르베그 분화 정리

수학에서, Lebesgue 분화 정리는 실제 분석의 정리로서, 거의 모든 점에 대해, 통합 가능한 함수의 값은 그 점에 대해 취해지는 극소수의 평균의 한계라고 기술하고 있다.이 정리는 앙리 르베그(Henri Lebesgue)의 이름을 따서 명명되었다.

성명서

For a Lebesgue integrable real or complex-valued function f on Rⁿ, the indefinite integral is a set function which maps a measurable set A to the Lebesgue integral of ${\displaystyle f\cdot \mathbf {1} _{A}}$, where ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ denotes the characteristic function of the set A.그것은 보통 쓰여진다.

${\daystyle A\mapsto \int _{A}f\\mathrm {d} \lambda ,}$

n-차원 Lebesgue 측정값으로.

x에서 이 적분들의 파생상품은 다음과 같이 정의된다.

${\dapplaystyle \lim _{B\오른쪽 화살표 x}{\frac {1}{B}}\int _{B}f\,\mathrm {d} \lambda ,}$

여기서 B는 x를 중심으로 한 볼B의 부피(즉, Lebesgue 측정치)를 나타내며, B → x는 B의 지름이 0이 되는 경향이 있음을 의미한다.
르베그 분화 정리(Lebesgue 1910)는 이 파생상품이 존재하며 거의 모든 지점 x ∈ R에서ⁿ f(x)와 동일하다고 기술하고 있다.^[1]사실 조금 더 강한 성명은 사실이다.참고:

${\displaystyle \left {\frac {1}{ B }}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} \lambda (y)-f(x)\right =\left {\frac {1}{ B }}\int _{B}(f(y)-f(x))\,\mathrm {d} \lambda (y)\right \leq {\frac {1}{ B }}\int _{B} f(y)-f(x) \,\mathrm {d} \lambda (y).}$

더 강력한 주장은 오른손 쪽이 거의 모든 x점수에서 0을 보이는 경향이 있다는 것이다.이것이 사실인 x점을 f의 르베그 점이라고 한다.

좀 더 일반적인 버전은 또한 가지고 있다.공 B를 경계 편심 U $집합$의 V ${\$ 패밀리로 교체할 수 있다.이는 일부 고정 c의 존재하는;0은 각 가족의 U을 세웠다 그러한 공 B에서 B{\displaystyle U\geq c\, B}c U≥ 속에 들어 있었다. 이러한 세트 x에 늦추는 그것은 또한 모든 포인트=∈ Rn V{\displaystyle{{V\mathcal}에서 임의로 작은 세트에서}에 함유되어 있는}. 가정하다는 것을 의미한다.sa내 결과는 유지된다: 거의 모든 점 x에 대해,

${\displaystyle f(x)=\lim _{U\오른쪽 화살표 x,\,\,U\in {\mathcal {V}{\frac {1}{{{U}f\,\mathrm {d}\lambda.}$

그러한 가족 V{\displaystyle{{V\mathcal}의 입방체의 가족은 한 예}}, 사각형의 R2안에 가족이 V{\displaystyle{{V\mathcal}}}(m)m−1과 m사이에는 어떤 고정 m≥ 1. 만약 자의적인 규범 Rn, 공의 가족에 대한 메트릭에 대해서도 알려 주고 있는 면의 비율 대상 등과 같은 번호로 연결된기업 i다른 예다

이 1차원 사건은 일찍이 르베그(1904)에 의해 증명되었다.f가 실제 라인에서 통합될 수 있는 경우,

${\displaystyle F(x)=\int _{(-\infit ,x]f(t)\,\mathrm {d}t}$

$F{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle F'(x)=f(x$)로 거의 모든 곳에서 차별화된다$.$$}$ 리만 적분에 의해 $정의$된 F ${\displaystyle F}$였더라면 이것은 본질적으로 미적분의 근본적인 정리가 될 것이지만 르베게는 르베그 적분을 사용할 때 그것이 사실임을 증명했다.^[2]

증명

거의 모든 지점이 국소적으로 통합 가능한 함수 f의 Lebesgue 지점이라는 더 강한 형태의 정리는 하디-리틀우드 최대 함수에 대한 약한-L¹ 추정치의 결과로 증명될 수 있다.아래의 증거는 베네데토&카자자(2009년), 스타인&샤카르치(2005년), 휘덴&자이그문트(1977년), 루딘(1987년)에서 찾아볼 수 있는 표준적인 치료법을 따른다.

문장은 성격상 국소적이므로, f는 유한 반지름을 가진 일부 볼 바깥에 0이므로 통합할 수 있다고 가정할 수 있다.그러면 세트장이라는 것을 증명하는 것으로 충분하다.

${\displaystyle E_{\alpha }={\Bigl \{}x\in \mathbf {R} ^{n}:\limsup _{ B \rightarrow 0,\,x\in B}{\frac {1}{ B }}{\bigg }\int _{B}f(y)-f(x)\,\mathrm {d} y{\bigg }>2\alpha {\Bigr \}}}$

모든 α > 0에 대한 측정값 0을 가지고 있다.

ε > 0을 주어라.L¹(Rⁿ)에서 콤팩트 서포트의 연속함수의 밀도를 이용하여 그러한 함수 g를 만족시킬 수 있다.

${\displaystyle \ f-g\ _{L^{1}=\int_{\mathbf {R}^{n}f(x)-g(x) \,\mathrm {d} x<\varpsilon .}$

그런 다음 주요 차이를 다음과 같이 다시 쓰는 것이 도움이 된다.

