볼록해석

볼록 분석은 볼록함수 및 볼록 집합의 특성 연구에 전념하는 수학의 분기로, 종종 최적화 이론의 하위 영역인 볼록 최소화에 응용된다.

볼록 세트

일부 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 부분 집합 $C{\displaystyle }$\ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$이(가) 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 충족하면 볼록스라고 한다.

1. $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0\leq$ r$\leq 1}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{실제}}$이고 x,${\displaystyle }$y${\displaystyle }$and C ${\displaystyle x,$${\displaystyle \mathrm{y}}$$\in$ C$}$인 경우 ${\displaystyle \mathrm{r<img\; alt="x,\; y\; \backslash in\; C"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/a27aed230492081fc1937d9c96f9fc3cccd9f40a"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:8.126ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="105">}}$ x + ( 1 -${\displaystyle r}$) ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaysty rx+(1-r)y\in C.}$
2. $$< < 1 ${\displaystyle 0>이$실제이고 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle$ $x$$,y\in C},$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ y${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ x$\neq$ y$,},$ $r$ ${\displaystyle x}$ +${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- r${\displaystyle }$) ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ C${\displaystyle }$. ${\displaystystyle rx+(1-r)y.$
3. ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle r}$+ s${\displaystyle }$) C${\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle C}$+ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (r+s)C=rC+sC}$ 모든$$ 양의 > ${\displaystyle r>0}$ 및 > ${\displaystyle s>0$. {\displaysty s >0$.$$}$^[2]

볼록함수

Throughout, ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ will be a map valued in the extended real numbers ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ with a domain ${\displaystyle \operatorname {domain} f=X}$ that is a convex subset of some v엑터 스페이스 ${\displaystyle \mathrm{지도}}$ $f{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle f:X\to [-\inful,\inful ]}$는 다음과$$ 같은 경우 볼록함수다.

${\displaystyle f(rx+(1-r)y)\leq rf(x)+(1-r)f(y)}$

(공백성 ≤)

${\displaystyle \mathrm{정의}}$ 불평등(Convexity ≤)이 엄격한 불평등으로 대체될 때$$ $f{\displaystyle }$ {\$displaystyle f}$이($가$) 계속 유지되는 경우$$ f ${\$$displaystyle$ f$}에$대해 real < ${\displaystyle$ $0$$}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{임의}}$의 x${\displaystyle }$, y${\displaystyle \in ?}$

${\displaystyle f(rx+(1-r)y)}<그림(x)+(1-r)f(y)}$

(공백성 <)

그 $다음$에 f $[\displaystyle f}$는 엄격히 볼록스라고 불린다$$.^[1]

볼록함수는 볼록 집합과 관련이 있다. 구체적으로, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 함수는 비문인 경우에만 볼록하다$$.

${\displaystyle \operatorname {epi}f:=\왼쪽\{(x,r)\in X\times \mathb {R} ~:~f(x)\leq r\right\}}}}$

(Epigrap def.)

볼록 ^[3]세트야 확장된 실질 가치 함수의 비문은 실제 분석에서 실제 가치 함수의 그래프가 수행하는 역할과 유사한 볼록 분석의 역할을 한다. 구체적으로, 확장된 실제 가치 함수의 비문은 공식을 돕거나 추측을 증명하는 데 사용될 수 있는 기하학적 직관을 제공한다.

함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}${\$displaystyle f:X\to[-\inflt$ ,\$inflt ]$의 도메인은 ${\displaystyle \mathrm{도메인<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; f:X\backslash to\; [-\backslash infty\; ,\backslash infty\; ]\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/cb5b80b60f448c0542dc59fd71f22b8ce01e8bc7"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:17.593ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="411">}}$^[3]${\displaystyle }$domain ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {domain}로 표시$되지만 유효 도메인은 설정됨

${\displaystyle \operatorname {dom} f:=\{x\in X~:~f(x)<\inful \}}$

(dom f def.)

