다수 로직 디코딩

오류 검출 및 수정에서 다수 로직 디코딩은 심볼이 가장 많이 발생하는 것이 전송된 심볼이라는 가정에 기초하여 반복 코드를 디코딩하는 방법이다.

이론.

0 $0,1$ $({displaystyle$ $(n,1)$ 0 $,1$ 로 $0,1$ 된 2진수 알파벳에서 $(n,1)$ ( $(n,1)$ , $(n,1)$ 1 ) { $displaystyle (n,$ 1 $(n,1)$ 반복 $(n,1)$ 코드를 사용하면 각 입력 비트가 n{ $displaystyle$ n} - 복제 입력 $n$ $n$ 의 문자열로 코드 워드에 매핑됩니다. $n=2t+1$ 으로 n $n=2t+1$ $n=2t+1$ + $n=2t+1$ (\ $style$ n $=2t+1$ 로 홀수입니다.

반복 코드는 최대 $[n/2]$ [ $[n/2]$ $]({displaystyle [n/2])$ 의 $[n/2]$ 전송 오류를 검출할 수 있습니다.디코딩 에러는, 이러한 송신 에러보다 많은 경우에 발생합니다.따라서 비트 전송 오류가 독립적이라고 가정하면 반복 코드의 오류 $P_{e}=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{n \choose k}\epsilon ^{k}(1-\epsilon )^{(n-k)}$ 은 $P_{e}=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{n \choose k}\epsilon ^{k}(1-\epsilon )^{(n-k)}$ e $P_{e}=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{n \choose k}\epsilon ^{k}(1-\epsilon )^{(n-k)}$ $P_{e}=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{n \choose k}\epsilon ^{k}(1-\epsilon )^{(n-k)}$ k $P_{e}=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{n \choose k}\epsilon ^{k}(1-\epsilon )^{(n-k)}$ n + $P_{e}=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{n \choose k}\epsilon ^{k}(1-\epsilon )^{(n-k)}$ $P_{e}=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{n \choose k}\epsilon ^{k}(1-\epsilon )^{(n-k)}$ ( $P_{e}=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{n \choose k}\epsilon ^{k}(1-\epsilon )^{(n-k)}$ ) $P_{e}=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{n \choose k}\epsilon ^{k}(1-\epsilon )^{(n-k)}$ k ( $P_{e}=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{n \choose k}\epsilon ^{k}(1-\epsilon )^{(n-k)}$ - $P_{e}=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{n \choose k}\epsilon ^{k}(1-\epsilon )^{(n-k)}$ ) $P_{e}=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{n \choose k}\epsilon ^{k}(1-\epsilon )^{(n-k)}$ ( n $P_{e}=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{n \choose k}\epsilon ^{k}(1-\epsilon )^{(n-k)}$ - $P_{e}=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{n \choose k}\epsilon ^{k}(1-\epsilon )^{(n-k)}$ $)\$ $displaystyle P_{e$ } = \ $sum$ _ { k = $displayfrac {n$ + $1$ }{ $2$ } $}}^{n}{n$ \ $choose k$ }\ $ilon$ $\epsilon$ $^{$ k}( $1-\$ ilon $)^{(n-k$ $여기서 {\$ ${\displaystyle$ \ilon $\epsilon$ }은 전송 채널의 오류입니다.

알고리즘.

전제 조건: 코드 워드는 $(n,1)$ ( $(n,1)$ 1) $(n,1)$ { $displaystyle (n,1$ 입니다. $n=2t+1$ 서 n $n=2t+1$ $n=2t+1$ + $n=2t+1$ { $displaystyle n=2t+1}$ 은 $n=2t+1$ 홀수입니다.

$d_{H}$ 를 $d_{H}$ 계산합니다.{ $displaystyle$ d $d_{H}$ _ { ） $H}$ 반복 $d_{H}$ 코드의 해밍 중량.
$d_{H}\leq t$ H $d_{H}\leq t$ t \ $displaystyle d_{$ 의 $d_{H}\leq t$ $H}\leq$ t $d_{H}\leq t$ 코드 워드를 모두 0으로 디코딩합니다.
$d_{H}\geq t+1$ $d_{H}\geq t+1$ + $d_{H}\geq t+1$ 1 $d_{H}\geq t+1$ { $display style$ d $d_{H}\geq t+1$ _ { $H}\geq$ t $+1$ 코드 워드를 모두 1로 디코딩합니다.

이 알고리즘은 그 자체로 부울 함수이며, 과반수 함수입니다.

예

$(n,1)$ ( $(n,1)$ n , $(n,1)$ ) { $displaystyle (n,1)}$ 코드에서 $(n,1)$ R=[1 0 1 1 0]이면 다음과 같이 디코딩됩니다.

$n=5,t=2$ $n=5,t=2$ , $n=5,t=2$ $=$ 2 { $style$ n $=$ 5, t $= 2$ $n=5,t=2$ , $d_{H}=3$ H $d_{H}=3$ { $style d_{$ $H}=3$ 즉 R'=[1 1 1 1 1 ]
따라서 전송된 메시지비트는 1이었습니다

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라이스 대학교, https://web.archive.org/web/20051205194451/http://cnx.rice.edu/content/m0071/latest/

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이론.

알고리즘.

예

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