 역할

프랙탈 치수의 개념은 스케일링과 ^[24]치수에 대한 비전통적인 견해에 있다.그림 4와 같이, 기하학의 전통적인 개념은 형상이 포함된 공간에 대한 직관적이고 친숙한 아이디어에 따라 예측 가능하게 확장된다는 것을 지시한다. 예를 들어, 첫 번째 측정 스틱을 사용하여 선을 측정하면 다른 1/3 크기의 스틱을 사용하여 두 번째 스틱에 대해 3배의 총 길이를 제공할 것이다.첫 번째와 마찬가지로 옹.이것은 2차원에서도 볼 수 있습니다.정사각형의 면적을 측정한 후 원형의 1/3 크기의 상자를 사용하여 다시 측정하면 첫 번째 측정치의 9배인 정사각형을 찾을 수 있습니다.이와 같이 익숙한 스케일 관계는 식 1의 일반 스케일링 규칙에 의해 수학적으로 정의할 수 있습니다. 여기서 $변수{\displaystyle }$ N$(\displaystyle$ N$)$은 스틱의 수, 스케일링 계수는$$$the{\displaystyle }$(\$displaystyle \varepsilon),$ 프랙탈 치수는 D$(\displaystyle$ D$)$를 나타냅니다.

${\displaystyle {N=\varepsilon ^{-D}}.}$

(1)

이 스케일링 규칙은 형상 및 치수에 대한 일반적인 규칙을 나타냅니다. $선$의 경우 $위$의 $예$와 같이 N ${\displaystyle =}$ $(\$ \$varepsilon$= 13(\displaystyle $\frac {1}{3})$일 때 D ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$, ${\$$displaystyle$ D$=1},$ 정사각형일$$ 때 $다음$과 같이 수량화됩니다$.$$2$$$$}$

프랙탈 지오메트리에 동일한 규칙이 적용되지만 직관적으로 적용되지 않습니다.자세히 설명하자면, 처음에 측정한 프랙탈 라인은 구형의 1/3 축척된 새 스틱을 사용하여 재측정했을 때 예상된 3배가 아니라 4배의 길이가 될 수 있습니다.이 경우, ${\displaystyle \theta \frac{\mathrm{}}{}}$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$3일 때 ${\displaystyle \mathrm{N}}$ $=$4 ${\displaystyle$ N=$4$$}$ 및$$ D$(\displaystyle$ \varepsilon$=$ 4\$displaystyle$${1}{$3$$}})의 $값$은 식 1을 재배치하여 구할 수 있습니다.

${\displaystyle {\varepsilon } = {-D} = frac {\log {N} {\log {\varepsilon }} } } 。}$

(2)

$즉{\displaystyle }$, N ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 4}${$디스플레이스타일$ N$=$${\displaystyle \mathrm{4<img\; alt="N=4"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/513c42064b86e0f691571271623451438315767f"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:6.325ex;\; height:2.176ex;">}}$$}$로 기술된 프랙탈의 경우, ${\displaystyle \theta \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 3${\displaystyle }$, ${\displaystyle D}$ $=$ 1.${\displaystyle 2619}$ {$displaystyle \varepsilon$=$1 19 tfrac$ {1$$}{3} , $D$= 1.$2619,$ } 이므로 프랙탈이 ^[3]존재하는 공간과 동일한 치수를 갖는다는 것을 알 수 있습니다.이 예에서 사용되는 축척은 코흐 곡선과 눈송이의 축척과 동일합니다.D$(\displaystyle$ D$)$ $값$으로 기술된$$ 스케일링을 무한히 계속할 수 없기 때문에 표시된 이미지는 실제 프랙탈이 아닙니다. 이는 이미지가 가장 작은 구성요소인 픽셀까지만 존재하기 때문입니다.그러나 디지털 이미지가 나타내는 이론적인 패턴은 이산적인 픽셀 모양의 조각이 아니라 다양한 각도로 연결된 무한한 수의 무한 스케일 세그먼트로 구성되어 있으며 프랙탈 치수는 ^[5][24]1.2619입니다.

