미니맥스 정리

게임 이론의 수학적 영역에서 미니맥스 정리는 최대-최소 불평등도 평등하다는 것을 보장하는 조건을 제공하는 정리다.이런 의미에서 첫 번째 정리는 게임 이론의 출발점으로 여겨졌던 1928년부터의 폰 노이만의 미니맥스 정리다.이후 폰 노이만의 원론적 정리에 대한 여러 가지 일반화와 대안적 버전이 문헌에 등장하게 되었다.^[1][2]

제로섬 게임

미니맥스 정리는 1928년 존 폰 노이만(John von Neumann)에 의해 처음 증명되고 출판되었는데,^[3] 그는 "내가 볼 수 있는 한, 그 정리가 없으면 게임 이론은 있을 수 없다… 나는 미니맥스 정리가 증명되기 전까지는 출판할 가치가 없다고 생각했다"고 말한 것으로 인용되었다.^[4]

형식적으로 폰 노이만의 미니맥스 정리에는 다음과 같이 기술되어 있다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$${\displaystyle {}^{}}$ ${R} ^{n}}$ $및$ Y ${\displaystyle \subset }$ R ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$^{m$}}}}$은(는) 콤팩트 볼록 세트로 한다$$.$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$이(가) 오목 콘벡스인 연속함수인$$ 경우.

${\$$고정$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 경우 X$\오른쪽$ 화살표 $\mathb {R}$이$($가) 오목함.

${\$$$$Y\rightarrow$ \$mathb$ {$R}}은($는) 고정 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$의 볼록함입니다$.$

그럼 우리에겐 그런게 있지

${\displaystyle \max _{x\in X}\min _{y\f(x,y)=\min _{y\in Y}\max _{x\in X}f(x,y).}$

예

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ T ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle f(x,y)=x^{$$유한$ 행렬 $A{\displaystyle }$$}$ R × ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한$$$$T}$Aay$}은(는) 다음과 같다$.$

${\displaystyle \max _{x\in X}\min _{y\in Y}x^{T}Ay=\min _{y\in Y}\max _{x\in X}x^{T}Aay.}$

참고 항목

• 시온의 미니맥스 정리
• 파르타사시의 정리 — 폰 노이만의 미니맥스 정리 일반화
• 이중 선형 프로그램은 제로섬 게임의 미니맥스 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다.
• 야오의 미니맥스 원리

참조