최대-최소 불평등

수학에서 최대-최소 불평등은 다음과 같다: $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle Z}$×${\displaystyle W\mathbb{}}$ → R$${\$displaystyle f:Z\time$W\$to \mathb {R$

$\displaystyle \sup _{z\in Z}\inf _{w\in W}f(z,w)\leq \inf _{w\in W}\sup _{z\in Z}f(z,w).}$

평등이 f, W와 Z가 강력한 최대-min 속성(또는 안장 지점 속성)을 만족한다고 말할 때. f(z,w)=sin(z+w) 함수에서 알 수 있듯이, 이 동등성이 항상 유지되는 것은 아니다. 안장 지점 특성을 보장하기 위해 f, W, Z에 조건을 부여하는 정리를 미니맥스 정리라고 한다.

증명

$g{\displaystyle }$ (${\displaystyle z}$ )${\displaystyle }$≜${\displaystyle \underset{}{\inf }}$ ${\displaystyle \underset{}{inf}}$ w ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ f${\displaystyle }$( z${\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle g(z)\triangleq \inf _{w\in W}f(z,w$ .

${\displaystyle \forall w\in W,\forall z\in Z,g(z)\leq f(z,w)}$

${\displaystyle \Longrightarrow \all w\in W,\sup _{z\in Z}g(z)\leq \sup _{z\in Z}f(z,w)}$

${\displaystyle \Longrigharrow \sup _{z\in Z}g(z)\leq \inf _{w\in W}\sup _{z\in Z}f(z,w)}$

$\displaystyle \Longrightarrow \sup _{z\in Z}\inf _{w\in W}f(z,w)\leq \inf _{w\in Z}f(z,w)\qquad \squad \square }}}}$

참조

• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004), Convex Optimization (PDF), Cambridge University Press

참고 항목

• 미니맥스 정리