전공화

수학에서 전공은 실수의 벡터에 대한 사전 주문이다.벡터 $a{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$d}}$의 경우,$$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ \$mathb {R}}$^{$d$$}}}}$ 벡터 $구성{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ 요소는 동일하지만 내림차순으로 정렬된 것이다.Given ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{d}}$, we say that ${\displaystyle \mathbf {a} }$ weakly majorizes (or dominates) ${\displaystyle \mathbf {b} }$ from below written as ${\displaystyle \mathbf {a} \succ _{w}\mathbf {b} }$ iff

${\displaystyle \sum \{i=1}a_{i}^{\downarrow }\\geq \sum _{i=1}b_{i}^{\downarrow }}}}{}k=1,\cHB,d,}}$

동등하게, $우리$는 b ${\$가) 아래로부터 ${\$에 의해 약하게 전공화(또는 지배)되고 있다고$$ 말하고, ${\displaystyle b_{}}$는 ${\$로 표기한다$.$

If ${\displaystyle \mathbf {a} \succ _{w}\mathbf {b} }$ and in addition ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}a_{i}=\sum _{i=1}^{d}b_{i}}$, we say that ${\displaystyle \mathbf {a} }$ majorizes (or dominates) ${\displaystyle \mathbf {b} }$, written as ${\displaystyle \mathbf{a}}$${\displaystyle \mathbf {a} \succ \mathbf {b} }$. Equivalently, we say that ${\displaystyle \mathbf {b} }$ is majorized (or dominated) by ${\displaystyle \mathbf {a} }$, written as ${\displaystyle \mathbf {b} \prec \mathbf {a} }$.

Note that the majorization order does not depend on the order of the components of the vectors ${\displaystyle \mathbf {a} }$ or ${\displaystyle \mathbf {b} }$. Majorization is not a partial order, since ${\displaystyle \mathbf {a} \succ \mathbf {b} }$ and ${\displaystyle \mathbf {b} \succ \mathbf$${a}$ }이$($가) ${\displaystyle a\mathbf{}}$= b ${\$을(를) 의미하는 것은$$ 아니며$,$ 각 벡터의 성분이 동일하지만 반드시 같은 순서는 아니라는 것을 의미할 뿐이다.

수학적 문헌에서 표기법이 일치하지 않는다는 점에 유의하십시오. 일부에서는 역 표기법을 사용하며, 예: $\succ {\displaystyle }$ ${\displaystyle \such }$은(는) ≺ ${\displaystyle \prec }($으)로 대체된다$.$

A function ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$ is said to be Schur convex when ${\displaystyle \mathbf {a} \succ \mathbf {b} }$ implies ${\displaystyle f(\mathbf {a} )\geq f(\mathbf {b} )}$. Similarly, ${\displaystyle f(\mathbf {a} )}$ is Schur c${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle b\mathbf{}}$ ${\$이(${\displaystyle 가\mathbf{}}$) f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle \le }$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle b\mathbf{}}$ ${\displaystyle )}$ . ${\displaystyle f(\mathbf {a} )\leq$ f$(\mathbf {b}})$를 암시하는$$ 경우 oncave$.$$}$

여기에서 설명하는 유한 집합의 주요화 부분 순서는 분포 함수의 부분 순서인 로렌츠 순서에 일반화할 수 있다.예를 들어, 재산분포는 로렌츠 곡선이 다른 값보다 아래에 있는 경우보다 로렌츠가 더 많다.이와 같이 로렌츠가 더 많은 부의 분배는 지니계수가 높고, 소득불평등이 더 많다.

예

항목의 순서는 주요화에 영향을 미치지 않는다. 예를 들어$,{\displaystyle }$ 문장 (${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$)${\displaystyle \prec }$(0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 3}$ )${\displaystyle (1,2)\prec (0,3$)은 단순히${\displaystyle }$(${\displaystyle 2,1}$) ${\displaystyle \prec }$(${\displaystyle 3,0}$)$$≺ (2$,1)\prec (3,0)$과 동일하다$.$

(강) 전공화:${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle (0,}$ 3,${\displaystyle 3}$ )${\displaystyle \prec }$(${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 6}$) ${$ (0,$$2, 3$)\prec (0,3,3)\prec (0,0,$6$)\}.$ n 성분으로 된 벡터의 경우

