서적제작수학

Mathematics of bookmaking

도박의 비유로 말하면, 책을 만드는 것은 하나의 사건이 가져올 수 있는 다양한 결과에 내기를 거는 관행이다. 이 구절은 그러한 내기를 하드 바인딩된 원장('책')에 기록하는 관습에서 유래하며, 영어에 내기를 거는 사람을 뜻하는 '책쟁이'라는 용어를 붙여 '책을 만드는 것'[1][2]이라는 말을 붙인다.

'책'(그리고 오버라운드의 개념)을 만드는 것

어떤 결과가 우세하든 이익을 내기 위해 어떤 사건의 결과에 대한 내기를 적절한 비율로 받아들이려고 노력한다. 네덜란드어 책과 일관성(철학적 도박 전략)을 참조하십시오. 이는 주로 사건의 다양한 결과의 진정한 확률을 하향 조정함으로써 달성된다(즉, 책 제작자가 실제 확률을 사용하여 지불할 확률을 실제 확률보다 적게 지불하여 수익을 보장함).[3]

특정 이벤트에 대해 인용된 확률은 고정될 수 있지만 실제 이벤트(예: 경마)를 앞두고 베터들이 배치한 내기들의 크기를 고려하기 위해 변동할 가능성이 더 높다. 이 글은 전행사의 (심플러) 사례에서 책을 만드는 수학에 대해 설명한다. 두 번째 방법은 Parimutuel 베팅을 참조하십시오.

분수와 소수 오즈의 관계를 이해하는 것이 중요하다. 소수 승산은 우승한 베터가 그들이 베팅한 모든 b 단위에 대한 단위를 더한 돈을 돌려받는다는 것을 의미하는 a-b(a/b 또는 a to b)라고 쓰여진 것이다. a와 b를 같은 숫자로 곱하면 a-b에 상당하는 승산이 생긴다. 소수점 승산은 1보다 큰 단일 값으로 각 단위 베팅에 대해 지급해야 할 금액을 나타낸다. 예를 들어 6-4(환산 확률)로 40파운드를 걸면 40파운드 + 60파운드 = 100파운드가 지불된다. 등가 소수점 승산은 2.5파운드; £40 x 2.5 = 100파운드. 우리는 D=라는 공식으로 소수 오즈로 분수 변환할 수 있다.b+auccb. 따라서 a-1(b=1)의 소수 오즈에서 a=D-1로 소수 오즈에서 분수를 구할 수 있다.

또한 승산과 암묵적 확률의 관계를 이해하는 것도 중요하다. a-b의 부분 오즈(해당 소수 오즈 D)는 ½a+b=1⁄D의 암묵적 확률을 나타낸다. 예: 6-4는 4/6+4 = 4/10 = 0.4(40%)에 해당한다. x의 암묵적 확률은 (1-x)/x의 분수 오즈로 표시된다. 예: 0.2는 (1-0.2)/0.2 = 0.8/0.2 = 4/1 (4-1, 4~1) (동등하게, 1 ½x - 1 - 1) 및 D=1 ½x의 소수 오즈로 표시된다.

예

'홈승', '드로우' 또는 '어웨이승'(결과)이 될 수 있는 축구 경기(이벤트)를 고려할 때, 다음과 같은 확률을 만나 세 가지 결과 각각에 대한 진정한 가능성을 나타낼 수 있다.

홈: 에벤스
추첨: 2-1
부재중: 5-1

이러한 확률은 다음과 같이 내포 확률(또는 100을 곱하여 백분율)로 나타낼 수 있다.

에벤스(또는 1-1)는 ½(50%)의 암묵적 확률에 해당한다.
2-1은 암시적 확률 1⁄3(33 ½%)에 해당한다.
5-1은 ½(½3%)의 암묵적 확률에 해당한다.

백분율을 합산하면 100%의 총 '책'이 달성된다(공정한 책을 나타냄). 그 책사는 이윤을 얻고자 하는 바람으로, 반드시 이러한 확률을 줄일 것이다. 승산의 비례적 감소를 사용하는 가장 간단한 감소 모델을 생각해 보십시오. 위의 예에서 다음과 같은 확률은 잠재 확률(3:2:1)과 동일한 비율이다.

