마르코프 커널

확률론에서 마르코프 커널(일명 확률 커널 또는 확률 커널)은 마르코프 프로세스의 일반 이론에서 마르코프 프로세스 이론에서 전환 매트릭스가 유한한 상태 공간을 가진 마르코프 프로세스 이론에서 수행하는 역할을 수행하는 맵이다.^[1]

형식 정의

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle (X,{\mathcal{A})}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle Y\mathcal{}}$, B${\displaystyle }$) ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B})}$을(를) 측정할 수 있는 공간으로 두십시오.A Markov kernel with source ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ and target ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ is a map ${\displaystyle \kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]}$ with the following properties:

1. 모든 (고정) $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B\mathcal{}}$ ${\$ B$\in {\mathcal {B}$에$$대해 $지도{\displaystyle }$ x${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (B}$, x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ x$\cappa (B,x)}$는 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${\$mathcal {A}$ - 측정$$ 가능
2. 모든 (고정) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle x\in X}$에$$대해 $지도{\displaystyle }$ B ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (B}$, ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle B\mapsto \kappa (B,x)}$는${\displaystyle }$(${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle B}$) ${\displaystystyle$ ($Y,{\mathcal$ {B$})}$에 대한 확률 측정값이다.

즉${\displaystyle ,}$ 각 점 x $\kappa {\displaystyle }$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle x\in X}$에 확률 측정 κ (d${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle B}$ ↦${\displaystyle \kappa }$(${\displaystyle B}$, x )${\displaystyle \kappa (dy$ x$):$$B\mapsto \kappa (B,x)}$ on ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ such that, for every measurable set ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$, the map ${\displaystyle x\mapsto \kappa (B,x)}$ is measurable with respect to the ${\displaystyle \sigma }$-algebra ${\displaystyle {$$\mathcal {A$^[2]

예

정수의 간단한 무작위 걷기

Take ${\displaystyle X=Y=\mathbb {Z} }$, and ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(\mathbb {Z} )}$ (the power set of ${\displaystyle \mathbb {Z} }$).그런 다음, 마르코프 커널은 $각{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$ = ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ =${\displaystyle }$Z$${\$displaystyle m\in$ Y$=\mathb {Z}$을(를) 가진 싱글톤 집합${\displaystyle }${${\displaystyle m}$ $} {\$$displaystyle$ m\$in X=\mathb {Z}$에 할당하는 확률에 의해 완전히 결정된다$.$

${\displaystyle \kappa (B n)=\sum _{m\in B}\kappa (\{m\} n),\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ,\,\forall B\in {\mathcal {B}}}$.

이제 확률 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 가진 오른쪽과$$ 확률 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ -${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$을(를) 가진 왼쪽으로 가는$$ 무작위 보행 κ ${\displaystyle \kappa }$은(는)에 의해 정의된다$$.

${\displaystyle \kappa (\{m\}n)=p\delta _{m,n+1}+(1-p)\delta _{m,n-1}\quad \forall n,m\in \mathb {Z}}}}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은(는) Kronecker 델타다.무작위 보행에 대한$$ 전환 확률 $P{\displaystyle (m}$ ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \kappa (\{m}$ ${\displaystyle \}}$ $){\displaystyle P(m n)=\kappa(\{m\}n)}$는 마르코프 커널과 동일하다.

카운트 가능한 상태 공간이 있는 일반 마르코프 프로세스

More generally take ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ both countable and ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X),\ {\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(Y)}$. Again a Markov kernel is defined by the probability it assigns to singleton sets for each ${\displayst$$yle i\in X}$

${\displaystyle \kappa (B i)=\sum _{j\in B}\kappa (\{j\} i),\qquad \forall i\in X,\,\forall B\in {\mathcal {B}}}$,

우리는 전환 확률 $P{\displaystyle }$( ${\displaystyle j}$ i${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= K ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 정의하여 마르코프 프로세스를 정의한다. 여기서$$ $숫자{\displaystyle {}_{}}$ K ${\displaystyle {\mathrm{ji}}_{}}$ ${\$${ji$$}$는 (countable) 확률 행렬($K$ $ji}}$을 정의한다$$.

${\displaystyle {\begin}K_{ji}&\geq 0,\qquad &\forall (j,i)\in Y\time X,\\\sum _{j}K_{ji}&=1,\qquad &\all i\in X.\\end{aigned}}$

그리고 나서 우리는 정의한다.

${\displaystyle \kappa (\{j\} i)=K_{ji}=P(j i),\qquad \forall i\in X,\quad \forall B\in {\mathcal {B}}}$.

다시 전환 확률, 확률적 매트릭스와 마르코프 커널은 동등한 개혁이다.

