매핑 실린더

수학, 특히 대수 위상에서 위상 $X$와$Y{\displaystyle }$ $사이$의 연속 $f$의 매핑^[1] 실린더는 다음과 같다.

${\displaystyle M_{f}=(([0,1]\times X)\amalg Y),/,\sim }$

여기서$$ ${\$ \ $displaystyle$\ $displayg }$ 、 is 、 is 、 is 、 ,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,

${\displaystyle (0,x)\sim f(x)\quad{각 }x\in X}$

즉, 맵핑 ${\displaystyle {실린더}_{}}$M f {\$displaystyle M_{$$f$}은 맵$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ f$\}$를 $통해$$$X${\displaystyle }$× [$0, 1$$]$ {\$displaystyle$Y$}$의 한쪽 끝을 Y {\$displaystyle$ Y}에 붙이면 얻을 수 있습니다.${\displaystyle \mathrm{실린더}}$의 $"$상부"는$$홈입니다.$yle$ X$\}($아래쪽은 $공백{\displaystyle }$ f${\displaystyle (X)\mathrm{display}}$Y(\$displaystyle$ f$($$X)\subset$ Y$)$입니다.${\displaystyle M_{}}$ f$f_{f$에는 ${\displaystyle \mathrm{일반적}}$으로$$M f$$$f$ {\$displaystyle M_$${f$} 또는$$ \$display$ style$$$fcup${$f}$을 $사용$합니다$.{\displaystyle {}_{}}$즉, 글을 쓴다.

${\displaystyle Mf=([0,1]\times X)\cup _{f}Y }$

등가를 나타내는 첨자 컵 기호가 있는 경우.매핑 실린더는 일반적으로 실린더의 한쪽 끝을 한 점으로 접어서 얻은 $매핑{\displaystyle }$ ${\displaystyle 콘}$Cf f {\$displaystyle$ Cf$\}$를 구성하는 데 사용됩니다.매핑 실린더는 코피그레이션 정의의 핵심입니다.

기본 속성

하단 Y는 M ${\displaystyle f_{}}${\$displaystyle M_{f$의 변형 수축입니다.$투영{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ f ${\displaystyle {}_{}}$({$displaystyle$ $M_$${f$$}\to$Y)는 Y${\displaystyle y}$ Y ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle M_{}}$f {\$ni$ y$\mapto Y$ }를 통해 분할되며 변형 $후퇴$ $R$$({$displaystyle $})$은 다음과 같이 표시됩니다.

${\displaystyle R:M_{f}\times I\오른쪽 화살표 M_{f}}$

$\displaystyle([t,x],s)\mapsto [s\cdot t,x],(y,s)\mapsto y}$

$($서 Y(\$displaystyle$ Y$)$ $포인트$는 모든 s${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$ s$)$에 대해 [$x$ $=$ [ $s$\ $displaystyle [ 0$ , x$\}{\displaystyle }$이므로 고정됩니다).

$지도{\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:X\to$ Y$}$는 "top$"{\displaystyle }$ { ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ×$$ {\$displaystyle \{1\}\times$ X$}$가 M$$ {\$displaystyle M_{f$^[2]의 강력한 변형 수축인 경우에만 ^[3]호모토피 등가입니다.

예

파이버 번들의 매핑 실린더

파이버 $번들{\displaystyle }$ ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \to }$ \ $displaystyle \$$pi$ :$파이버{\displaystyle }$F$(\$$displaystyle$ F$),$ 매핑 실린더 포함$P\to$ X

${\displaystyle M_{\pi }=(([0,1]\times P)\coprod X)/\sim }$

등가 관계가 있다

$\displaystyle (0,p_{x})\sim (0,q_{x})}$

${\displaystyle p_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ x${\$ ${\displaystyle F_{}}$ x {\$displaystyle p_{x$},$q_{x$}\$in F_$x}. 다음으로 포인트${\displaystyle }$[$i, p_{x},$M$]$를 $X-style$X_{\$pi$$\}$로 전송하는 표준 $맵$이 있습니다.

$(\displaystyle p: 표시 스타일)M_{\pi }\to X}$

이 파이버는 $원뿔{\displaystyle }$ $(\displaystyle$ CF$)$입니다. 이를 확인하려면 X$displaystyle$ x$\in$ X$)$ $위$의 파이버는 몫 공간입니다.

${\displaystyle [0,1]\times P\coprod \{x\}/\sim}$

여기서 { ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ×$$ {\$displaystyle$\{$0\}\times$ P$}$의 모든 점은 동일합니다.

해석

매핑 실린더는 다음과 같은 의미에서 임의의 맵을 동등한 공교정으로 대체하는 방법으로 볼 수 있습니다.