집: 4-6
추첨: 6-4
부재중: 4-1
4-6은 3⁄5 (60%)의 암묵적 확률에 해당한다.
6-4는 암시적 확률 2⁄5 (40%)에 해당한다.
4-1은 ½(20%)의 암묵적 확률에 해당한다.

이 백분율을 함께 추가하면 120%의 '책'이 달성된다.

실제 '책'이 100%를 초과하는 금액은 '전체',[4][5] '책쟁이 마진', '활력'[3] 또는 '돼지'로 알려져 있다.[3] 따라서 '이상적인' 상황에서는 책방장이 자신의 인용된 확률로 120파운드를 정확한 비율로 받아들이면 축구 경기의 실제 결과가 어떻든 100파운드(반환된 지분 포함)만 지불하게 된다. 잠재적으로 이를 달성하는 방법 검토:

4-6파운드 60.00의 지분은 100.00파운드(정확히)를 돌려주고 홈승리를 한다.
6-4 £40.00의 지분은 추첨을 통해 100.00(정확히)을 돌려준다.
4-1의 지분 20.00은 원정 우승으로 100.00파운드(정확히)를 돌려준다.

총 수령액 - 결과에 관계없이 120.00파운드와 최대 지급액 100. 이 20.00파운드의 이익은 매출액 대비 162/3%의 이익(20.00/120.00)이다.

실제로 책 제작자들은 '이상적인' 상황의 모델보다 더 복잡한 축소 모델을 사용한다.

영국 축구 리그의 북메이커 마진

최근 몇 년간 영국 축구 리그의 북메이커 마진이 감소했다.[6] 2005/06시즌과 2017/2018시즌 사이 대형 서점 6곳을 조사한 결과 프리미어리그 평균 마진이 9%에서 4%로, 잉글랜드 풋볼 리그 챔피언십, 잉글랜드 풋볼 리그 원, 잉글랜드 풋볼 리그 2가 11%에서 6%로, 내셔널 리그 평균 마진이 11%에서 8%로 감소했다.

여러 베팅에 오버라운드

예를 들어, 2배, 3배 또는 축전지와 같은 한 명의 선택지를 두 개 이상 결합할 때, 각 선택지의 장부에 있는 오버라운드의 효과는 모든 선택들이 승리할 수 있는 실제 확률에 비해 금전적 수익 측면에서 펀터의 손상에 더해져 결과적으로 성공적인 베팅을 초래한다.

가장 기본적인 상황에서 개념을 설명하기 위해 두 번의 테니스 경기에서 각각 우승자를 선발하는 더블로 구성된 예를 살펴보기로 한다.

A와 B의 1차전에서 두 선수 모두 승산이 동등하다는 평가를 받는다. C와 D의 2차전 상황도 마찬가지다. 각각의 경기에서 공정한 책으로, 즉, 각각 100%의 책을 가지고 있다. 모든 선수들은 에벤스와 1대 1로 불리하게 제공될 것이다. 그러나, 책 제작자는 각 이벤트(각종 테니스 경기)에서 가능한 두 가지 결과에 대해 각각 5-6의 확률(예:)을 제공할 것이다. 이로써 테니스 경기 각각 109.09...%의 책을 100 × (6/11 + 6/11)로 계산한다. 즉, 9.09%의 오버라운드가 발생한다.

두 경기 결과를 합치면 네 가지 결과가 나올 수 있다: 우승한 선수는 AC, AD, BC 또는 BD가 될 수 있다. 이 예에 대한 각 결과는 동일한 가능성이 있는지 확인하기 위해 의도적으로 선택되었기 때문에 각 결과의 발생 확률은 ½ 또는 0.25이고 각 결과의 발생 확률은 3-1이라고 추론할 수 있다. 4개의 조합 중 하나에 100단위를 걸면 (단순함을 위해) 100 × (3/1 + 1) = 성공하는 경우 400단위의 반환이 발생하며, 이는 4.0의 소수 오즈를 반영한다.

