맥비스 지역

볼록체 K의 점 x 주위의 맥비스 영역과 볼록체 K의 점 x 주위의 스케일링 맥비스 영역

수학에서 맥비스 영역(Macbeath region)은 d차원 유클리드 $\mathbb {R} ^{d}$ $\mathbb {R} ^{d}$ d \ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $d$ 의 경계 볼록 부분 집합에 대한 볼록 해석에서 명시적으로 정의된 영역이다.이 아이디어는 알렉산더 ^[1]맥비스에 의해 소개되었고 G. 이왈드, D. G. 라만, C.에 의해 더빙되었다.1970년 ^[2]로저스맥비스 지역은 볼록한 ^[3]물체의 경계를 연구할 때 특정한 복잡한 문제들을 해결하기 위해 사용되어 왔다.최근에는 볼록 근사 및 계산기하학의 ^[4]^[5]다른 측면에 대한 연구에 사용되고 있습니다.

정의.

K를 유클리드 공간의 유계 볼록 집합이라고 하자.포인트 x와 스케일러가 지정되어 있는 경우 포인트x 주위의 Macbeath 영역은 다음과 같습니다.

{M_{K}}(x)=K\cap(2x-K)=x+(K-x)\cap(x-K))=\{k'\in K\in K{\text{ 및 }}k'-x=x-k\}

x의 스케일링된 Macbeath 영역은 다음과 같이 정의됩니다.

M_{K}^{\lambda }(x)=x+\cap(x-K)={(1-\lambda)x+\lambda k'in K,\exist K{\text{ 및 }}}k'x-x-k'k'-}

이것은 K와 X 주위의 반사 K가 θ만큼 축척된 교차점임을 알 수 있다.

사용 예

Macbeath 영역을 사용하여 O $log$ d $O(\log ^{\frac {d+1}{2}}({\frac {1}{\epsilon }}))$ + $O(\log ^{\frac {d+1}{2}}({\frac {1}{\epsilon }}))$ ( $O(\log ^{\frac {d+1}{2}}({\frac {1}{\epsilon }}))$ $O(\log ^{\frac {d+1}{2}}({\frac {1}{\epsilon }}))$ $)(\displaystyle$ $\epsilon$ O $(\$ log ^{\ $frac {d+$ 1}{ $2}})({\frac {\$ epsilon $})$ 의 $O(\log ^{\frac {d+1}{2}}({\frac {1}{\epsilon }}))$ 조합 내에서 Hausdorff 거리에 대한 볼록형상의 $근사치$ 를 $\epsilon$ 생성할 수 있습니다.
맥비트 영역을 사용하여 힐버트 메트릭의 볼을 $0\leq \lambda <1$ 수 있습니다. 예를 들어 x와 0 $0\leq \lambda <1$ µ $0\leq \lambda <1$ < 1 $(\style$ 0 $\leq \lambda < 1$ )을 $0\leq \lambda <1$ 포함하는 볼록 K가 주어지면 ^[4]^[6]다음과 같습니다.

B_{H}\left(x, {\frac {1}{2}}\ln(1+\lambda)\right)\subset M^{\lambda}(x)\subset B_{H}\left(x, {\frac {1}{2}}\ln {frac {1+\lambda}{1-\lambda }}\right

특성.