커널 함수와 측도로 정의된 마르코프 커널

$\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$을(를) $({\displaystyle Y\mathcal{}}$, B${\displaystyle }$) ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B})$에 대한 측정값으로 하고$$$,$ $k{\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{Y}}$ ${\displaystyle \times }$ X${\displaystyle }$→${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaysty k:$$Y$$$$\time$ X$\to [0,\inful ]}$제품에 대한 측정$$ 가능한 함수 $function{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$-algebra$$ $A{\displaystyle \mathcal{}}$ {${\displaystyle }$B ${\$ {$}\otimes {\mathcal$ {$B}}$

${\displaystyle {\int }_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle k}$( ${\displaystyle y}$, x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (d}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \forall \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \int _{Y}k(y,x)\nu(\mathrm {d}y)=1,\qquad \forall$ x$\in$ X$}$,

다음 $\kappa {\displaystyle }$(${\displaystyle d}$ y${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) = ${\displaystyle k}$(${\displaystyle }$y ,${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle d}$ y${\displaystyle }$)$${\$displaystyle \kappa (dy$ x$)=k(y,x)\nu(dy)}$즉$$, 매핑

${\displaystyle {\begin{case}\kappa :{\mathcal {B}\time X\to [0,1]\\\kappa(B x)=\int _{B}k(y,x)\nu(\mathrm {d}y)\end{case}}}}$

마르코프 커널을 정의한다.^[3]이 예는 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$이(가) 카운트 측정값이었던 카운트 가능한 마르코프 프로세스 예를 일반화한다.더욱이 그것은 콘볼루션 커널, 특히 열 방정식에 의해 정의된 마르코프 커널과 같은 다른 중요한 예를 포함한다.$후자$의 예에는 X${\displaystyle }$= ${\displaystyle Y\mathbb{}}$= ${\displaystyle R}$ ${\$에 대한$$ 가우스 커널이 포함되며, $\nu {\displaystyle (d}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= d ${\displaystyle x}$ = ${\displaystyle d}$x {\$displaystyle \nu(dx)=dx}$ 표준$$ Lebesgue 측정 및

${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$( ${\displaystyle y,}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{2\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}{}^{}}$ e${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$( y${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {x{}^{}}^{}}$) ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$/${\displaystyle {}^{}}$( 2 ${\displaystyle {{t\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$) ${\${1$}{\sqrt{2\pi }}{{{\c-x)^{2}/(2t^{2$

측정 가능한 함수

$({\displaystyle X}$, $){\displaystyle ({\mathcal{A}})$ ${\displaystyle$개의$$$$ 임의의 측정 가능한 공간을 취하여 f : X → Y${\displaystyle f:X\to Y}$가 ${\displaystyle \mathrm{측정}}$ 가능한 함수가 되게 한다.이제 $\kappa {\displaystyle }$( d ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$( d ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \kappa (dy$ x$)=\delta _{f(x)}(dy)}$을 정의하십시오.

κ(Bx)=1B(f()))=1f− 1(B)())){1만약 f())(B 0 다르{\displaystyle\kappa(Bx)=\mathbf{1}_ᆳ(f()))=\mathbf{1}_ᆵ(B)}())={\begin{경우}1&, 모든 B∈ B{\displaystyle B\in{{B\mathcal}에{\text{만약}}f())\in B\\0&,{\text{ 그렇지 않으면}}\end{경우}}}}}..

표시기 $함수{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {1^{}}_{}}$ f${\displaystyle {{}^{}}_{}}$-${\displaystyle {{}^{}}_{}}$1 ( ${\displaystyle B_{}}$)$${\$displaystyle \mathbf {$1$} _{f^-1}(B)}$은(는) $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$displaystyle$ ${\mathcal$$${$A}-$f$$ {\f$}-$$f{\displaystyle }$ ${\displaystyf}$을(를) 측정할$$ 수 있는 경우 모든 ${\displaystyle B}$에 대해 측정$$ 가능함수 있다는 점에 유의하십시오.

이 예는 마르코프 커널을 특정 값보다는 (일반적으로) 랜덤을 가진 일반화된 함수로 생각할 수 있게 해준다.

갤턴-왓슨 프로세스

As a less obvious example, take ${\displaystyle X=\mathbb {N} ,{\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$, and ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ the real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ with the standard sigma algebra of Borel sets.그러면

${\displaystyle \kappa(B n)={\begin{case}\mathbf {1} _{B}&n=0\\\\Pr(\xi _{1}+\cdots +/xi _{x}\in B)&neq 0\\n\case}}}}}}}}}}$

i.i.d. 랜덤 변수 $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$일반적으로 평균 0) 및 $여기$서 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 지시 함수다.간단히 말해서, 이 동전 던지기는 갈튼 보드의 다른 레벨들을 모델링한다.