${\displaystyle \left({\frac {1}{n}},\ldots ,{\frac {1}{n}}\right)\prec \left({\frac {1}{n-1}},\ldots ,{\frac {1}{n-1}},0\right)\prec \cdots \prec \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},0,\ldots ,0\right)\prec \left(1,0,\ldots ,0\right).}$

(Weak) 전공화:${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle w_{}}$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 3}$, 3${\displaystyle }$)${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle w_{}}$( ${\displaystyle 1}$, 3, ${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }${ w (1, 3,${\displaystyle 4}$ ) ${\displaystyle ($1$,2,3)\prec _{w}$ (1$,3,3)\prec _{w}(1,3,4$ n개의 구성요소를 가진 벡터의 경우:

${\displaystyle \left({\frac {1}{n1},\ldots, {\frac {1}{n1}\ldots, {\frac {1}{n-1,1\right)\ldots.}$

주요화 기하학

For ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n},}$ we have ${\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }$ if and only if ${\displaystyle \mathbf {x} }$ is in the convex hull of all vectors obtained by permuting the coordinates of ${\displaystyle \mathbf {y} }$.

Figure 1 displays the convex hull in 2D for the vector ${\displaystyle \mathbf {y} =(3,\,1)}$. Notice that the center of the convex hull, which is an interval in this case, is the vector ${\displaystyle \mathbf {x} =(2,\,2)}$. This is the "smallest" vector satisfying ${\displaystyle \mat$$hbf {x} \mathbf {y}$ 지정된 벡터 $y{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 대한$$$$$\$mathbf {y} .

그림 2는 3D로 볼록한 선체를 보여준다.이 경우 2D 폴리곤인 볼록 선체의 중심은 주어진 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ y ${\$ $\mathbf$ ${x}$을$($를) 만족하는 "가장 작은" $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ x ${\$$displaystyle \mathbf$${$x$}$$\prec$ $\mathbf$$${$y$을(를)로 한다$$.

등가조건

${\displaystyle 다음\mathbf{}}$ 각 문장은 ${\displaystyle \succ }$ b ${\$인 경우에만 참이다$.$

• B)D{\displaystyle \mathbf{b}=D\mathbf{를}}일부 이중 확률 행렬:각 행의 D에 대한{D\displaystyle}.[1]:.Thm. 2.1이 b{\displaystyle \mathbf{b}}은{\displaystyle \mathbf{}}의 순열의 볼록 조합으로;그는 그런 conve이 있는지 확인할 수 있는 표시할 수 있다는 것을 말하는 것 같다.최대 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ 순열$$ ${\$을(를) 사용하는 x 표현$.$^[2]
• 우리가 가는 곳은 나는{\displaystyle a_{나는}두가지 요소를 대신하게 된{\displaystyle \mathbf{}부터}우리는}"로빈 후드 작전"유한한 순서에 의해}와 j<>;나는{\displaystyle a_{j}<, a_{나는}}는 나는 − ε{\displaystyle a_{나는}-\varepsilon}과 b{\displaystyle \mathbf{b}생산할 수 있다. 는 j${\displaystyle {}_{}+}$$\epsilon {\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$ $a$${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ - ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle$ \$varepsilon \}$에 대해 각각$${\$displaystyle$ $\varepsilon \in(0,a_{i}-a_{j$^{[1]: 11}
• For every convex function ${\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}h(a_{i})\geq \sum _{i=1}^{d}h(b_{i})}$.^{[1]: Thm. 2.9}
  • In fact, a special case suffices: ${\displaystyle \sum _{i}{a_{i}}=\sum _{i}{b_{i}}}$ and, for every t, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}{\max {(0,a_{i}-t)}}\geq \sum _{i=1}^{d}{\max {(0,b_{i}-t)}}}$.^[3]
• ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{R}}}$ ${\displaystyle \sum \underset{}{\overset{}{}}}$ j${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle a\underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{j}}}$= 1 ${\displaystyle d\underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ b ${\displaystyle j_{}}$ = 1 d j${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle t}${\$forall$t\$in$ \$mathb {R} \quad$\sum \$sum$ _${j=1}^{d}-t \geq \sum _{j=1}^{j}-t$^{[4]: Exercise 12.17}