복수 베팅의 소수 승산은 종종 개별 베팅의 소수 승률을 곱하여 계산하는데, 사건이 독립적이면 묵시적 확률은 개별 베팅의 묵시적 확률의 산물이 되어야 한다는 생각이다. 위의 경우 부분 승산이 5-6인 경우, 소수 승산은 11⁄6이다. 그래서 이중 베팅의 십진 오십삼 ×11 ½6=1.833...×1.833...=3.3611... 또는 2.3611-1의 부분 확률. 이는 29.752%(1/3.3611)의 암묵적 확률을 나타내며, 4를 곱한 값(동일한 확률의 결과 조합 4개당)은 총 119.01%의 책을 제공한다. 따라서 오버라운드는 두 개의 단일 베팅을 더블로 결합함으로써 약간 두 배 이상 증가했다.

일반적으로 백분율로 표현되는 더블(OD)의 조합 오버라운드는 소수점 단위로 표현되는 개별 장부 B와1 B에서2 OD = B1 × B2 × 100 - 100으로 계산된다. 이 예에서D O = 1.0909 × 1.0909 × 100 - 100 = 19.01%가 있다.

이 북메이커의 잠재 수익의 엄청난 증가 (행사 9% 대신 19%; 이 경우 2배)는 북메이커들이 복수 베팅에서 성공적인 우승자 선정을 위해 보너스를 지불하는 주요 원인이다: 예를 들어, 양키에서 4명의 선정자 중 4명의 정확한 선택에 대해 25% 보너스를 제공하는 것과 비교한다.단순 4배 이상의 인종의 경우 120%의 개별 서적을 가진 사람이 107%(207%의 책)를 넘는다. 이것이 책 제작자들이 럭키 15, 럭키 31, 럭키 63과 같은 베팅을 제공하는 이유다; 1명의 우승자에게는 두 배의 승률을 제공하고 2명, 3명 이상에게는 보너스를 증가시킨다.

일반적으로, 2개에서 i개까지 선택되는 축전지의 경우, 소수점 단위로 주어진1 B, B2, ..., B의i 도서의 전체적 백분율을1 B × B2 ×로 계산한다. × Bi × 100. 예. 120%(1.20)의 개별 서적으로 구성된 앞에서 언급한 4배는 1.20 × 1.20 × 1.20 × 1.20 × 1.20 × 100 - 100 = 107.36%의 오버라운드를 제공한다.

내기에서 이긴 내기를 정착시키는 중

당첨 내기를 결제할 때 소수 승산이 사용되거나 소수 승산이 1개 더해진다. 이는 반환에 대한 지분을 포함하기 위한 것이다. 양방향 베팅의 플레이스 부분은 승리 부분과 별도로 계산된다. 방법은 동일하지만 승산은 특정 이벤트의 플레이스 팩터가 무엇이든 간에 감소한다(자세한 예는 아래의 어큐뮬레이터 참조). '각각'이 구체적으로 명시되지 않는 한 모든 내기는 '승리' 베팅으로 받아들여진다. 모두 분수 오즈의 사용 표시: 십진 오즈를 알고 있는 경우 십진 오즈로 교체(프랙션 오즈 + 1)하십시오. 비주행자는 소수점 승산이 0(십진수 승률 1)인 우승자로 취급된다. 총 당첨금에서 펜스의 분수는 항상 책쟁이들에 의해 아래 가장 가까운 페니까지 반올림된다. 아래 다중베트 계산기 계산은 개별 범주(예: 복식, 트레블 등)에 대해 총액이 표시되며, 따라서 전체 수익은 총 당첨금을 계산하기 위해 서점주가 사용할 수 있는 컴퓨터 소프트웨어를 사용함으로써 받은 금액과 정확히 같지 않을 수 있다.[7][8]

싱글스

싱글 우승

예: 9-2에서 100파운드 싱글, 총 고정 = 100파운드

반품 = £100 × (9/2 + 1) = £100 × 5.5 = £550

편도 싱글

예: 11-4(한 곳당 1/5배)의 양방향 싱글 100파운드, 총 스테이크 = 200파운드

반품 (승소) = £100 × (11/4 + 1) = £100 × 3.75 = £375
반품 (장소) = 100 × (11/20 + 1) = £100 × 1.55 = £155
선택권이 당첨된 경우 총 수익률 = £530, 배치된 경우 £155

