불투명도 수학적 설명

전자파가 감쇠되는 매질(이것을 "오파크" 또는 "감쇠" 매질이라고 한다)을 통해 이동하면, Beer-Lambert 법칙에 따라 지수적인 붕괴를 겪는다. 그러나 파동의 특징과 얼마나 빨리 감쇠되는지를 파악할 수 있는 여러 가지 방법이 있다. 이 글에서는 다음 사이의 수학적 관계를 설명한다.

• 감쇠 계수;
• 침투 깊이 및 피부 깊이
• 복잡한 각도 번호 및 전파 상수
• 복합 굴절률
• 복잡한 전기적 허용률
• AC 전도도(스셉턴스)

이러한 경우 대부분 공통적으로 사용되는 여러 가지 상충되는 정의와 규약이 존재한다는 점에 유의하십시오. 이 글은 반드시 포괄적이거나 보편적인 것은 아니다.

배경: 미응시파

설명

+z 방향으로 전파되는 전자파는 다음 방정식으로 설명된다.

${\displaystyle \mathbf {E}(z,t)=\operatorname {Re}\!\왼쪽[\mathbf {E} _{0}e^{0}e^{i(kz-\omega t)}\!,}$

어디에

E는₀ x-y 면의 벡터로서, 전기장의 단위(벡터는 일반적으로 복잡한 벡터로서 가능한 모든 편광과 위상을 허용함)를 가지고 있다.

Ω은 파형의 각도 주파수;

k는 파도의 각진 수이다.

Re는 실제 부품을 표시한다.

e는 오일러의 번호다.

파장은 정의상으로는

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.}$

주어진 주파수의 경우 전자기파의 파장은 전파되는 물질에 의해 영향을 받는다. 진공 파장(이 주파수의 파장은 진공에서 전파될 경우 가질 파장)은 다음과 같다.

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi \mathrm {c}{\omega },}$

여기서 c는 진공에서 빛의 속도다.

감쇠가 없는 경우 굴절률(굴절률이라고도 함)은 이 두 파장의 비율이다.

${\displaystyle n={\frac {\fracta _{0}}{\fracda }}}={\frac {\mathrm {c}k}{\omega}}}}}.}$

파동의 강도는 진폭의 제곱에 비례하며, 파형의 많은 진동에서 시간 평균을 구한다. 이 값은 다음과 같다.

${\displaystyle I(z)\propto \left \mathbf {E} _{0}e^{0}}\i(kz-\omega t)\right ^{2}= \mathbf {E} _{0} ^2}.}$

이 강도는 위치 z와 무관하며, 이는 이 파동이 거리로 감쇠하지 않는다는 것을 나타낸다. 우리는 내가₀ 이 상수 강도와 동등하다고 정의한다.

$(\displaystyle I(z)=)I_{0}\propto \mathbf {E} _{0} ^{2}.}$

복합 결합 모호성

왜냐하면

${\displaystyle \operatorname {Re} \!\왼쪽[\mathbf {E} _{0}@i(kz-\omega t)}\i({0}{0}^{*^{0}e^{-i(kz-omega t)\,},},}$

어떤 표현이든 서로 바꾸어 사용할 수 있다.^[1] 일반적으로 물리학자와 화학자는 왼쪽(e와^−iωt 함께)의 관습을 사용하는 반면, 전기 공학자는 오른쪽(e와 함께) 관례를 사용한다(예를^+iωt 들어 e와 함께). 이러한 구분은 미응시 파도와는 무관하지만, 아래의 경우에 관련된다. 예를 들어 복잡한 굴절률의 정의는 두 가지 있는데, 하나는 상상의 부분이 양의 것이고 다른 하나는 상상의 부분이 음의 상상의 부분이 있는 것이며, 하나는 상상의 두 부분이 서로 다른 관습에서 파생된 것이다.^[2] 그 두 정의는 서로에 대한 복잡한 결합이다.

감쇠 계수

감쇠를 파형의 수학적 설명에 통합하는 한 가지 방법은 감쇠 계수를 통해 다음과 같다.^[3]

${\displaystyle \mathbf {E}(z,t)=e^{-\alpha z/2}\operatorname {Re} \!\\왼쪽[\mathbf {E}_{0}e^{0}e^{i(kz-\omega t)}\,}\!,}$

여기서 α는 감쇠 계수다.