D가 고유한 설명자가 아닙니다.

선, 정사각형 및 큐브에 대해 크기가 결정되는 경우와 마찬가지로 프랙탈 치수는 패턴을 ^[24][25]고유하게 정의하지 않는 일반적인 설명자입니다.예를 들어 위에서 설명한 코흐 프랙탈에 대한 D의 값은 패턴의 고유한 스케일을 수량화하지만, 그것을 재구성하기 위한 고유한 설명이나 충분한 정보를 제공하지 않는다.그림 6과 같이 많은 프랙탈 구조나 패턴은 동일한 스케일 관계를 가지지만 코흐 곡선과 극적으로 다르다.

프랙탈 패턴을 구성하는 방법의 예는 프랙탈, Sierpinski 삼각형, Mandelbrot 집합, 확산 제한 집합, L-System을 참조하십시오.

프랙탈 표면 구조

프랙탈리티의 개념은 표면 과학 분야에서 점점 더 많이 적용되어 표면 특성과 기능 특성 사이의 ^[26]가교를 제공합니다.명목상 평평한 표면의 구조를 해석하기 위해 수많은 표면 설명자가 사용되며, 이는 종종 여러 길이 척도에 걸쳐 자가 영향 특성을 나타낸다.보통 R로 표기되는_A 평균 표면 거칠기는 가장 일반적으로 적용되는 표면 기술자이지만, 평균 기울기, 루트 평균 제곱 거칠기(R_RMS) 등을 포함한 많은 다른 기술자가 정기적으로 적용된다.그러나 많은 물리적 표면 현상을 그러한 기술자를 참조하여 쉽게 해석할 수 없으므로 프랙탈 치수가 스케일링 거동과 ^[27]성능 측면에서 표면 구조 간의 상관관계를 확립하기 위해 점점 더 많이 적용되고 있는 것으로 밝혀졌다.표면의 프랙탈 치수는 접촉 역학,^[28] 마찰 거동,^[29] 전기 접촉 저항^[30] 및 투명 전도성 ^[31]산화물 분야의 현상을 설명하고 더 잘 이해하기 위해 사용되었습니다.

예

이 기사에서 기술된 프랙탈 차원의 개념은 복잡한 구조의 기본적인 견해이다.여기서 설명하는 예는 명확성을 위해 선택되었으며 스케일링 단위와 비율은 사전에 알려져 있습니다.그러나 실제로 프랙탈 치수는 크기 대 척도의 로그 플롯에 대한 회귀선에서 추정된 한계에서 대략적인 스케일링과 상세도를 사용하는 기법을 사용하여 결정할 수 있다.프랙탈 치수의 다른 유형에 대한 몇 가지 공식 수학 정의가 아래에 나열되어 있습니다.정확한 아핀 자기 유사성을 갖는 콤팩트 세트의 경우 이러한 치수가 모두 일치하지만 일반적으로는 동일하지 않다.

• 박스 카운트 치수: D는 멱함수의 지수로서 추정됩니다.

${\displaystyle D_{0}=\lim _{\varepsilon\to 0}{\log N(\varepsilon)}{\log {1}{\varepsilon }}}.}$

• 정보 차원: D는 사용 중인 상자를 식별하는 데 필요한 평균 정보가 상자 크기에 따라 어떻게 조정되는지 고려합니다. $\displaystyle$p는$$ 확률입니다.

${\displaystyle D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-\frac\log p_{\varepsilon }}{\log {1}{\varepsilon }}}}$

• 상관치수: D는 프랙탈과 g의_ε 표현에 사용되는 점의 수로서 M$(\displaystyle$ M$)$을 $기준$으로 하며, 서로 θ보다 가까운 점의 쌍수이다.

$\displaystyle D_{2}=\lim _{M\to\infty}\lim _{\varepsilon\to0}{\frac {\log(g_{\varepsilon}/M^{2}}}{\log \varepsilon }}}$^{[필요한 건]}

• 일반 또는 Rényi 치수:상자 계수, 정보 및 상관 치수는 다음과 같이 정의된 주문 α의 일반화 치수의 연속 스펙트럼의 특수한 경우로 볼 수 있다.