$지도{\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}_{}}$$$ {\$displaystyle$f$\$$to$ Y$\}$ {\displaystyle $M_{$${\displaystyle {}_{}}$$\}$ {\$displaystyle$ {\displaystyle {$f$} {\tilde {f}} {\$displaystyle$ X$\to$ M_${f$}}} 및$$ 피사적 $호모피{\displaystyle {}_{}}$ 등가 있는 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ ${\displaystyle {매핑}_{}}$ ${\displaystyle {실린더}_{}}$는 $공간{\displaystyle {}_{}}$ M$$f_${$$f$}입니다.n 구성 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle M_{}}$ f ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y}${\$displaystyle X\to$ M_${f}\$to Y$}$가 f가 되도록 M$f$의 retract.

따라서 공간 Y는 호모토피 등가 ${\displaystyle {공간}_{}}$M f {\$displaystyle M_{$f$\}\}$로 대체되고 $지도{\displaystyle \stackrel{}{}}$ f는 리프팅${\displaystyle \stackrel{}{}}$맵 f$$~\$displaystyle {\tilde$ {f$\}\}$로 대체됩니다.동일한 다이어그램

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

도표로 대체되다

$(\displaystyle\tilde {f}\colon X\to M_{f})$

호모토피 동등성과 함께요

이 구조는 위상 공간의 지도를 호모토피 등가 공정에 의해 대체하는 역할을 합니다.

점으로 볼 때 코보정은 닫힌 포함입니다.

적용들

매핑 실린더는 꽤 일반적인 동종 광학 도구입니다.매핑 실린더의 한 가지 용도는 공간의 포함에 관한 정리를 일반 지도에 적용하는 것인데, 이는 주입식이 아닐 수 있다.

따라서 관련된 공간 및 지도의 호모토피 클래스에만 의존하는 이론 또는 기법(호몰로지, 코호몰로지, 호모토피 이론 등)은 ${\displaystyle X}$가$$X ${\displaystyle \to }$$$ (\$displaystyle$ f$\displaystyle$ X$\suball$ Y$)$ 및 \$displaystyle$ f$\$suball Y (\$displaystyle$ f\$suball$ Y$)$라고 가정하여${\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ Y (\displaystyle X\$rightarrow$)에$$ $적용$할 수 있습니다.y 부분 공간 포함.

이 구조의 또 다른 직관적인 매력은 $X$의$$"$표시$ $스타일$ X$"$ 지점을${\displaystyle }Y$의 "$표시$ $스타일$ Y$"$$$지점으로$$ 보내고, 따라서$X$를${\displaystyle }Y$에 $포함$시키는 일반적인 정신적 이미지와 일치한다는 $것입니다.$하나.

범주적 적용 및 해석

매핑 실린더를 사용하여 호모토피 ^{[citation needed]}콜리밋을 구성할 수 있습니다.이것은 모든 푸시아웃과 등화자를 포함하는 모든 카테고리에 모든 콜리밋이 있다는 일반적인 설명에서 나온 것입니다.즉, 다이어그램에 따라 지도를 (매핑 실린더를 사용하여) 공교정으로 교체한 다음 일반적인 점별 한계를 취합니다(좀 더 주의해야 하지만, 매핑 실린더는 구성 요소임).

반대로 매핑 실린더는 다이어그램의 호모토피 푸시아웃입니다${\displaystyle .}$${\displaystyle {\text{여기}}_{}}$서 f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ f$\displaystyle$X\$to$ Y$$} 、 ${\displaystyle {}_{}}$: X ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {id} _ {X}$ \$colon$X \$to$X }$$。

지도 망원경

일련의 맵을 지정하다

${\displaystyle X_{1}{\xright 화살표 {f_{1}}X_{2}{X_{3}\to \cdots}$

지도 망원경은 동질적인 직접 한계이다.모든 맵이 이미 공교정일 경우($직교{\displaystyle \mathrm{그룹}}$O (${\displaystyle n}$) n${\displaystyle O}$ (${\displaystyle \mathrm{n}}$ + 1$$)\ $displaystyle O$ ( n )\$subset O$ ($n$ $$+ 1) 등), 직접 제한은 유니언이지만 일반적으로 매핑 망원경을 사용해야 합니다.매핑 망원경은 매핑 실린더의 시퀀스로, 엔드 투 엔드로 결합됩니다.그 건축물의 사진은 망원경처럼 점점 더 큰 원기둥 더미처럼 보인다.

형식적으로는 다음과 같이 정의한다.

$(\displaystyle {\bigl(\coprod _{i}[0,1]\times X_{i}{\Bigr})/(0,x_{i})\sim(1,f_{i}(x_{i})).}$

「 」를 참조해 주세요.

• 코보레이션
• 매핑 실린더(상동대수)
• 호모토피콜리밋

레퍼런스

• May, J.P (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. The University of Chicago Press. ISBN 978-0-2265-1183-2.