그러면 파도의 강도는 다음을 만족한다.

${\displaystyle I(z)\propto \left e^{-\alpha z/2}\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right ^{2}= \mathbf {E} _{0}e^{2-\alpha z}}}$

즉

$(\displaystyle I(z)=)I_{0}e^{-\alpha z}.}$

감쇠 계수는 단순히 몇 가지 다른 양과 관련이 있다.

• 흡수 계수는 본질적으로(그러나 항상은 아님) 감쇠 계수와 동의어다. 자세한 내용은 감쇠 계수를 참조한다.
• 어금니 흡수 계수 또는 어금니 소멸 계수는 어금니성으로 나눈 감쇠 계수(일반적으로 ln(10), 즉 데카디드로 곱함)이다. 자세한 내용은 Beer-Lambert 법칙 및 어금니 흡수율을 참조한다.
• 대량 소멸 계수라고도 하는 질량 감쇠 계수는 밀도로 나눈 감쇠 계수. 자세한 내용은 질량 감쇠 계수 참조.
• 흡수 단면 및 산란 단면은 모두 감쇠 계수와 정량적으로 관련이 있다. 자세한 내용은 흡수 단면 및 산란 단면을 참조한다.
• 감쇠 계수는 불투명도라고도 한다. 불투명도(광학)를 참조하라.

침투 깊이 및 피부 깊이

침투 깊이

매우 유사한 접근방식은 침투 깊이를 사용한다.^[4]

${\displaystyle \mathbf {E}(z,t)=e^{-z/(2\delta _{\mathrm {pen}}}\operatorname {Re}\!\\왼쪽[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)\오른쪽],},},}$

$(\displaystyle I(z)=)I_{0}e^{-z/\delta _{\mathrm{pen}}},}$

여기서 Δ는_pen 침투 깊이다.

피부 깊이

피부 깊이는 파동이 다음을 만족하도록 정의된다.^[5][6]

${\displaystyle \mathbf {E}(z,t)=e^{-z/\delta _{\mathrm {skin}}}}}\re}\\mathbf {E} \0}{0}e^{i(kz-\omega t)\,},}$

$(\displaystyle I(z)=)I_{0}e^{-2z/\delta _{\mathrm {skin}}},}$

여기서 Δ는_skin 피부 깊이다.

물리적으로 침투 깊이는 파동이 그 강도가 1/e${\displaystyle }${ ${\$약${{}$ 0.37의 인수로 감소하기 전에 파동이 이동할 수 있는 거리를 $말한다$. 피부 깊이는 같은 인자에 의해 진폭이 감소하기 전에 파동이 이동할 수 있는 거리다.

흡수 계수는 다음과 같은 방법으로 침투 깊이 및 피부 깊이와 관련이 있다.

${\displaystyle \cHB =1/\mathrm {pen} {}=2/\mathrm {skin}{\mathrm {skin}}}$

복잡한 각도 수 및 전파 상수

복잡한 각진 수

감쇠를 통합하는 또 다른 방법은 다음과 같은 복잡한 각도를 사용하는 것이다.^[5][7]

${\displaystyle \mathbf {E}(z,t)=\operatorname {Re}\!\왼쪽[\mathbf {E}_{0}e^{0}i({\underline {k}z-\omega t)}\!,},}$

여기서 k는 복잡한 각수다.

그러면 파도의 강도는 다음을 만족한다.

${\displaystyle I(z)\propto \왼쪽 \mathbf {E} _{0}e^{0}{k}z-\omega t)}\i({0}= \mathbf {E} _{0}e^{0}e^{-2\operatorname {im}{{{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

즉

$(\displaystyle I(z)=)I_{0}e^{-2\operatorname {Im}({\underline {k})z}.}$

따라서 이를 흡수계수 접근법과 비교,^[3]

${\displaystyle \operatorname {Re}({\underline {k})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Im}({\underline {k}})=\alpha /2.}$

위에서 언급한 모호성에 따라 일부 저자는 다음과 같은 복잡한 결합 정의를 사용한다.^[8]

${\displaystyle \operatorname {Re}({\underline {k})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Im}({\underline {k})=-\alpha /2.}$

전파 상수

특히 전송선 이론에서 공통적인 밀접하게 관련된 접근방식은 다음과 같은 전파 상수를 사용한다.^[9][10]

${\displaystyle \mathbf {E}(z,t)=\operatorname {Re}\!\왼쪽[\mathbf {E}_{0}e^{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right],},}$

여기서 γ은 전파 상수다.

