평균 곡률 흐름

수학의 미분 기하학 분야에서 평균 곡률 흐름은 리만 다지관(예를 들어 3차원 유클리드 공간의 매끄러운 표면)의 기하학적 흐름의 예다.직감적으로 표면의 한 점이 움직이는 속도의 정상 성분이 표면의 평균 곡률에 의해 주어진다면 표면의 한 계열은 평균 곡률 흐름에서 진화한다.예를 들어, 둥근 구형은 평균 곡률 흐름에서 안으로 균일하게 수축하여 진화한다(구체의 평균 곡률 벡터가 안쪽을 가리키기 때문이다).특별한 경우를 제외하고, 평균 곡률 흐름은 특이치를 발생시킨다.

밀폐된 부피가 일정하다는 제약조건 하에서 이것을 표면 장력 흐름이라고 한다.

포물선 부분 미분방정식으로 '스무팅(smoothing)'으로 해석할 수 있다.

존재와 고유성

다음은 마이클 게이지와 리차드 S에 의해 보여졌다. 해밀턴은 포물선 기하학적 흐름을 위한 해밀턴의 일반적인 존재 정리를 응용한 것이다.^[1][2]

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 콤팩트한 부드러운 다지관으로 하고$$$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle M}$${\displaystyle {}^{},}$ ,${\displaystyle g}$ ) ${\displaystyle (M',g)$을 완전한 부드러운 리만 다지관으로 하고$$, $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$→ M ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$M\to M'}$은(는) 매끄러운 몰입이 된다$$.그 다음$,$ 무한할 수 있는 $양수{\displaystyle }$ T ${\displaystyle T}$과(와)${\displaystyle \mathrm{맵}}$ F${\displaystyle }$:${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle T}$ )${\displaystyle }$× M → ${\displaystyle {}^{}}$ → M$$ {\$displaystyle F:[0,T$)\$times M\to$ M'}이(가) 있고, 다음과 같은 속성이 있다$$.

• $F(0,\cdot )=f}$
• ${\$$$$M\to M'}$은(는) 모든 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle T}$)에 대한 부드러운 몰입이다$.$ [$0,T)}$
• $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \searrow }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle t\searrow$ 0$,}$ $1$은 C$\$ {\$displaystyle$C^{\$infit }$에 F${\displaystyle (t,)}$ )${\displaystyle }$→ ${\displaystyle f}$ ${\displaysty F(t,\cdot )\to f}$가 있다.
• for any ${\displaystyle (t_{0},p)\in (0,T)\times M}$, the derivative of the curve ${\displaystyle t\mapsto F(t,p)}$ at ${\displaystyle t_{0}}$ is equal to the mean curvature vector of ${\displaystyle F(t_{0},\cdot )}$ at ${\displaystyle p}$.
• if ${\displaystyle {\widetilde {F}}:[0,{\widetilde {T}})\times M\to M'}$ is any other map with the four properties above, then ${\displaystyle T\leq {\widetilde {T}}}$ and ${\displaystyle {\widetilde {F}}(t,p)=F(t,p)}$ for any ${\displaystyle (t,p)\in }$${\displaystyle (t,p)\in [0,{\widetile{T})\time M.}$

반드시 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에서${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$, T${\displaystyle }$) ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (0,T)\times$ M$}$의 $제한$은 C ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{\infty }$이다$.$

하나는 $F{\displaystyle }$ {\$displaystyle F}$을(를) 초기 데이터 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를$)$ 사용한 (최대 확장) 평균 곡률 흐름으로$$ 지칭한다$.$

수렴 정리

해밀턴이 리치 흐름에 관한 1982년의 획기적 연구에 이어, 1984년 게르하르트 후이스켄은 평균 곡률 흐름에 대해 다음과 같은 유사한 결과를 내기 위해 동일한 방법을 사용했다.^[3]