$M_{K}^{\lambda }(x)$ $M_{K}^{\lambda }(x)$ $M_{K}^{\lambda }(x)$ ( $M_{K}^{\lambda }(x)$ ) { $displaystyle M_{K}^{\lambda$ }( $x)}$ 는 $M_{K}^{\lambda }(x)$ x 주위에 중심 대칭이다.
맥비치 지역은 볼록한 집합이다.
만약 x, y∈ K{\displaystyle x,y\in K}과 M12())M12(y)≠ ∅{\displaystyle M^{\frac{1}{2}∩}())\cap M^{\frac{1}{2}}(y)\neq \emptyset}그때 M1(y)⊂ M5()){\displaystyle M^{1}(y)\subset M^ᆸ())}.[3][4]본질적으로 만약 두개 Macbeath 지역 교차할 수 있는 규모의 하나까지 conta.에서다른.
R $R^{d}$ 의 볼록한 K와 볼록한 세트의 $K\cap H$ K $K\cap H$ H h H $h$ 2 ${\frac {r}{2}}$ \ $displaystyle \ frac$ { $R^{d}$ $r$ $}$ K $K\cap H\subset M^{3d(x)}$ ${\frac {r}{2}}$ 2 ${\frac {r}{2}}$ 이하의 폭을 갖는 $R^{d}$ 경우, 우리는 $K\cap H\subset M^{3d(x)}$ 과 ${\frac {r}{2}}$ 됩니다. $x$ 에 대한 $레이스타일 K\cap$ H\ $subset M^{3d($ x $K\cap H\subset M^{3d(x)}$ $)},$ ^[3]H의 경계 초평면에서 K의 무게 중심.
$K\subset R^{d}$ K $K\subset R^{d}$ R $K\subset R^{d}$ \ $displaystyle$ K \ $subset$ R^ { $d$ } 、 폭 16 ${\frac {1}{6d}}$ （ \ $displaystyle$ { $1 }$ { 6 $d$ } $C\subset M^{3d}(x)$ C $C\subset M^{3d}(x)$ $C\subset M^{3d}(x)$ d ( $C\subset M^{3d}(x)$ $){$ d ）（ x ）{ $displaystyle$ M^ $C\subset M^{3d}(x)$ 3 d （ $x$ ）。여기서 x 중심은
;0{\displaystyle \lambda>0}, 임의 지점을)모자 CK에 볼록 K와 어떤 상수 λ 을 감안할 때 우리는 Mλ())특히 ∩ K⊂ C1+λ{\displaystyle M^{\lambda}())\cap K\subset C^{1+\lambda}}.λ ≤ 1{\displaystyle \lambda \leq 1} 알다시피, 우리는 Mλ())⊂ C1+λ{\displaystyle다. M^{\la $mbda }(x)\subset$ C $^{1+\lambda$ ^[5]
볼록체 K와 K의 캡 C를 지정하면 x가 K에 $C\cap M'(x)\neq \emptyset$ C $C\cap M'(x)\neq \emptyset$ M $C\cap M'(x)\neq \emptyset$ ( $C\cap M'(x)\neq \emptyset$ )≠ $C\cap M'(x)\neq \emptyset$ { $displaystyle$ C \ $cap$ M ' ( $x$ ) \ $neq$ \ $emptyset$ }이면 $C\cap M'(x)\neq \emptyset$ M $M'(x)\subset C^{2}$ ( $M'(x)\subset C^{2}$ $M'(x)\subset C^{2}$ $M'(x)\subset C^{2}$ $M'(x)\subset C^{2}$ ( \ $displaystyle$ M ' ( $x$ ) \ $subset$ C $}$ ^[5]{ $2$ }}
작은ϵ>0{\displaystyle \epsilon>0}과 정규 형식으로 볼록 K⊂ Rd{\displaystyle K\subset R^{d}}는 점을 감안하면 O의 컬렉션(1ϵ d− 12){O\left({\frac{1}{\epsilon ^{\frac{d-1}{2}}}}\right)\displaystyle}중앙 대칭 차갑볼록 몸 R1,.. 존재한다. .r $R_{1},....,R_{k}$ $\beta$ $(\$ .., $R_{k})$ 및 $R_{1},....,R_{k}$ C $C_{1},....,C_{k}$ (\ $displaystyle C_{1},$ $C_{1},....,C_{k}$ $C_{k})$ 는 $C_{1},....,C_{k}$ $\beta$ $C_{1},....,C_{k}$ 에 따라 $C_{1},....,C_{k}$ 한 $C_{1},....,C_{k}$ β $C_{1},....,C_{k}$ $displaystyle \beta })$ $\lambda$ {\(\ $displaystyle$ \ $lambda$ })에 $\lambda$ 대해 ^[5]다음과 같습니다.
- 각 $(\$ 는 $C_{i}$ $(\displaystyle \beta$ \ $R_{i}\subset C_{i}\subset R_{i}^{\lambda }$ $\beta \epsilon$ $R_{i}\subset C_{i}\subset R_{i}^{\lambda }$ $(\$ 를 가집니다.
- C가 폭의 캡 $\epsilon$ {\ $displaystyle \epsilon}$ 인 $\epsilon$ 경우 $R_{i}\subset C$ C {\ $displaystyle R_{i}\subset$ C $R_{i}\subset C$ $C_{i}^{\frac {1}{\beta ^{2}}}\subset C\subset C_{i}$ 및 $R_{i}\subset C$ $C_{i}^{\frac {1}{\beta ^{2}}}\subset C\subset C_{i}$ $C_{i}^{\frac {1}{\beta ^{2}}}\subset C\subset C_{i}$ $C_{i}^{\frac {1}{\beta ^{2}}}\subset C\subset C_{i}$ 2 $C_{i}^{\frac {1}{\beta ^{2}}}\subset C\subset C_{i}$ $C_{i}^{\frac {1}{\beta ^{2}}}\subset C\subset C_{i}$ i {\ $displaystyle C_{i}^{\beta ^2}\subset$ Cset $R_{i}\subset C$ 가 존재해야 합니다.