그러면 파도의 강도는 다음을 만족한다.

${\displaystyle I(z)\propto \left \mathbf {E} _{0}-\gamma z+i\omega t}\right ^{2}= \mathbf {E} \{0} ^{2}e^{-2\operatorname {Re}(\gma )z}}}}}}}}}}}}}}}$

즉

$(\displaystyle I(z)=)I_{0}e^{-2\operatorname {Re}(\gamma )z}.}$

두 방정식을 비교하여, 전파 상수와 복잡한 각도는 다음과 같다.

${\displaystyle \cHB =i{\underline{k}^{*},}$

여기서 *는 복잡한 결합을 나타낸다.

${\displaystyle \operatorname {Re}(\gamma )=\operatorname {Im}({\underline {k}})=\alpha /2.}$

이 양을 감쇠 상수라고도 하며,^[8][11] 때로는 α로 표시되기도 한다.

${\displaystyle \operatorname {Im}(\gamma )=\operatorname {Re}({\underline {k})=k.}$

이 양을 위상 상수라고도 하며, 때로는 β로 나타내기도 한다.^[11]

불행히도 이 표기법이 항상 일관되는 것은 아니다. 예를 들어 $k{\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$ ${\$을(를) γ 대신 "propagation constant"라고 부르기도$$ 하는데, 이는 실제와 가상의 부품을 교환하는 것이다.^[12]

복합 굴절률

비응축성 매체에서 굴절률과 각도 와바넘버가 다음과 관련이 있다는 것을 기억하십시오.

${\displaystyle n={\frac {\mathrm {c}}{v}={\frac {\mathrm {c}{\omega}},}$

어디에

• n은 매질의 굴절률이다.
• c는 진공에서 빛의 속도다.
• v는 중간의 빛의 속도다.

따라서 복잡한 굴절률은 위에서 정의한 복잡한 각도 수치로 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\underline{n}={\frac {\mathrm {c} {\underline {k}{\omega}}}.}$

여기서 n은 매질의 굴절률이다.

즉, 파동이 만족을 위해 필요하다.

${\displaystyle \mathbf {E}(z,t)=\operatorname {Re}\!\왼쪽[\mathbf {E} _{0}e^{i\omega({n}z/\mathrm {c} -t)\right]!}$

그러면 파도의 강도는 다음을 만족한다.

${\displaystyle I(z)\propto \left \mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right ^{2}= \mathbf {E} _{0} ^{2}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} },}$

즉

$(\displaystyle I(z)=)I_{0}e^{-2\omega \operatorname {Im}({\underline{n}})z/\mathrm {c}}}$

앞의 절과 비교해서 우리는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Re}({\underline {n})={\frac {\mathrm {c}{\omega}}}.}$

이 양을 단순히 굴절률이라고 부르는 경우가 많다.

${\displaystyle \operatorname {Im}({\underline {n})={\frac {\mathrm {c} \alpha }{2\omega }}={\frac {\lambda _}{0}\alpha }{4\pi}}}}}.}$

이 양을 소멸계수라고 하며 κ을 가리킨다.

위에서 언급한 모호성에 따라 일부 저자는 복합 결합 정의를 사용하며 여기서 소멸 계수가 $n{\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$ ${\$의 가상 부분을 뺀다$.$^[2][13]

복합전기유속도

비응축성 매체에서 전기적 허용률과 굴절률은 다음과 같은 관계가 있다.

${\displaystyle n=\mathrm {c} {\sqrt {\mu \varepsilon}}\datable{\text{().SI)},\qquad n={\\sqrt {\mu \varepsilon}}}\quad {\text{(cgs)},}$

어디에

• μ는 매질의 자기 투과성이다.
• ε은 매질의 전기적 유순율이다.
• "SI"는 단위의 SI 시스템을 말하며, "cgs"는 가우스-cgs 단위를 가리킨다.