• $({\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$, g${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$$(M',$${\displaystyle {\mathrm{g}}^{}}$$)}$이(가) 유클리드 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$이고 여기서$$n $n{\displaystyle }$2 ${\displaystyle n\geq$ 2$\}$은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystystym M}$의 치수를 나타내며$$, T$}$은 $반드시$ 유한하다$$.'초기 몰입' $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 두 번째 기본 형태가 엄격히 양성이면$$, $몰입{\displaystyle }$ $t, ⋅$)의 두 번째 기본 형태도 ${\displaystyle \in }$(${\displaystyle 0}$, T${\displaystyle }$) ${\displaystyle t\in (0,T$ 마다 엄격히 양성이며$$, 나아가 기능${\displaystyle }$: (${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ,)}$을 선택하면 두 번째 기본 형태도 양성이 된다.${\displaystyle c:(0,T)\to (0,\infty )}$ such that the volume of the Riemannian manifold ${\displaystyle (M,(c(t)F(t,\cdot ))^{\ast }g_{\text{$$Euc}}}$은(는$)$ $t{\displaystyle }$ {\$displaystyle t}$과$($와) 독립된$$ 다음 t ${\displaystyle t}$T ${\displaystyle t\nearrow T}$임${\displaystyle \mathrm{미션<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; t\backslash nearrow\; T\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/9526049c1c7e826a11d44ffcf23ff5933623470c"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:6.09ex;\; height:2.676ex;"\; papago-attr-id="118">}}$ $c{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$ ) F${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle \cdot }$)${\displaystyle }$: M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ )로서 다음과 같다$.$$M\to \mathb${${\displaystyle {\mathrm{R}}^{}}$$} ^{n+1$}{n+1}은$($는) ${\displaystyle {}^{}}$ +${\displaystyle {}^{}}$1 ${\$1}의 $이미지$가 둥근 구체인 몰입으로$$ 부드럽게 수렴한다$$.

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ 및$$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$+ 1 ${\$$M\to \mathbb {R} ^{n+1}}$ is a smooth hypersurface immersion whose second fundamental form is positive, then the Gauss map ${\displaystyle \nu :M\to S^{n}}$ is a diffeomorphism, and so one knows from the start that ${\displaystyle M}$ is diffeomorphic to ${\displaystyle S^{n}}$ and, from elementary diffe위에서 고려된 모든 임피던스가 임베딩된 토폴로지를 말한다.

Gage와 Hamilton은 Huisken의 결과를 ${\displaystyle \mathrm{사례}}$ $n{\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle n=1}$까지 확장했다$.$ Matthew Grayson(1987)은 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$→ R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$$S^{1}\to \mathb {R} ^{2$}}은$$ 매끄러운 임베딩이며, 그러면 초기 $데이터{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f}$을(를) 가진 평균 곡률 흐름은 결국$$ 완전히 양의 곡률을 가진 임베딩으로 구성되며, 이때 Gage와 Hamilton의 결과가 적용된다.^[4]요약하면:

• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$$S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ is a smooth embedding, then consider the mean curvature flow ${\displaystyle F:[0,T)\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ with initial data ${\displaystyle f}$. Then ${\displaystyle F(t,\cdot ):$$S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ is a smooth embedding for every ${\displaystyle t\in (0,T)}$ and there exists ${\displaystyle t_{0}\in (0,T)}$ such that ${\displaystyle F(t,\cdot ):$$S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ has positive (extrinsic) curvature for every ${\displaystyle t\in (t_{0},T)}$. If one selects the function ${\displaystyle c}$ as in Huisken's result, then as ${\displaystyle t\nearrow T}$ the embeddings ${\displaystyle c(t)F(t,$$\cdot }:$$S^{1}\to \mathb {R} ^{2}}:$ 이미지가 둥근 원인 임베딩으로 매끄럽게$$ 수렴한다.

물리적 예

평균 곡률 흐름의 가장 친숙한 예는 비누 필름의 진화에 있다.비슷한 2차원 현상은 물 표면에 기름방울이 떨어지는 것으로 원반(원형 경계)으로 진화한다.

평균 곡률 흐름은 원래 순수 금속의 어닐링에서 곡물 경계 형성을 위한 모델로서 제안되었다.

특성.

평균 곡률 흐름은 표면적을 극단화하며, 최소 표면은 평균 곡률 흐름의 임계점이다. 미니마는 이등률 문제를 해결한다.

케흘러-아인슈타인 다지관에 내장된 다지관의 경우 표면이 라그랑지아 하위매니폴드인 경우 평균 곡률 흐름은 라그랑지아 타입이므로 표면은 라그랑지아 하위매니폴드 등급 내에서 진화한다.

Huisken의 단소성 공식은 평균 곡률 흐름을 거치는 표면과 함께 시간이 경과한 열 알맹이의 콘볼루션의 단소성 특성을 제공한다.

