슈르-콘벡스 함수

In mathematics, a Schur-convex function, also known as S-convex, isotonic function and order-preserving function is a function $f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R}$ that for all $x,y\in \mathbb {R} ^{d}$ such that $x$ is majorized by $y$ ${\displaystyle$ $f(x)\leq f(y)$ $y$ 하나는 $f(x)\leq f(y)$ ( $f(x)\leq f(y)$ ) $f(x)\leq f(y)$ f $f(x)\leq f(y)$ ( $f(x)\leq f(y)$ ) $f(x)\leq f(y)$ 을(를 $f(x)\leq f(y)$ 가지고 있다. Issai Schur의 이름을 따서 슈르-콘벡스 함수가 전공화 연구에 사용된다. 볼록하고 대칭적인 모든 기능도 슈르-콘벡스다. 반대 함축은 사실이 아니지만 모든 슈르-콘벡스 함수는 대칭(주장의 순열 하)이다).^[1]

슈르-콘케이브 함수

함수 f는 음수인 -f가 슈르-콘벡스일 경우 '슈르-콘카브'이다.

슈르-오스트로우스키 기준

f가 대칭이고 첫 번째 부분파생상품이 모두 존재하는 경우 f는 schur-convex이다.

$(x_{i}-x_{j})\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\geq 0$ for all $x\in \mathbb {R} ^{d}$

모든 1≤i≠j≤d의 홀드.^[2]

예

$f(x)=\min(x)$ ( $f(x)=\min(x)$ ) $f(x)=\min(x)$ = $f(x)=\min(x)$ ( x $f(x)=\min(x)$ ) $f(x)=\min(x)$ 은 $f(x)=\min(x)$ (는) Schur-concave이고 $f(x)=\max(x)$ ( $f(x)=\max(x)$ ) $f(x)=\max(x)$ = $f(x)=\max(x)$ $f(x)=\max(x)$ x $f(x)=\max(x)$ ) $f(x)=\max(x)$ 은(는 $f(x)=\max(x)$ ) Schur-convx이다. 이것은 정의에서 직접 볼 수 있다.
섀넌 엔트로피 함수 $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ = $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ log $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ ${\$ d}{ $P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}}}}$ 은 $\sum_{i=1}^d{P_i \cdot \log_2{\frac{1}{P_i}}}$ (는) 슈르-콘케이브다.
레니 엔트로피 기능도 슈르콘케이브다.
$\sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1$ $\sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1$ = $\sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1$ $\sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1$ $\sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1$ i $\sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1$ $\sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1$ $\sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1$ 1 $\sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}}},k\geq 1$ 은 $\sum_{i=1}^d{x_i^k},k \ge 1$ 슈르-콘벡스다.
$x_{i}>0$ $f(x)=\prod _{i=1}^{d}x_{i}$ ) $f(x)=\prod _{i=1}^{d}x_{i}$ = $f(x)=\prod _{i=1}^{d}x_{i}$ i $f(x)=\prod _{i=1}^{d}x_{i}$ = 1 $f(x)=\prod _{i=1}^{d}x_{i}$ $f(x)=\prod _{i=1}^{d}x_{i}$ $f(x)=\prod _{i=1}^{d}x_{i}$ ${\$ 함수 f는 $x_{i}>0$ x i $x_{i}>0$ > 0 ${\displaysty x_{i}}}}}$ 을 $x_{i}>0$ 를) 가정할 때 슈르-콘카베이다. $x_{i}>0$ 방법으로 모든 $x_{i}>0$ 대칭함수는 x $x_{i}>0$ > 0 ${\displaystyle x_{i}>0$ 일 때 Schur-concave이다.
$x\succ y$ 의 자연스러운 해석은 $x\succ y$ $x\succ y$ y ${\displaystyle$ x $\such$ y $}$ 이(가) $y$ $y$ 보다 $x$ $x$ 이 $x \succ y$ (가) 덜 퍼져 있다는 $x$ 것이다 $y$ 그러므로 변동성의 통계적 척도가 슈르-콘벡스인지 묻는 것은 당연하다. 분산과 표준 편차는 슈르-콘벡스 함수인 반면 중위수 절대 편차는 그렇지 않다.
$g$ $g$ 이 $g$ (가) 실제 간격으로 정의된 볼록 $\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})$ 인 경우, $\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})$ ∑ i $\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})$ = $\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})$ $\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})$ ( $\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})$ $\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})$ ) $\sum _{i=1}^{ng(x_{i})$ 는 $\sum_{i=1}^n g(x_i)$ Schur-convx이다.
확률 예제: X $X_{1},\dots ,X_{n}$ , $X_{1},\dots ,X_{n}$ … , X $X_{1},\dots ,X_{n}$ ${\$ 이(가) 교환 가능한 임의 변수라면 $X_1, \dots, X_n$ , 함수 ${\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}$ ${\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}$ j ${\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}$ = ${\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}$ ${\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}$ j ${\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}$ ${\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}$ ${\$ $E}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}}}$ 는 기대치가 존재한다고 $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ 하여 $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ = ( $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ , $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ … $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ , $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ $){\displaysty a=(a_{1},\dots ,a_{n}})$ 의 함수로서 슈르-콘벡스다 ${\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}$ .
지니계수는 엄밀히 말하면 슈르 볼록스다.

참조

^ Roberts, A. Wayne; Varberg, Dale E. (1973). Convex functions. New York: Academic Press. p. 258. ISBN 9780080873725.
^ E. Peajcariaac, Josip; L. Tong, Y. Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications. Academic Press. p. 333. ISBN 9780080925226.

참고 항목

퀘이콘벡스 함수

이 수학적 분석 관련 기사는 단조롭다. 위키피디아를 확장하여 도울 수 있다.

[1] Roberts, A. Wayne; Varberg, Dale E. (1973). Convex functions. New York: Academic Press. p. 258. ISBN 9780080873725.

[2] E. Peajcariaac, Josip; L. Tong, Y. Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications. Academic Press. p. 333. ISBN 9780080925226.

[1]

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