만약 dom f≠ ∅{\displaystyle \operatorname{dom}f\neq \varnothing}과 f())을 ⁡ 이 함수 f:X→[− ∞, ∞]{\displaystyle f:X\to[,\infty-\infty]} 적절한, 모두에게 −∞{\displaystyle f())>,-\infty})∈ 도메인 ⁡ f.{\displaystylex\in \operatorname{도메인}의 'caput'}또는[3], 이 것을 의미하기 위해서라고 불린다모자가 exists some ${\displaystyle x}$ in the domain of ${\displaystyle f}$ at which ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }$ and ${\displaystyle f}$ is also never equal to ${\displaystyle -\infty .}$ In words, a function is proper if its domain is not empty, it never takes on the value ${\$$displaystyle -\infty ,}$ and it also is not identically equal to ${\displaystyle +\infty .}$ If ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to [-\infty ,\infty ]}$ is a proper convex function then there exist some vector ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$ and some ${\displa$$ystyle r\in \mathb {R}$과(와) 같은 경우

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$ -${\displaystyle }$r ${\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-r}($$모든$ x$${\$displaystyle x})$

여기서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x\cdot b}$은 이러한 벡터의 도트 곱을 나타낸다$$.

볼록 결합

The convex conjugate of an extended real-valued function ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ (not necessarily convex) is the function ${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to [-\infty ,\infty ]}$ from the (continuous) dual space ${\displaystyle X^{*}}$ of ${\displa$$ystyle$^[4] X$,}$ 및

${\displaystyle f^{*}\왼쪽(x^{*}\오른쪽)=\sup _{z\in X}\왼쪽\langle x^{*},z\right\rangele -f(z)\right\}}}}$

여기서 괄호 ${\displaystyle ⟨,}$⋅, ${\displaystyle \cdot ,}$ \, \, \$displaystyle$left$\langle \cdot,\$${\displaystyle \mathrm{cdot}}$ $\right\$$rangle$ $}}$은 표준 이중성 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle x{}^{}}$∗, z${\displaystyle \backslash }$ : ${\displaystyle {}^{}}$∗${\displaystyle {}^{}(}$ ${\displaystyle )}$을 나타낸다$$$.$ ${\left\langle \langle :=x^{*}$$}$ ${\displaystyle f}$의 비콘주게이트는 지도$$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\ast }^{}}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$ : ${\displaystyle X}$→${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle \mathrm{]}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ f$^{***}=\f^{*}\right)$이다.$^{*}:$${\displaystyle \mathrm{f<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; f^\{**\}=\backslash left(f^\{*\}\backslash right)^\{*\}:X\backslash to\; [-\backslash infty\; ,\backslash infty\; ]\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/3229c63ee01e8790a85b9f288eddca1b70746688"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:27.848ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="183">}{}^{}}$$to$${\displaystyle {}^{}}$( $x$)${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \underset{}{supp{}^{}}}$ z ${\displaystyle \underset{}{{\ast }^{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{{\ast }^{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}{}^{}}$ ${\displaystyle \ast {}^{}}$- ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ f$^{**}(x):$$=\sup _{z^{*}\in X^{*}}\left\{\left\langle x,z^{*}\right\rangle -f\left(z^{*}\right)\right\}}$ for every ${\displaystyle x\in X.}$ If ${\displaystyle \operatorname {Func} (X;Y)}$ denotes the set of ${\displaystyle Y}$-valued functions on ${\displaystyle X,}$ then the map ${\displaystyle \mathrm{Func}(X;[-}$${\displaystyle \operatorname {Func} (X;[-\infty ,\infty ])\to \operatorname {Func} \left(X^{*};[-\infty ,\infty ]\right)}$ defined by ${\displaystyle f\mapsto f^{*}}$ is called the Legendre-Fenchel transform.

하위차등 집합과 펜첼-영 불평등

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle f:X\to [-\infit,\infit ]$ 및$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ x$\in$ X$}$인 경우, 하위$$ 차등 집합은 다음과 같다.

${\displaystyle {\displaystyle}{4}\message f(x):&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~f(z)\geq f())+\left\langle x^{*},z-x\right\rangle{모든 \text{에}}z\in X\right\}&&({\text{"}}z\in X{\text{"}}{\text{과:}대체될 수 있는}{\text{"}}z\in X{\text{은} 같은}z\neq){\text{"}})\\&, =\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -f())\geq\left\langle x^{*},z\right\rangle -f(.알을 z){\text{l }}z\in X\right\}&&\\&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\geq \sup _{z\in X}\left\langle x^{*},z\right\rangle -f(z)\right\}&&{\text{ The right hand side is }}f^{*}\left(x^{*}\right)\\&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:\좌측\langle x^{*},x\right\rangele -f(x)=f^{*}\좌측(x^{*}\오른쪽)\right\&{}\texture{}z:=x{\text{{}}}{\text{{}는 불평등 }}을(를) 제공한다.\\end{aignatedat}}}$

예를 들어$,$ $X{\displaystyle }$ {\$displaystyle X}$에서 $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle \cdot }$ $‖$ {\$displaystyle f=\\cdot$\ \cdot \ $\}$이(가) 표준인$$ 중요한 특수 사례에서$$$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \ne }$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\neq$ x$\in X}$이면 이 정의가 다음과 같이 줄어든다는 것을^{[proof 1]} 알 수 있다.