복수 베팅

각 경로 다중 베팅은 대개 기본 "Win to Win, Place to Place" 방식으로 해결되는데, 이는 베팅이 윈 어큐뮬레이터와 별도의 플레이스 어큐뮬레이터로 구성됨을 의미한다(참고: 이중 또는 트레블은 각각 2개 또는 3개의 선택 항목이 있는 어큐뮬레이터). 그러나 이러한 유형의 베팅을 결제하는 더 흔치 않은 방법은 "Fair-Way All Pery-Way"(일반적으로 "Equaly Divisioned"로 알려져 있으며, 이 경우 축전지의 한 선택에서 얻은 수익이 분할되어 다음 선택에서 균등한 각도로 베팅을 형성하게 된다.)이다.d.[9][10] 아래의 첫 번째 예는 이러한 유형의 내기를 해결하기 위한 두 가지 접근방식을 보여준다.

더블[11][12]

예: 승자가 2-1(한 곳당 ½배) 및 5-4(한 곳당 ½배)인 편도 100파운드, 총 스테이크 = 200파운드

윈 투 윈, 플레이스 투 플레이스
"양방향 모두"

참고: "Win to Win, Place to Place"는 모든 선택 항목이 승리할 경우 항상 더 큰 수익을 제공하는 반면, "Peak-Way All-Way"는 다른 수상자들이 후속 선택 항목에 더 많은 공간을 제공하기 때문에 한 선택이 패자일 경우 더 큰 보상을 제공한다.

트레블[11][12]

예: 3-1, 4-6, 11-4로 우승자와 함께 100파운드 트리블, 총 스테이크 = 100파운드

반품 = £100 × (3/1 + 1) × (4/6 + 1) × (11/4 + 1) = £2500

축전기[11][12]

예: 에벤스(한 곳당 1⁄4 곱하기), 11-8 (½ 곱하기), 5-4 (½ 곱하기), 3-1 (½ 곱하기), 3-1 (½ 곱하기), 총 가압 = 200 파운드

참고: 'All up to win'은 장소 승산이 주어지기 위한 이벤트에 참가자가 불충분함을 의미한다(예: 경마에서 4명 이하). 그러므로 유일한 '장소'는 1위일 뿐이며, 승산이 주어진다.

반품 (승리 5배) = £100 × (1/1 + 1) × (11/8 + 1) × (5/4 + 1) × (1/2 + 1) × (3/1 + 1) = £6412.50
반품 (5배) = £100 × (1/4 + 1) × (11/40 + 1) × (5/16 + 1) × (1/2 + 1) × (3/5 + 1) = £502.03
총수익률 = £6914.53

풀커버 베팅

트릭시

예: 4-7, 2-1, 11-10으로 우승자가 있는 트릭시 10파운드, 총 스테이크 = 40파운드

양키

예: 1-3, 5-2, 6-4, Evens에서 우승자가 있는 10파운드 양키, 총 스테이크 = 110파운드

트릭시, 양키, 캐나다, 하인즈, 슈퍼 하인즈, 골리앗은 가능한 모든 배수가 존재하는 풀커버 베팅으로 알려진 베팅의 가족을 형성한다. 트릭시와 양키 베팅에서 우승한 예는 위에서 보여졌다. 다른 명명된 베팅은 그들의 배수로 선택 가능한 모든 조합을 살펴봄으로써 유사한 방법으로 계산된다. 참고: 더블은 두 가지 선택만으로 전체 커버 베팅으로 간주될 수 있다.

만약 이 내기들 중 하나에서 선택권이 당첨되지 않는다면, 나머지 우승자들은 다음 '가족 구성원'에게 완전히 성공한 내기로 간주된다. 예를 들어 트릭시에 3번 중 2번만 당첨되면 더블로 내기가 해결되고, 캐나다에 5번 당첨되면 양키로 정착하고, 골리앗에 8번 당첨하면 캐나다인으로 정착한다는 뜻이다. 각 구간 내기의 플레이스 부분은 줄어든 플레이스 오즈를 사용하여 별도로 계산한다. 따라서 승자 3명, 말 2명을 추가로 배치한 7마리에 편승한 슈퍼 하인즈는 트릭시와 장소 캐나다인으로 정착하게 된다. 사실상 모든 북메이커들은 다중 배팅의 정착을 위해 계산의 용이성, 속도, 정확성을 위해 컴퓨터 소프트웨어를 사용한다.

