마르코프는 측정 가능한 주 공간에 사슬을 매고 있다.

측정 가능한 상태 공간의 마르코프 체인은 측정 가능한 공간을 상태 공간으로 하는 이산 시간 균종의 마르코프 체인을 말한다.

역사

마르코프 체인의 정의는 20세기 동안 발전해 왔다.1953년에 마르코프 체인이라는 용어는 이산형 또는 연속형 인덱스 세트로 계산 가능하거나 유한한 상태 공간에 살고 있는 확률형 프로세스에 사용되었다. Dob을 참조한다.^[1]아니면 정씨.^[2]20세기 후반부터 마코프 체인을 측정 가능한 주 공간에서 생활하면서 이산 지수를 갖는 확률적 과정으로 간주하는 것이 더 유명해졌다.^[3][4][5]

정의

Denote with ${\displaystyle (E,\Sigma )}$ a measurable space and with ${\displaystyle p}$ a Markov kernel with source and target ${\displaystyle (E,\Sigma )}$. A stochastic process ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ on ${\displaystyle (\Omega ,$${\mathcal {F},\mathb {P}}$은(는) Markov 커널 p ${\displaystyle$ p$}$을(를) 가진 시간 동종 마르코프 체인으로 불리며$$, 만일$$ 다음과$$ 같은 경우 분배 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$을(를) 시작한다.

${\displaystyle \mathbb {P} [X_{0}\in A_{0},X_{1}\in A_{1},\dots ,X_{n}\in A_{n}]=\int _{A_{0}}\dots \int _{A_{n-1}}p(y_{n-1},A_{n})\,p(y_{n-2},dy_{n-1})\dots p(y_{0},dy_{1})\,\mu (dy_{0})}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{},}$ ${\displaystyle A{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ { ${\displaystyle$ n$\in \mathb {N},\,A_{0},\dots,A_{n}\n$}\in $\Sigma }}$에 대해 만족함$.$ 어떤 마르코프 커널이나 관련 확률 측정에 대해서도 구성할 수 있다.^[4]

마르코프 커널 통합에 대한 언급

For any measure ${\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}$ we denote for ${\displaystyle \mu }$-integrable function ${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$ the Lebesgue integral as ${\displaystyle \int _{E}f(x)\,\mu$$(dx)}.$${\displaystyle {measure}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$→${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \nu _{x}\colon \Sigma \to [$${\displaystyle 0,\backslash \mathrm{infit}}$ $]}$에 의해 정의된$$ for ${\displaystyle x_{}}$( ${\displaystyle A}$) : $,$에 대해 다음과$$ 같은 표기법을 사용했다.

${\displaystyle \int _{E}f(y)\,p(x,dy):=\int _{E}f(y)\,\nu _{x}(dy).}$

기본 속성

단일 점에서 시작

If ${\displaystyle \mu }$ is a Dirac measure in ${\displaystyle x}$, we denote for a Markov kernel ${\displaystyle p}$ with starting distribution ${\displaystyle \mu }$ the associated Markov chain as ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ on ${\disp$$레이스타일(\Oomega ,{\mathcal {F},\mathb {P} _{x}})$ 및 기대값$$

${\displaystyle \mathb {E} _{x}=\int_{\Oomega}X(\omega)\,\mathb {P} _{x}(d\omega )}$

$P{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ - 통합$$ 함수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}.$$정의상{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ P ${\displaystyle {}_{}}$ [${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathb {P} _{x_{0}=x]=1$

측정 가능한 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{E}}$→${\displaystyle }$[ 0 ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle f\colon E\to [0,\inful ]}$에 대해 다음과$$ 같은 관계가 있다.^[4]

${\displaystyle \int _{E}f(y)\,p(x,dy)=\mathb {E} _{x}[f(X_{1})].}$

마르코프 커널의 가족

시작 분포 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이${\displaystyle {}_{}{}_{}{가}_{}}$) 있는 Markov $커널{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle p}$의 경우, N$$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}${\$displaystyle(p_{n})_{n\in \mathb {N}}}}$에 의해 마르코프 커널 패밀리를 소개할 수 있다.

${\displaystyle p_{n+1}(x,A):=\int _{E}p_{n}(y,A)\,p(x,dy)}$

for ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\,n\geq 1}$ and ${\displaystyle p_{1}:=p}$. For the associated Markov chain ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ according to ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle \mu }$ one obtains

${\displaystyle \mathbb {P} [X_{0}\in A,\,X_{n}\in B]=\int _{A}p_{n}(x,B)\,\mu (dx)}$.

정지 측정

확률 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\mu }$은(는$)$ 다음과 같은 경우 Markov $커널{\displaystyle }$ p의 고정 측정값이라고 한다$$$.$

${\displaystyle \int _{A}\mu(dx)=\int _{E}p(x,A)\,\mu(dx)}$

holds for any ${\displaystyle A\in \Sigma }$. If ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ on ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ denotes the Markov chain according to a Markov kernel ${\displaystyle p}$ with stationary measure ${\displaystyle$$\mu }$, $그리고{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle X_{0}$의 분포는 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$}이고$,$ 그러면 $모든{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Xn}_{}}${\$displaystyle X_{n}}}$의 확률 분포가$$ 같으며, 즉:

${\displaystyle \mathb {P} [X_{n}\in A]=\mu(A)}$

${\displaystyle \mathrm{A}}$ ${\displaystyle \in }$ { ${\displaystyle A\in \Sigma }$에 대해 $.$

가역성

마르코프 $커널{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$은(는$$) 확률 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$}에 따라 가역성(revertible)이라고 불린다$$.

${\displaystyle \int _{A}p(x,B)\,\mu(dx)=\int _{B}p(x,A)\,\mu(dx)}$

임의 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{B}}$∈ { \$$\\$displaystyle$ A$,B\in \Sigma$ $교체{\displaystyle }$A = ${\displaystyle E}$ ${\$$displaystyle$$$A=$E$$}$을(를) 보면$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$$}$에 따라 p ${\displaystystylease$ $\$$mu$$}$을($)$로 되돌릴 수 있다$$$.$

참고 항목

• 해리스 체인
• 유한형 하위교대

참조