레퍼런스

^ Macbeath, A. M. (September 1952). "A Theorem on Non-Homogeneous Lattices". The Annals of Mathematics. 56 (2): 269–293. doi:10.2307/1969800. JSTOR 1969800.
^ Ewald, G.; Larman, D. G.; Rogers, C. A. (June 1970). "The directions of the line segments and of the r-dimensional balls on the boundary of a convex body in Euclidean space". Mathematika. 17 (1): 1–20. doi:10.1112/S0025579300002655.
^ ^a ^b ^c Barany, Imre (June 8, 2001). "The techhnique of M-regions and cap-coverings: a survey". Rendiconti di Palermo. 65: 21–38.
^ ^a ^b ^c Abdelkader, Ahmed; Mount, David M. (2018). "Economical Delone Sets for Approximating Convex Bodies". 16th Scandinavian Symposium and Workshops on Algorithm Theory (SWAT 2018). 101: 4:1–4:12. doi:10.4230/LIPIcs.SWAT.2018.4.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Arya, Sunil; da Fonseca, Guilherme D.; Mount, David M. (December 2017). "On the Combinatorial Complexity of Approximating Polytopes". Discrete & Computational Geometry. 58 (4): 849–870. arXiv:1604.01175. doi:10.1007/s00454-016-9856-5. S2CID 1841737.
^ Vernicos, Constantin; Walsh, Cormac (2021). "Flag-approximability of convex bodies and volume growth of Hilbert geometries". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 54 (5): 1297–1314. arXiv:1809.09471. doi:10.24033/asens.2482.

추가 정보

Dutta, Kunal; Ghosh, Arijit; Jartoux, Bruno; Mustafa, Nabil (2019). "Shallow Packings, Semialgebraic Set Systems, Macbeath Regions, and Polynomial Partitioning". Discrete & Computational Geometry. 61 (4): 756–777. doi:10.1007/s00454-019-00075-0. S2CID 127559205.

[1] Macbeath, A. M. (September 1952). "A Theorem on Non-Homogeneous Lattices". The Annals of Mathematics. 56 (2): 269–293. doi:10.2307/1969800. JSTOR 1969800.

[2] Ewald, G.; Larman, D. G.; Rogers, C. A. (June 1970). "The directions of the line segments and of the r-dimensional balls on the boundary of a convex body in Euclidean space". Mathematika. 17 (1): 1–20. doi:10.1112/S0025579300002655.

[IB-3] Barany, Imre (June 8, 2001). "The techhnique of M-regions and cap-coverings: a survey". Rendiconti di Palermo. 65: 21–38.

[am-4] Abdelkader, Ahmed; Mount, David M. (2018). "Economical Delone Sets for Approximating Convex Bodies". 16th Scandinavian Symposium and Workshops on Algorithm Theory (SWAT 2018). 101: 4:1–4:12. doi:10.4230/LIPIcs.SWAT.2018.4.

[SGM-5] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Arya, Sunil; da Fonseca, Guilherme D.; Mount, David M. (December 2017). "On the Combinatorial Complexity of Approximating Polytopes". Discrete & Computational Geometry. 58 (4): 849–870. arXiv:1604.01175. doi:10.1007/s00454-016-9856-5. S2CID 1841737.

[6] Vernicos, Constantin; Walsh, Cormac (2021). "Flag-approximability of convex bodies and volume growth of Hilbert geometries". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 54 (5): 1297–1314. arXiv:1809.09471. doi:10.24033/asens.2482.

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