싱글이 포함된 전체 커버 베팅

특허

예: £2 4-6, 2-1, 11-4의 승자가 있는 특허, 총 스테이크 = £14

특허, 럭키 15, 럭키 31, 럭키 63 이상 럭키 베팅은 모든 선택에서 하나의 베팅과 함께 가능한 모든 배수가 존재하는 싱글들과 풀 커버 베팅으로 알려진 베팅의 가족을 형성한다. 승리한 특허권 베팅의 예는 위에 나와 있다. 다른 명명된 베팅은 그들의 배수와 싱글에서 가능한 모든 선택 조합을 살펴봄으로써 유사한 방법으로 계산된다.

만약 이 내기들 중 하나에서 선택권이 당첨되지 않는다면, 나머지 우승자들은 다음 '가족 구성원'에게 완전히 성공한 내기로 간주된다. 예를 들어, 특허에서 3번 중 2번만 당첨되면 2번, 2번 싱글로 내기가 해결되고, 럭키 15번 중 4번 당첨자는 특허로 해결되고, 럭키 63번 중 6번 당첨자는 럭키 15번으로 해결된다는 것을 의미한다. 각 구간 내기의 플레이스 부분은 줄어든 플레이스 오즈를 사용하여 별도로 계산한다. 따라서 승자가 3명, 말 2마리를 더 배치한 6마리에 대한 쌍방향 럭키63은 특허권 획득과 럭키31장소로 정착된다.

대수적 해석

어떤 내기에 대한 수익은 'stake unit' × 'odds승수'로 계산되는 것으로 간주할 수 있다. 전체 'odds 곱하기'는 십진수 오즈 값을 합한 것이며, 필요한 경우 싱글을 포함하여 전체 커버 베팅을 구성하는 모든 개별 베팅의 결과물이다. 예: 10파운드의 성공적인 양키스가 461.35파운드를 반환한 경우, 전체 'odds 곱하기'(OM)는 46.135이다.

a, b, c, d...가 소수 오즈, 즉 (확산 오즈 + 1)를 나타내는 경우, OM은 식(a + 1)을 곱하여 대수적으로 계산할 수 있다(b + 1), (c + 1)... 필요한 방법으로 함께 1을 빼는 것. 필요한 경우 (십진수 오즈 + 1)을 (수축 오즈 + 2)로 대체할 수 있다.[13][14]

예

소수점 오즈 a, b, c가 있는 3개 선택. 확장 (a + 1)(b + 1)(c + 1)은 대수적으로 abc + ab + ac + b + b + c + 1을 준다. 이는 특허의 OM(treble: abc; double: abb, ac 및 bc; 싱글: a, b, c) + 1과 같다. 따라서 당첨된 특허에 대한 수익을 계산하기 위해서는 단지 (a + 1), (b + 1) 및 (c + 1)를 곱하고 1을 빼서 당첨 베팅에 대한 OM을 얻는 경우(예: OM = (a + 1)(b + 1)(c + 1) - 1)를 곱하면 된다. 이제 단위 지분을 곱하여 내기에 대한 총 수익을 얻는다.[15][16]

예: 앞에서 설명한 승소특허는 다음과 같이 더 빠르고 간단하게 평가할 수 있다.

총수익률 = £2 × [(4/6 + 2) × (2/1 + 2) × (11/4 + 2) - 1] = £99.33

어떤 상여금도 무시한 채, 당첨자 4명[2-1, 5-2, 7-2(전체 1⁄5 킬로그램), 6-4 (1/4 킬로그램)]과 추가로 배치된 말[9-2 (1/5 킬로그램 5 킬로그램)]과 함께 50펜스씩의 양방향 럭키63(총 지분 £63)은 다음과 같이 비교적 쉽게 계산할 수 있다.