감쇠성 매체에서는 동일한 관계를 사용하지만, 허용율은 복잡한 전기 허용률이라고 하는 복잡한 숫자로 허용된다.^[3]

${\displaystyle {\underline{n}=\mathrm {c} {\sqrt {\mu {\underline {\barepsilon}}}}}}\cHB {\text{}SI)},\\qquad {\underline{n}}={\sqrt {\mu {\barepsilon}}}}}\quad {\text{(cgs)},}$

여기서 ε은 매질의 복잡한 전기적 허용률이다.

양쪽을 제곱하고 이전 절의 결과를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.^[7]

${\displaystyle \operatorname {Re}({\underline {\barepsilon }})={\frac {\mathrm {c}^{2}\varepsilon _{0}{\omega ^{2}\mu _{0}}\}\!\left(k^{2}-{\frac {\fract ^{2}}:{4}\right)\cHB {\text{()(SI)},\qquad \operatorname {Re}({\underline {\barepsilon }}}={\frac {\mathrm{c}^{2}}:00 ^{2}\mu }\\!\left(k^{2}-{\frac {\fract ^{2}}:{4}\right)\cHB {\text{(cgs)}},}$

${\displaystyle \operatorname {Im}({\underline {\barepsilon }})={\frac {\mathrm {c}^{2}\varepsilon _{0}{\omega ^{2}\mu_{0}k\alpha \quad{\\\\text{\\\\\\\\\\\cext{\\\\\cext{\\\\}}SI)},\\qquad \operatorname {Im}({\underline {\barepsilon }}}={\frac {\mathrm {c}^{2}}:{\omega ^{2}\k}\alpha \quad{\text{}}}}}}.}$

AC 전도도

감쇠를 통합하는 또 다른 방법은 다음과 같이 전기 전도성을 통한 것이다.^[14]

전자파 전파에 관한 방정식 중 하나는 맥스웰-암페어 법칙이다.

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{f} +{\prac {\mathrm {d} \mathbf {D}{\mathrm} t}}}\quad {\text}()(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{\mathrm {c} }}\mathbf {J_{f}} +{\frac {1}{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$

여기서 $D{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) 변위 필드다.

옴의 법칙 및 (실제) 허용성의 정의에 연결

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\sigma \mathbf {E} +\barepsilon {\frac {d}\mathbf {}{}{\mathrm {d}}}}\quad{\text{\text}}}}SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi \sigma }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} +{\frac {\varepsilon }{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$

여기서 σ은 AC 전도성이라고 하는 (실제지만 주파수 의존적인) 전기 전도성이다.

모든 양에 대한 사인파 시간 의존성, 즉

${\displaystyle \mathbf {H} =\operatorname {Re} \!\왼쪽[\mathbf {H} _{0}e^{-i\omega t}\오른쪽]\,},}$

${\displaystyle \mathbf {E} =\Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}\right]\,}$

결과는

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{0}=-i\omega \mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {\fracma }{\\omega }}\right)\cHB {\text{()(SI)},\\qquad \nabla \time \mathbf {H} _{0}={\frac {-i\omega }{\mathrm {c}}}}}\mathbf {0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\cgs{\text{(cgs)}}.}$

현재의 $J{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {f\mathbf{}}_{}}$ ${\$이(가) 명시적으로 포함되지 않고 암묵적으로(복합적 허용률을 통해)만 포함되었다면$$ 괄호 안의 수량은 단순히 복잡한 전기 허용률일 것이다. 그러므로

${\displaystyle {\underline {\barepsilon}=\varepsilon +i{\frac {\fracma}{\omega}}\text{\cH00{\text}().SI)},\\qquad {\underline {\barecpsilon }}=\barecpsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega}}}\quad {\text{cgs}}}}.}$

이전 섹션과 비교하여 AC 전도성이 충족됨

${\displaystyle \sigma ={\frac {k\buffer }{\omega \mu}}}\reason {\text{().SI)},\qquad \sigma ={\frac {k\alpha \mathrm{c}^{2}}:{4\pi \omega \mu}}}}}}\quad {\text{(cgs)}}}}.}$

메모들

참조

• Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• J. I. Pankove (1971). Optical Processes in Semiconductors. New York: Dover Publications Inc.