${\displaystyle {\frac {1}{ B }}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} y-f(x)={\Bigl (}{\frac {1}{ B }}\int _{B}{\bigl (}f(y)-g(y){\bigr )}\,\mathrm {d} y{\Bigr )}+{\Bigl (}{\frac {1}{ B }}\int _{B}g(y)\,\mathrm {d} y-g(x){\Bigr )}+{\bigl (}g(x)-f(x){\bigr )}.}$

첫 번째 용어는 f - g에 대한 최대 함수의 x에 있는 값으로 경계를 지정할 수 있으며$,{\displaystyle }$ 여기서 (${\displaystyle f}$- ${\displaystyle g{}^{}}$) ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle (f-g)^{**}(x$

${\displaystyle {\frac {1}{ B }}\int _{B} f(y)-g(y) \,\mathrm {d} y\leq \sup _{r>0}{\frac {1}{ B_{r}(x) }}\int _{B_{r}(x)} f(y)-g(y) \,\mathrm {d} y=(f-g)^{*}(x).}$

g는 연속함수이기 때문에 두 번째 항은 한계에서 사라지고, 세 번째 항은 f(x) - g(x)로 경계한다. 원래 차이의 절대값이 한계에서 2α보다 크려면 첫 번째 항이나 세 번째 항 중 적어도 하나는 절대값에서 α보다 커야 한다.그러나 하디-리틀우드 함수에 대한 추정치는 다음과 같다.

${\displaystyle {\Bigl }\left\{x:(f-g)^{*}(x)>\alpha \right\}{\Bigr }\leq {\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\ f-g\ _{L^{1}}<{\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\varepsilon ,}$

치수 n에만 의존하는 어떤 상수 A에_n 대하여.마르코프 불평등(테체비셰프의 불평등이라고도 함)은 다음과 같이 말하고 있다.

${\displaystyle {\Bigl }\왼쪽\{x: f(x)-g(x) >\alpha \right\}{\bigr }\bigr \leq {1}{1}{\alpha }}\f-g\{L^{1},\varepsilon }}}}}$

언제

${\displaystyle E_{\alpha } \leq {A_{n}+1}{\alpha }}{\varepsilon .}$

ε은 자의적이었기 때문에 자의적으로 작다고 볼 수 있고, 정리가 뒤따른다.

증빙서류

비탈리 커버링 보조정리기는 이 정리의 입증에 필수적이다. 그 역할은 하디-리틀우드 최대 함수의 추정치를 입증하는 데 있다.

또한, 공이 파생상품의 정의에서 레베그 정규성 조건을 만족하는 지름 0에 가까운 세트의 패밀리로 대체되는 경우, 위에서 경계된 편심성을 가진 세트 패밀리로 정의된다.이는 비탈리 커버링 보조정리부의 성명에서 동일한 대체가 이루어질 수 있기 때문에 다음과 같다.

토론

이것은 리만 통합함수와 그 (미확정) 적분 함수의 파생을 동일시하는 미적분학의 기본 정리의 아날로그, 일반화다.또한 모든 상이한 기능이 파생상품의 적분과 동일하지만, 임의의 파생상품을 통합할 수 있으려면 Henstock-Kurzweil 적분이 필요하다는 반전을 보여줄 수도 있다.

르베그 분화 정리의 특별한 경우는 르베그 밀도 정리로, 측정 가능한 집합의 특성 함수에 대한 분화 정리에 해당한다.밀도 정리는 보통 더 간단한 방법을 사용하여 증명된다(예: 측정 및 범주 참조).

이 정리는 르베그 측정 대신 R에ⁿ 대한 모든 유한 보렐 측정에 대해서도 적용된다(예: (레드라피어&)에서 증거를 찾을 수 있다.1985년) yarv 오류: 대상 없음: CITREFLedrappier&영1985 (도움말)보다 일반적으로는 분리 가능한 메트릭 공간에 대한 유한 보렐 측정에 대해 다음 중 적어도 하나가 유지되도록 하는 것이 사실이다.

• 미터법 공간은 리만 다지관이고
• 미터법 공간은 국소적으로 작은 초경량 공간이다.
• 그 조치는 두 배로 늘어나고 있다.

이러한 결과에 대한 증거는 (Federer 1969)의 섹션 2.8–2.9에서 찾을 수 있다.

참고 항목

• 르베그 밀도 정리

참조

• Lebesgue, Henri (1904). Leçons sur l'Intégration et la recherche des fonctions primitives. Paris: Gauthier-Villars.
• Lebesgue, Henri (1910). "Sur l'intégration des fonctions discontinues". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 27: 361–450. doi:10.24033/asens.624.
• Wheeden, Richard L.; Zygmund, Antoni (1977). Measure and Integral – An introduction to Real Analysis. Marcel Dekker.
• Oxtoby, John C. (1980). Measure and Category. Springer Verlag.
• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005). Real analysis. Princeton Lectures in Analysis, III. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. xx+402. ISBN 0-691-11386-6. 미스터2129625
• Benedetto, John J.; Czaja, Wojciech (2009). Integration And Modern Analysis. Birkhäuser Advanced Texts. Springer. pp. 361–364. ISBN 978-0817643065.
• Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.). McGraw–Hill. ISBN 0070542341.
• Ledrappier, F.; Young, L.S. (1985). "The Metric Entropy of Diffeomorphisms: Part I: Characterization of Measures Satisfying Pesin's Entropy Formula". Annals of Mathematics. 122 (3): 509–539. doi:10.2307/1971328. JSTOR 1971328.
• Federer, Herbert (1969). Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band. Vol. 153. New York: Springer-Verlag New York Inc.