${\displaystyle \partial f(x)=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle =\ x\ {\text{ and }}\left\ x^{*}\right\ =1\right\}}$ and ${\displaystyle \partial f(0)=$$\left\{x^{*}\in X^{*}}:~\왼쪽\x^{*}\right\\leq 1\right\}.$$}$

For any ${\displaystyle x\in X}$ and ${\displaystyle x^{*}\in X^{*},}$ ${\displaystyle f(x)+f^{*}\left(x^{*}\right)\geq \left\langle x^{*},x\right\rangle ,}$ which is called the Fenchel-Young inequality. This inequality is an equality (i.e. ${\displaystyle f(x)+f^{*}\left(x^{*}\right)=\left\langle x^{*},x\right\rangle }$) if and only if ${\displaystyle x^{*}\in \partial f(x).$$}}$ 하위 차동 집합 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \partial f(x)}$이(가) 볼록 $결합{\displaystyle {}^{}}$ f ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle f^{*}\left(x^{*})\right$와 직접 관련되는$$ 것은 이와$$ 같은 방식이다$.$$}$

비콘쥬게이트

함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$[\$displaystyle f:X\to [-\infit,\infit ]}$의 비콘주게이트는 일반적으로$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$: X${\displaystyle }$→${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \mathrm{\infty ,}\mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ .${\displaysty f^{*}:X\to [-\infte,\inft$]로 표기된다$.$$}}$ 비콘쥬게이트는$$ ( 섭동 기능을 통해) 강하거나 약한 이중성이 유지되는 때를 보여주는 데 유용하다.

$모든{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle$x\$in$ X$}$의 경우, 불평등 f${\displaystyle {}^{}}$– (${\displaystyle {}^{}x}$)${\displaystyle {}^{}f}$f (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f^{**}(x)\leq$ f$(x)}$는 Fenchel–에서 온다$$.젊은 불평등. 적절한 기능을 위해 Fenchel-Moreau 정리에 의해 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$이(가)^[4][5] 볼록하고 하부 반연속인 경우에만 $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$

볼록스 최소화

볼록 최소화(기본) 문제는 형태 중 하나이다.

${\displaystyle \underset{}{볼록}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{함수}}}$ f :${\displaystyle X}$ →${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,$∞$ ${\displaystyle$ $\inf _{x\in M}f(x)}$와 볼록 부분 $집합$ $M{\displaystyle }$$$${\displaystyle \subseteq }$ $.$ ${\$$displaystyle M\subseteq$ X$}$를 $찾으십시오.$

이중 문제

최적화 이론에서, 이중성 원리는 최적화 문제는 원시적 문제 또는 이중적 문제라는 두 가지 관점 중 하나에서 볼 수 있다고 말한다.

일반적으로 로컬 볼록한 공간$($, X ${\displaystyle {\ast }^{}}$) {\$displaystyle \left(X,X^{*}\right)$ 및$$(${\displaystyle {}^{}}$ ,Y$$ ${\displaystyle ,}$ ) .$displaystyle \left(Y,Y^{*}\right$)로 구분된 두 쌍의 이중 쌍이${\displaystyle }$주어진다$.$${\displaystyle \}\}}$ ${\displaystyle \mathrm{그러면<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash left(Y,Y^\{*\}\backslash right).\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/573653619578918c064b13b6f2a4c47e0fda45f0"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.605ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="67">}}$f${\displaystyle }$:${\displaystyle }$X →${\displaystyle \mathrm{}}$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,${\displaystyle ,}$ $]$ , {\$displaystyle$ f$:X$\to $[-\inflt ,\infully ],}}$ 기능을 감안할 때, 원시적인$$ 문제는 다음과 같은$$$$x {\$displaysty$ x$}$를 $찾는$ 것으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \inf _{x\in X}f(x).}$

제약 조건이 있는 경우 $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$+ I ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}}$ a ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$ n ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$ ${\$ f$=f+}$ $함수$에 f =$displaystyle$ f$}$을(를) 내장할$$ 수 있다.$I_{\mathrm {constraints} }}}$ 여기서$$ $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) 지시 함수다. 그런 다음 $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ Y${\displaystyle }$→${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,${\displaystyle \mathrm{},}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle F:X\times$Y\$to [-\\infit,\infit ]}$을(를) F${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{x}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$) .${\displaysty F(x,0)=f(x$)와 같은 섭동함수가 되게$$ 한다$.$$}$^[6]

선택된 섭동 기능에 관한 이중 문제는 다음과 같다.