관련 흐름:

• 곡선 단축 흐름, 평균 곡률 흐름의 1차원 사례
• 표면 장력 흐름
• 라그랑주 평균 곡률 흐름
• 역 평균 곡률 흐름

3차원 표면의 평균 곡률 흐름

$z$${\displaystyle }$= ${\displaystyle S}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle z=S(x,y)}$에 의해 주어진 표면의 평균-곡선 흐름에 대한 미분 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial t}=2D\H(x,y){\sqrt {1+\좌({\partial S}{\partial x}\우)^{2}+\partial S}{\partial y}^{2}}:}$

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 정상 표면의 곡률과 속도 및 평균 곡률과 관련된 상수임

${\displaystyle {\reasoned}H(x,y)&={\frac {1}{2}}{\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{{\좌({\frac{\partial s}{\partial x}}\오른쪽)^{2}+\좌({\partial S}{\partial y}\오른쪽)^{2}{3/2}}.\end{정렬}}}$

In the limits ${\displaystyle \left {\frac {\partial S}{\partial x}}\right \ll 1}$ and ${\displaystyle \left {\frac {\partial S}{\partial y}}\right \ll 1}$, so that the surface is nearly planar with its normal nearly parallel to the z axis, this reduces to a diffusion equation

${\displaystyle {\frac {\partial s}{\partial t}=D\\\\nabla ^{2}S}$

기존의 확산방정식은 선형 포물선 부분 미분방정식이고 특이점이 발달하지 않는 반면(시간 내에 전진할 때) 평균 곡률 흐름은 비선형 포물선 방정식이기 때문에 특이점이 발생할 수 있다.일반적으로 평균 곡률 흐름 하의 특이점을 방지하기 위해 표면에 추가 제약조건을 둘 필요가 있다.

매끄러운 볼록한 표면은 다른 특이점 없이 평균-곡선 흐름 아래 한 점으로 붕괴되고, 그렇게 되면 구의 모양으로 수렴된다.치수 2 이상의 표면에서 이것은 게르하르트 후이스켄의 정리이며,^[5] 1차원 곡선 단축 흐름의 경우 Gage-Hamilton-Grayson 정리이다.그러나, Angenent torus를 포함하여 평균-곡선 흐름 하의 한 지점에 수축하면서 자기 유사성을 유지하는 구 이외의 2개 이상의 치수의 내장 표면이 존재한다.^[6]

예제: m-차원 구들의 평균 곡률 흐름

평균 곡률 흐름의 간단한 예는 ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$의 동심원 원형 하이퍼스피어 제품군에 의해 제시된다$.$반경 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ -차원$$ 구체의 평균 곡률은 $H{\displaystyle }$= ${\displaystyle m}$/ R ${\displaystyle H=m/R}$이다$.$

구의 회전 대칭(또는 일반적으로 등각도 아래의 평균 곡률의 침입으로 인해)으로 인해 평균 곡률 흐름 방정식 ${\displaystyle {}_{}}{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$T${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- H ${\displaystyle \nu }$ ${\$$displaystyle$ $\partial _{t}F=-H\$$nu$$}$은$($는) R $0$의 초기 구에 대해 일반적인 미분 방정식으로 감소한다$.$

${\displaystyle {\begin{ligned}{\frac {\text{d}}R(t)&=-{\frac {m}{R(t)},\R(0)&=R_{0}.\end{정렬}}}$

이 ODE의 해결책(예: 변수 분리에 의한 예측)은 다음과 같다.

${\displaystyle R(}$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle R\sqrt{{}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{0\mathrm{}}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$- ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{2m}}}$ t ${\$}-$2mt$

$t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$( -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$/ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle m\mathrm{}}$)$${\$displaystyle t\in (-\inflt ,R_{0}^{2}/2m)}$에 대해 존재함$.$^[7]

참조

• Ecker, Klaus (2004), Regularity Theory for Mean Curvature Flow, Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, vol. 57, Boston, MA: Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, MR 2024995.
• Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow, Progress in Mathematics, vol. 290, Basel: Birkhäuser/Springer, doi:10.1007/978-3-0348-0145-4, ISBN 978-3-0348-0144-7, MR 2815949.
• Lu, Conglin; Cao, Yan; Mumford, David (2002), "Surface evolution under curvature flows", Journal of Visual Communication and Image Representation, 13 (1–2): 65–81, doi:10.1006/jvci.2001.0476. 특히 방정식 3a 및 3b를 참조하십시오.