선형대수에서

• 실제 벡터 $v{\displaystyle }$ , v ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}{}^{}}$R${\displaystyle }$d ${\$ {$R}$^d$}, v$${\displaystyle$v}이($가$$)$ $v{\displaystyle {}^{}}$ $}$ $displaystyle$ v$'}$을(를$)$ 전공한다고 가정합시다.Then it can be shown that there exists a set of probabilities ${\displaystyle (p_{1},p_{2},\ldots ,p_{d}),\sum _{i=1}^{d}p_{i}=1}$ and a set of permutations ${\displaystyle (P_{1},P_{2},\ldots ,P_{d})}$ such that ${\displaystyle v^{\prime }=\sum _{i=1}^{}}$${\displaystyle$$P_{i}v$^[2] $또는{\displaystyle }$ v${\displaystyle D}$ = ${\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystyle vD=v'}$과 같은 이중 확률적 $행렬{\displaystyle }$ D$${\$displaystyle D$}이(가) 있음을 나타낼 수 있다.

• $우리$는 H ${\$$displaystyle$ $H}$의 고유값 집합이 H ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$displaystyle$ H$'}$의 고유값을 H $izes$ {\displaystyle H'}의 고유값 집합이 H ′ {\$displaystystyle$ H'}의 고유값 집합이 H $\prime$ {\displaystyth}의 고유값인 $다른{\displaystyle }$ $'$를 전공한다고 말한다$.$

계산가능성 이론에서

Given ${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$, then ${\displaystyle f}$ is said to majorize ${\displaystyle g}$ if, for all ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$. If there is some ${\displaystyle n}$ so that ${\displayst$핀란드 국영 방송 모든 x>(g())};n{\displaystyle x>, n}, f{\displaystyle f}(또는 결국 지배)g{\displaystyle g}을 지배하는 그는 선행 원자력 발전소는 엄격한 불평등 f())을 요구하는 정의된다. g()){\displaystyle f())>, g())}f())≥ g대신(다고 한다. x){\disp앞에서 설명한 정의에서$$ $레이스타일 f(x)\geq g(x)}$

일반화

주요화의 다양한 일반화는 참고서 14장과 15장에서 논의된다. 불평등: 주요화 이론과 그 적용에 관한 이론.알버트 W. 마샬, 잉그램 올킨, 배리 아놀드.제2판.Springer Series in Statistics(통계학)스프링거, 2011년 뉴욕 ISBN978-0-387-40087-7

참고 항목

• 뮤어 헤드의 부등식
• 카라마타의 부등식
• 슈르-콘벡스 함수
• 슈르-혼 정리 - 행렬의 대각선 입력과 고유값을 연관시켰다.
• 양의 정수인 경우 약한 전공화를 지배 순서라고 한다.
• 렉시민 순서

메모들

참조

• J. 카라마타"여기에 갈리아이트의 상대적 애호가가 볼록하다." 퍼블리크 수학. 유니브. 베오그라드 1, 145–158, 1932.
• G. H. 하디, J. E. 리틀우드, G.폴랴, 불평등, 제2판 1952년, 런던 케임브리지 대학 출판부.
• 불평등: 메이저화 이론과 그것의 응용에 관한 이론 알버트 W. 마샬, 잉그램 올킨, 배리 아놀드, 두 번째 판.Springer Series in Statistics(통계학)스프링거, 2011년 뉴욕ISBN 978-0-387-40087-7
• 불평등: 주요화 이론과 그 적용에 관한 이론 (1980) 알버트 W. 마샬, 잉그램 올킨, 학술언론, ISBN 978-0-12-473750-1
• 마샬과 올킨의 책 "불쌍성:주요화 이론과 그 적용에 관한 연구
• 매트릭스 분석(1996) Rajendra Bhatia, Springer, ISBN 978-0-387-94846-1
• 매트릭스 분석(1994) 로저 A의 항목.혼과 찰스 R.존슨, 캠브리지 대학 출판부, ISBN 978-0-521-46713-1
• 무선통신에서의 메이저화 및 매트릭스 모노톤 기능(2007) 에두아르 조르스위크와 홀거 보쉬, 현재 출판사, ISBN 978-1-60198-040-3
• Cauchy Schwarz Master Class(2004) J. Michael Stele, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54677-5

외부 링크

• MathWorld 전공
• 플래닛매트릭스의 전공화

소프트웨어

• 주요화 확인을 위한 옥타브/MATLAB 코드