반품 (승부) = 0.50 × [(2/1 + 2) × (5/2 + 2) × (7/2 + 2) × (6/4 + 2) - 1] = £172.75
0.50 × (4 × 4.5 × 5.5 × 3.5 - 1)로 더 단순하다.
반품 (위치 부품) = 0.50 × [(2/5 + 2) × (5/10 + 2) × (7/10 + 2) × (6/16 + 2) × (9/10 + 2) - 1] = £11.79
0.50 × (2.4 × 2.5 × 2.7 × 2.375 × 2.9 - 1) 또는 더 단순하다.
총수익률 = £184.54

싱글을 포함하지 않는 풀 커버 베팅 패밀리의 경우 계산에 대한 조정은 복식, 트레블 및 축전지를 남겨두도록 이루어진다. 따라서 앞서 설명한 1-3, 5-2, 6-4로 양키 10파운드 우승자는 다음과 같이 계산된 수익을 얻는다.

£10 × [(1/3 + 2) × (5/2 + 2) × (6/4 + 2) × (1/1 + 2) − 1 − [(1/3 + 1) + (5/2 + 1) + (6/4 + 1) + (1/1 + 1)]] = £999.16

사실상 내기는 럭키 15에서 단식을 뺀 것으로 계산됐다. 총 반품가액 999.16파운드는 개별 단계에서 반올림하지 않고 최종 답안을 반올림만 하기 때문에 이전에 계산된 값보다 1페니 더 높다.

대수적 측면에서 양키 베팅의 OM은 다음과 같이 주어진다.

OM = (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) − 1 − (a + b + c + d)

서점 제조자와 LBO(Licensed Betting Office)에서 소프트웨어를 사용할 수 있게 되기 전 며칠 동안, 이 방법은 시간을 절약하고 전체 커버 유형의 베팅을 결제하는 데 필요한 다중 반복 계산을 피하기 위해 사실상 엄격했다.

다른 유형의 당첨 내기에 대한 해결

위아래로

예: 7-2, 15-8로 우승자를 포함한 20파운드 상승 및 하락, 총 스테이징 = 40파운드
예: 5-1로 승자와 패자가 있는 10파운드 위아래, 합계 스테이크 = 20파운드

라운드 로빈

3명의 우승자가 있는 라운드 로빈은 각각 2명의 우승자가 있는 트릭시에 3개의 업 앤드 다운 베팅으로 계산된다.

2명의 우승자가 있는 라운드 로빈은 2명의 우승자가 있는 더블 플러스 1개의 업 앤드 다운 베팅과 2개의 업 앤드 다운 베팅으로 계산되며, 각각 1명의 우승자가 있다.

1승의 라운드 로빈(Round Robin)은 각각 1승씩의 업 다운 베팅 2개로 계산된다.

플래그와 슈퍼 플래그 베팅은 2명의 승자와 1명의 승자와 함께 적절한 전체 커버 베팅(충분한 승자)을 사용하여 위와 유사한 방식으로 계산될 수 있다.

참고: 베팅 설정 소프트웨어가 도입되기 전의 전문가 베팅 정착자들은 항상 간단한 계산기와 함께 대수형 방법을 사용하여 베팅 수익률을 결정했을 것이다(아래 참조).

대수적 해석

a, b, c, d...가 소수 오즈, 즉 (확산 오즈 + 1)를 나타내는 경우, 'odds 승수' OM을 식(a + 1)을 곱하여 대수적으로 계산할 수 있다(b + 1), (c + 1)... 필요한 방법으로 조합하고 추가 구성요소를 추가 또는 빼는 것. 필요한 경우 (십진수 오즈 + 1)을 (수축 오즈 + 2)로 대체할 수 있다.[13][14]

예

업/다운 내기에서 소수점 오즈 a와 b가 있는 2개 선택.
라운드 로빈에서 소수점 a, b, c의 3개 선택.
플래그에서 소수점 a, b, c, d의 4개 선택 항목.