${\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}-F^{*}\왼쪽(0,y^{*}\오른쪽)}$

여기서 $F{\displaystyle {}^{}}$ $∗{\$는 $F{\displaystyle .}$ ${\displaystyle F$의 두 변수에 있는 볼록 결합이다$.$$}$

이중성격차는 불평등의^[7][6][8] 좌우의 차이다.

${\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}}-F^{*}}\좌측(0,y^{*}\오른쪽)\leq \inf _{x\in X}F(x,0)}$

이 원리는 약한 이중성과 같다. 쌍방이 대등하면 문제는 강한 이중성을 만족시킨다고 한다.

다음과 같이 강한 이중성을 보유할 수 있는 여러 조건이 있다.

• ${\displaystyle F}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ $여기$서 F$${\$displaystyle$F}은$$(는) 원시 및 이중 문제와 관련된 섭동 함수, $F{\displaystyle {}^{\{}}${\$displaystyle$ $F$$^{*}}$는 F$${\$displaysty$ F$}$의 비콘주게이트$;$^{[citation needed]}
• 원시적 문제는 선형 최적화 문제다.
• 볼록 최적화 문제에 대한 슬레이터의 상태.^[9][10]

라그랑주 이중성

불평등 구속조건에 따른 볼록 최소화 문제의 경우,

${\displaystyle }$$min$ ${\displaystyle {}_{}}$$$( ${\displaystyle x}$) ${\$$displaystyle$ $\min {}{x}f(x)}$에 $따라$${\displaystyle {}_{}}$g${\displaystyle \mathrm{i}}$ =${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$…, ${\displaystyle \mathrm{m}}$. {\$displaystyle g_{i}($$)\leq$ 0$}$의 $적용$을 받는다$.$

라그랑의 이중 문제는

${\displaystyle supp}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle inf}$ x ${\displaystyle L}$(${\displaystyle }$x ,${\displaystyle u}$ )$${\$displaystyle \sup {}_{u$}\$inf {}{x}$$L(x,u)}$에 대한$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$= ${\displaystyle 1}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle i=1,\ldots,m.}$의 적용을 받는다.

여기서 목적함수 $L{\displaystyle (x}$ ,${\displaystyle u}$) ${\displaystyle$ L$(x,u)}$은 다음과 같이 정의된 라그랑주 이중함수다.

${\displaystyle L(x,u)=f(x)+\sum _{j=1}^{j=1}u_{j}g_{j}(x)}$

참고 항목

• 경제학의 볼록성 – 경제학의 중요한 주제
  • 비합법성(경제학) – 기초경제학의 볼록성 가정 위반
• 볼록한 주제 목록 - 위키백과 목록 기사
• 베르너 펜첼

메모들

참조

• Bauschke, Heinz H.; Combettes, Patrick L. (28 February 2017). Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces. CMS Books in Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-48311-5. OCLC 1037059594.
• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (8 March 2004). Convex Optimization. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge, U.K. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. OCLC 53331084.
• Hiriart-Urruty, J.-B.; Lemaréchal, C. (2001). Fundamentals of convex analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42205-1.
• Kusraev, A.G.; Kutateladze, Semen Samsonovich (1995). Subdifferentials: Theory and Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-94-011-0265-0.
• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Singer, Ivan (1997). Abstract convex analysis. Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. New York: John Wiley & Sons, Inc. pp. xxii+491. ISBN 0-471-16015-6. MR 1461544.
• Stoer, J.; Witzgall, C. (1970). Convexity and optimization in finite dimensions. 1. Berlin: Springer. ISBN 978-0-387-04835-2.
• Zălinescu, Constantin (30 July 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112 – via Internet Archive.

외부 링크

• 위키미디어 커먼스의 볼록스 분석 관련 매체