마르코프 커널과 마르코프 카테고리의 구성

Given measurable spaces ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$, ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ we consider a Markov kernel ${\displaystyle \kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]}$ as a morphism ${\displaystyle \kappa :X\to Y}$. Intuitively, rather than ass각 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$에 대해 날카롭게 정의된 $지점{\displaystyle }$ y${\displaystyle y}$ Y$${\$displaystyle$ y$\in$$Y$}에$$ 커널이 "퍼지" 지점을 할당하는데, $이$는 실제 물리적 측정과 유사하게 일부 수준의 불확실성으로만 알려져 있다$.$세 번째 측정 가능한 공간$({\displaystyle Z\mathcal{}}$, C${\displaystyle }$) ${\displaystyle(Z$, ${\mathcal {C})$과 확률$$커널 : :${\displaystyle }X{\displaystyle }$ →${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \cappa$ :X$\to$ Y}$및$ ${\displaystyle \mathrm{\lambda <img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash kappa\; :X\backslash to\; Y\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/931eeda96c7399a61300f12d4e0394346581e9ef"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:10.644ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="220">}}$ :${\displaystyle }$Y →${\displaystyle Z}$ ${\displaysty \lambda$:$Y\to Z$에 의해 구성$$ $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda \circ }$ : ${\displaystyle X}$→ Z ${\displaystyle \lambda \circle \cappa :X\to$ Z$}$을(를) 정의할 수 있다.

${\displaystyle }$(${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \circ \kappa }$ )${\displaystyle }$( d ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ Y ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (d}$ z y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \kappa }$(${\displaystyle d}$ y${\displaystyle }$) { (${\displaystyle dy}$ x ) ${\lambda \circle \kappa )(dz x)=\int _{Y}\lambda (dy$ x$)\}.$

구성은 토넬리의 정리에 의해 연상되며 마르코프 커널로 간주되는 신분함수(즉, 델타 측정치 ${\displaystyle {\kappa \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}d}$ ${\displaystyle {}^{})}$x ) = Δ ${\displaystyle x_{}}$ (${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ )${\displaysty \kappa _{1}(dx' x)=\delta _{x}(dx')$가 이 구성의 단위다$.$

이 구성은 마르코프 커널을 가진 측정 가능한 공간에 대한 범주의 구조를 로베레어에 의해 처음 정의된 형태론으로 정의한다.^[4]범주는 초기 개체로 빈 집합이 있고, 1포인트 집합 terminal${\displaystyle$ *}이$($가) 터미널 개체로 설정되어$$ 있다.이 관점에서 확률공간은${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle P\mathbb{}}$) ${\displaystyle (\Oomega ,{\mathcal{A},\mathb {P}})$은 마르코프 범주에서$$ space${\displaystyle }$→$$Ω {\$displaystyle *\to$\Oomega}과 같은 것이다$.$

확률분포와 마르코프 커널에 의해 정의된 확률공간

A probability measure on a measurable space ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ is the same thing as a morphism ${\displaystyle *\to X}$ in the Markov category also denoted by ${\displaystyle P}$. By composition, a probability space ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P_{X})}$ and a probability kernel ${\displaystyle \kappa :(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {B}})}$ defines a probability space ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},P_{$$Y}=\kappa \circ P_{X$ 에 의해 구체적으로 정의된다.

${\displaystyle P_{Y}(B)=\int _{X}\int _{B}\kappa (dy x)P_{X}(dx)=\int _{X}\kappa (B x)P_{X}(dx)=\mathbb {E} _{P_{X}}\kappa (B \cdot )}$

특성.

반간접 제품

Let ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P)}$ be a probability space and ${\displaystyle \kappa }$ a Markov kernel from ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ to some ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$.그런 다음 (${\displaystyle X\times }$ ${\displaystyle Y}$ , ${\displaystyle A\mathcal{}}$ ${\displaystyle \otimes }$B $){\displaystyle (X\time Y,{\mathcal {A}\otimes {\mathcal {B})}$에 다음과 같은 고유한 측정값 Q ${\displaystystyle$ Q$}$이 존재한다$.$

${\displaystyle Q(A\times B)=\int_{A}\kappa(B x)\,P(dx),\quad \ forall A\in {\mathcal {A},\quad \forall B\in {\mathcal {B}.}$

정규 조건부 분포

Let ${\displaystyle (S,Y)}$ be a Borel space, ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle (S,Y)}$-valued random variable on the measure space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ and ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ a sub-${\displays$$tyle \sigma }$ -filense$$.Then there exists a Markov kernel ${\displaystyle \kappa }$ from ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}})}$ to ${\displaystyle (S,Y)}$, such that ${\displaystyle \kappa (\cdot ,B)}$ is a version of the conditional expectation ${\displaystyle \math$$bb {E} [\mathbf {$1$} _{\X\in$ B$\}}\mid {\mathcal {G}},$ 즉, ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ B$display$ Y {\$displaystyle$ B$\backslash$$in Y}$에 대해$$.

${\displaystyle P(X\in B\mid {\mathcal {G})=\mathb {E} \좌측[\X\in B\}}\mid {\mathcal {G}\right]=\cdot ,B)\qquad P{\text-a.}}}\,\\all B\in {\mathcal {G}}$

$G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 주어진 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 정규 조건부 분포라고 하며$$ 고유하게 정의되지 않는다.

일반화

전환 커널은 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$에$$대해 지도라는 의미에서 Markov 커널을 일반화함

$\displaystyle B\mapsto \kappa(B x)}$

모든 유형의 (비 음수) 측정일 수 있으며, 반드시 확률 측정일 필요는 없다.

참조

• Bauer, Heinz (1996), Probability Theory, de Gruyter, ISBN 3-11-013935-9

§36. 커널 및 커널의 세미그룹