참고 항목

메모들

  1. ^ 1976년 시드니, 페이지 6
  2. ^ 시드니 2003, 13,36 페이지
  3. ^ Jump up to: a b c d Cortis, Dominic (2015). Expected Values and variance in bookmaker payouts: A Theoretical Approach towards setting limits on odds. Journal of Prediction Markets. 1. 9.
  4. ^ 1976년 시드니, 페이지 96-104
  5. ^ 시드니 2003 페이지 126-130
  6. ^ Marek, Patrice (September 2018). "Bookmakers' Efficiency in English Football Leagues". Mathematical Methods in Economis - Conference Proceedings: 330–335.
  7. ^ 1976년 시드니, 138-147페이지
  8. ^ 시드니 2003 페이지 163-177
  9. ^ 1976년 시드니, 페이지 155-156
  10. ^ 시드니 2003, 페이지 170-171
  11. ^ Jump up to: a b c 1976년 시드니, 페이지 153-168
  12. ^ Jump up to: a b c 시드니 2003 페이지 169-177
  13. ^ Jump up to: a b 1976년 시드니 페이지 166
  14. ^ Jump up to: a b 시드니 2003, 169,176페이지
  15. ^ 1976년 시드니 페이지 161
  16. ^ 시드니 2003, 페이지 176

참조

  • Cortis, D. (2015). "Expected Values and variance in bookmaker payouts: A Theoretical Approach towards setting limits on odds". Journal of Prediction Markets. 1. 9.
  • Sidney, C (1976). The Art of Legging, Maxline International.
  • 시드니, C(2003년).그 미술 Legging의:그 역사, 이론, 연습이 영어 영역에 Bookmaking의,판 3, Rotex 출판사 2003년, 224pp.아이 에스비엔 978-1-872254-06-7., 그리고 널리 공개하고 역사, bookmaking의 이론과 실기, 수학, 플러스off-course 베팅, 내기와 그들의 계산과 책임 관리의 수학에 제3판 업데이트된 개정된 보통.

추가 읽기

  • "가장자리를 찾아서" 론 로프터스, US-SC-노스 찰스턴: Create Space, 2011, 144pp.
  • "책을 만드는 방법" 런던의 필 불: 모리슨 & 기브 주식회사, 1948, 160pp.
  • "서적 제작에 관한 책" 캘리포니아 주 페르데 롬볼라: 1984년 147pp. 롬포드 프레스 ISBN 978-0-935536-37-9
  • 책 만드는 기술, 말콤 보일, 2006년 고위층 출판사.
  • 성공적인 베팅의 비밀, 2002년 레이싱폼의 마이클 애덤스.
  • 게임과 도박의 수학, Edward W. Packel, 미국 수학 협회, 2006.
  • 도박의 수학, 에드워드 O. 토프, L. 스튜어트, 1984년
  • "맥시민 헤지", 장 클로드 더드리안, 수학 잡지, 제51권, 제3권 (1978년 5월), 페이지 188–192.
  • "베츠에서의 카르납과 데 피네티 그리고 특이 사건의 확률: 네덜란드의 책 논쟁 재구성" 클라우스 헤이릭, 영국 과학철학 저널 29권, 숫자 4 (1978년 12월), 페이지 325–346.
  • "책쟁이 오즈를 이용한 경마장 베팅의 효율성 시험", 론 버드, 마이클 맥크래, 경영과학, 제33권, 제12권(87년 12월), 제152~156쪽.
  • 레이튼 본 윌리엄스, 데이비드 패튼의 "British Racetrack Betting Markets에 왜 좋아하는 롱샷 바이어스가 있는가?" 경제 저널 107권, 440권(1997년 1월), 150~158쪽.
  • 서점가들의 베팅 확률의 최적 결정: 이론과 시험, 존 핑글턴과 패트릭 월드론, 트리니티 이코노미 페이퍼 시리즈, 기술 논문 제96/9호, 트리니티 칼리지, 더블린 대학교, 1999.
  • "Odds That Don't Add Up!", Mike Fletcher, Teaching Mathical and it Applications, 1994, 13권, 4, 145-147페이지.
  • Peter F. "고정판 베팅 시장의 정보, 가격 및 효율성" 교황, 데이비드 A. 필, 이코노미아, 뉴 시리즈, 56권, 223권, (1989년 8월), 323-341페이지.
  • "도박에 대한 수학적인 관점" Molly Maxwell, MIT 수학 학부 저널 1, (1999), 123-132페이지.
  • "도박 가능성 가이드: 주사위, 슬롯, 룰렛, 바카라, 블랙잭, 포커, 복권, 스포츠 베팅의 수학", 카탈린 바르보이아누, 경색, 2006년, 316pp. ISBN 973-87520-3-5