${\displaystyle D_{\alpha}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\alpha -1}\log(\sum _ {i}p_{\alpha }) {\log \varepsilon }}$

• 히구치 차원^[32]

${\displaystyle D=syslogfrac {d\log(L(k)}}}, {d\log(k)}}$

• 랴푸노프 차원
• 다분할 치수: 패턴의 다른 부분에서 스케일링 동작이 변화하는 Rényi 치수의 특수한 경우.
• 불확도 지수
• 하우스도르프 치수:메트릭 $공간{\displaystyle }$ X$(\displaystyle$ X$)$ 및 ${\displaystyle \mathrm{d}}$and$$ 0(\$displaystyle$ d$\geq$ 0$)$의 $서브셋{\displaystyle }$S(\$displaystyle$ S$)$에 대해 S의 d차원 하우스도르프 함량은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle C_{H}^{d}(S):=\inf {Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^d:{\text{\text{\text{\text}}r_{i}>0{\Bigr \}}}}의 커버가 있습니다.}$

S의 하우스도르프 치수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \dim _{\operatorname {H}}(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}$

• 패킹치수
• 어소드 차원
• 로컬 연결 치수^[33]

실제 데이터를 바탕으로 추정

많은 실제 현상은 컴퓨터 기반 프랙탈 분석 기법을 사용하여 샘플링된 데이터에서 추정된 제한적이거나 통계적인 프랙탈 특성과 프랙탈 치수를 나타낸다.실제로 프랙탈 치수의 측정은 다양한 방법론적 문제에 영향을 받으며 수치 또는 실험 소음과 데이터 양의 한계에 민감하다.그럼에도 불구하고, 분야 빠르게 추정 프랙탈 차원으로 통계적으로self-similar 현상에 대해 성장하고 있는 다양한 분야에서 astronomy,[34]acoustics,[35][36]지질학과 지구 sciences,[37]진단 imaging,[38][39][40]ecology,[41]전기 화학 processes,[42]이미지 analysis,[43][44]는 경우 45포함한 많은 실용적인 응용 분야를 가지고 있다.][46]생물학과 medicine,[47][48][49]neuroscience,[50][13]네트워크 aNalysis, 생리학,^[12][51][52] 물리학, 리만 제타 ^[53]제로입니다.프랙탈 차원 추정치는 심리음향학 및 신경과학의 ^[54][35]실제 데이터 세트에서 렘펠-지브 복잡성과도 상관관계가 있는 것으로 나타났다.

직접 측정에 대한 대안으로는 실제 프랙탈 물체의 형성과 유사한 수학적 모델을 고려하는 것입니다.이 경우 모델에 의해 암시된 프랙탈 특성 이외의 특성을 측정된 데이터와 비교하여 검증을 수행할 수도 있습니다.콜로이드 물리학에서는 다양한 프랙탈 치수를 가진 입자로 구성된 시스템이 발생합니다.이러한 시스템을 설명하려면 프랙탈 차원의 분포, 그리고 최종적으로 후자의 시간 진화에 대해 말하는 것이 편리하다. 즉, 집합과 결합 ^[55]사이의 복잡한 상호작용에 의해 구동되는 프로세스이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 하우스도르프 차원에 따른 프랙탈 목록
• Lacunity – 기하학 및 프랙탈 분석 용어
• 프랙탈 도함수 – 프랙탈 도함수의 일반화

메모들

레퍼런스

추가 정보

• Mandelbrot, Benoit B.; Hudson, Richard L. (2010). The (Mis)Behaviour of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin and Reward. Profile Books. ISBN 978-1-84765-155-6.

외부 링크

• TruSoft의 Benoit 프랙탈 분석 소프트웨어 제품은 프랙탈 치수와 허스트 지수를 계산합니다.
• 프랙탈 치수를 계산하는 자바 애플릿
• 프랙탈 분석의 개요
• Bowley, Roger (2009). "Fractal Dimension". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.
• "프랙탈은 보통 자기 닮지 않아"3 블루1 브라운